第七章 证明 单元巩固测试卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦初中数学“证明”单元，通过逻辑推理题、实际情境题及几何证明题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|命题判断、逻辑推理、平行线性质|第1题逻辑推理考查推理意识，第9题护眼灯情境体现应用意识| |填空题|6/18|命题改写、假命题反例、实际问题|第13题闹钟设置结合生活实际，培养数据意识| |解答题|8/72|逻辑推理应用、几何证明、实践探究|第19题折纸实践培养创新意识，24题“猪蹄模型”强化模型观念|

第七章 证明 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 2．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 3．下列各命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等角的补角相等 C．对顶角相等 D．两个锐角的和是钝角 4．下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 5．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 7．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 8．如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 9．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；  ②；  ③；  ④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 12．写出能说明命题“若，则．”是假命题的实数a的一个值是_______． 13．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 14．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本． 15．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 16．如图，，，，则________°． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 18．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 19．【综合实践】﹣折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图①，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，P是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点P作的平行线的基本步骤如下： 第一步：如图②，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为Q，打开纸张铺平； 第二步：如图③，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图④）． (1)根据上述步骤可知，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图④，设直线与正方形上、下两边分别交于点M、N，若，求的度数． 20．如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 21．如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． (1)与是否平行？请说明理由． (2)若，，求的度数． 22．如图，，，分别是线段，，上的点，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且平分，求的度数． 23．已知． (1)如图，若．求证：； (2)如图，请找出，，，，这5个角的数量关系，并说明理由． 24．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 证明 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．小王、小陈、小张当中有一人做了一件好事，另两人也都知道是谁做了这件事．老师在了解情况时，他们三人分别说了下面几句话： 小陈：“我没做这件事．”“小张也没做这件事．” 小王：“我没做这件事．”“小陈也没做这件事．” 小张：“我没做这件事．”“我也不知道谁做了这件事．” 已知他们每人都说了一句假话，一句真话，做好事的人是（    ） A．小王 B．小陈 C．小张 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意对小陈说的两句话来假设真假，再对后面两人说的话逐一分析，得出矛盾的即假设不成立，不矛盾的则符合条件． 【详解】解：1、假设小陈说“我没做这件事”是真话，则“小张也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小张；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈，与小陈的假设矛盾； 2、假设小陈说“我没做这件事”是假话，则“小张也没做这件事”是真话，从这里可以得出做好事的就是小陈；假设小王说“我没做这件事”是真话，则“小陈也没做这件事”是假话，从这里可以得出做好事的就是小陈；符合；假设小张说“我没做这件事”是真话，则“也不知道谁做了这件事”是假话，符合； ∴做好事的是小陈， 故选B． 【点睛】逻辑推理问题，用到的数学知识不多，主要依靠对已知条件的分析，寻找适当的突破口，常用枚举、归谬等方法． 2．下列语言叙述是命题的是（     ） A．《给阿嬷的情书》是一部非常感人的电影． B．你喜欢长沙吗？ C．赶紧去学习！ D．画一条端点为的射线． 【答案】A 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据该定义判断各选项即可得到答案． 【详解】A选项对《给阿嬷的情书》的作品性质作出了判断，是完整的陈述句，符合命题的定义； B选项是疑问句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； C选项是祈使句，没有对事情作出判断，不符合命题定义； D选项是作图指令，没有对事情作出判断，不符合命题定义． 3．下列各命题是假命题的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．等角的补角相等 C．对顶角相等 D．两个锐角的和是钝角 【答案】D 【分析】根据平行线性质，补角性质，对顶角性质，逐项判断，即可． 【详解】解：选项A：根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故本选项不符合题意． 选项B：根据补角性质，等角的补角相等，是真命题，故本选项不符合题意． 选项C：根据对顶角性质，对顶角相等，是真命题，故本选项不符合题意． 选项D：两个锐角的和不一定是钝角，例如两个锐角分别为和，和为仍是锐角，因此该命题是假命题，故本选项符合题意． 4．下列图形中，由，能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A项，与是直线、被直线所截形成的内错角，由可得，不能得到，故A不符合题意； B项，与不是由两条直线被第三条直线所截形成的角，无法判定，故B不符合题意； C项，的对顶角与处于同位角的位置，由及对顶角相等可得同位角相等，进而得到，故C符合题意； D项，与是直线和被直线所截形成的同旁内角，由无法判定，故D不符合题意. 5．，，，，，六个足球队进行单循环赛（每两队之间恰好只比赛一场），当比赛进行到某一天时，统计出，，，，五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，队比赛场数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查单循环赛制问题，利用单循环赛每队最多比赛5场的规则，从比赛场次最多的A出发逐步推理，结合各队已知场次推出F的比赛场数． 【详解】解：∵六个队进行单循环赛，每个队最多和其余5队各赛1场，即每个队最多比赛5场， ∵A已比赛5场， ∴A与B，C，D，E，F都已比赛过； ∵E仅比赛1场， ∴E只和A比赛过，未与B，C，D，F比赛； ∵B已比赛4场，B已和A比赛，未和E比赛， ∴B与A，C，D，F都已比赛过，刚好满足4场； ∵D已比赛2场，D已和A、B比赛过，刚好满足2场，因此D未和C，E，F比赛； ∵C已比赛3场，C已和A，B比赛，未和E，D比赛， ∴C只能和F比赛，满足3场要求； 统计F的比赛场次：F分别和A，B，C各赛1场，共3场， 因此F队比赛场数是3，选B． 6．要证明命题“任何数的平方都大于”是假命题的反例只能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要证明命题是假命题，只需举出一个满足命题条件，但不满足命题结论的反例，本题只需找到使得，计算各选项即可判断． 【详解】∵原命题结论为“任何数的平方都大于”， ∴反例需要满足， 对各选项逐一计算： 选项A：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项B：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项C：当时，，符合原命题结论，不能作为反例； 选项D：当时，，不满足，可作为该命题的反例． 7．下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 8．如图，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； B、， ， ， ，故该选项错误，不符合题意； C、， ，故该选项错误，不符合题意； D、， ， ， ，故该选项正确，符合题意． 9．近几年中学生近视的现象越来越重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳，则此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可知，由题意可知，根据平行线的判定和性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 10．如图，，，平分交于点E，点F为线段延长线上一点，，则下列结论正确的有______． ①；  ②；  ③；  ④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同旁内角互补得两直线平行，根据两直线平行得同旁内角互补，①成立；根据和进行等量代换得同旁内角互补，所以两直线平行，②成立；根据两直线平行内错角相等、同位角相等以及角平分线定义得到④成立；条件不充分，无法证明③是否成立． 【详解】解：，， ， ， ，①成立， ， ， ， ，②成立， ，， 平分， ， ．④成立． 无法证明，故③不成立． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写为“如果...那么...”的形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论，只需找出原命题的题设与结论即可进行改写. 【详解】解：命题“等角的余角相等”的题设是两个角相等，结论是这两个角的余角相等，因此改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等. 12．写出能说明命题“若，则．”是假命题的实数a的一个值是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足，不满足的实数即可． 【详解】解：命题“若，则”是假命题，即存在满足，且； 由可得或， 因此只要取中的任意实数即可，例如取． 故实数a的一个值可以为（答案不唯一）． 13．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 14．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本． 【答案】28 【分析】假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8，根据题意列举出所有符合题意的情况，然后计算即可． 【详解】解：假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8， 因为每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有， 所以有12，13，14，15，16，17，18 ， 23，24，25，26，27，28， 34，35，36，37，38， 45，46，47，48， 56，57，58， 67，68， 78， 即共有本不同的书， 故答案为：28． 【点睛】本题考查了容斥定理，能够根据题意列举出所有符合题意的情况是解题的关键． 15．在现代电气化铁路飞速发展的今天，列车飞驰的背后离不开一套关键设备——受电弓如图①．正是它为列车提供着源源不断的动力，保证了高铁高速顺畅地运行．其示意图如图②，若在某一时刻，，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 16．如图，，，，则________°． 【答案】 【分析】过点B作再根据平行线的性质求出，再求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】解：过点B作 ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 【答案】参观团只能去C、D两地 【分析】本题主要考查了逻辑推理，由②可知，当去E时，则由⑤可知必须去A、D，则由①④可知必须去B、C，则与③矛盾，则不去E，一定要去D，再由④可知，要去D，由③可知不去B，由①可知不去A，据此可得答案． 【详解】解：由②D、E两地至少去一处可知，若去E地，则由⑤知，必须去A、D两地，由①和④知必须去B、C两地，但与③矛盾， ∴不能去E地， ∴必须去D地 ∴由④知必须去C地，再由③知，不能去B地， ∴由①知也不能去A地，由⑤知也不能去E地， 故该参观团只能去C、D两地． 18．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 19．【综合实践】﹣折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图①，在一张正方形纸片的两边上分别有A，B两点，连接，P是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点P作的平行线的基本步骤如下： 第一步：如图②，过点P进行第一次折叠，使点B的对应点落在上，折痕与互相垂直，垂足为Q，打开纸张铺平； 第二步：如图③，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图④）． (1)根据上述步骤可知，猜想与的位置关系，并说明理由． (2)如图④，设直线与正方形上、下两边分别交于点M、N，若，求的度数． 【答案】(1)解：； 理由：∵， ∴ (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论； （2）连接，根据平行线的性质，角的和差关系即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接．    由正方形可知，， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 20．如图，，点为两平行线间的一点，请证明两个结论． (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，过点向右作， ∴（内错角相等）， ∵， ∴， ∴（内错角相等）， ∵， ∴． (2)如上图，过点向右作， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴， ∴（同旁内角互补）， ∵， ∴． 【分析】（1）过点向右作，根据平行线内错角相等的性质，将和替换为内的角即可证明． （2）过点向右作，根据平行线同旁内角互补的性质，将拆分为和，进而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． (1)与是否平行？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（）先由平行得出内错角与相等，结合已知等于等量代换得到和相等，最后依据同位角相等判定平行； （）先利用角平分线求出度数，再根据两直线平行同旁内角互补算出，结合已知相等角得到，最后相加求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，，，分别是线段，，上的点，已知，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且平分，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ， ． ， ，                             ． (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ．             平分， ．                 ， ． 23．已知． (1)如图，若．求证：； (2)如图，请找出，，，，这5个角的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：延长交直线于点， ， ， ， ， ， ； (2)解：，理由如下： 分别过点，，作的平行线，，， ∴， ， ， ， ， ， 即， 同理可得，， ， ． 【分析】（1）延长交直线于点，根据平行线的性质和可得，则可证明，进而可证明题目； （2）分别过点，，作的平行线，，，根据平行公理可得，根据平行线的性质可得，，则可证明，同理，进行计算即可得结论． 【详解】（1）证明：略； （2）解：略． 24．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为、之间一点，连接、，请你写出与、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下列问题． ①【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，平分交直线于点F，则__________； ②【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)解：与、之间的数量关系为：，理由如下： 如图， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与、之间的数量关系为：． (2)① ② 【分析】（1）过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质即可得相等，相等， 进一步根据角的和差计算即可得与、之间的数量关系． （2）根据“猪蹄模型”，结合（1）得：等于，再根据角平分线的定义即可求出的度数． 过点作，根据平行线公理及推论得，根据平行线性质得，根据角平分线定义求出，等量代换可得，再根据求出，再根据角平分线定义求出，再根据求出，再后根据计算即可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①如图， 根据“猪蹄模型”，结合（1）得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴． ②如图， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $