专题01 相似八大模型（举一反三专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“模型特征-拓展应用-题型突破”为主线，系统整合相似八大模型，通过条件结论梳理、辅助线提炼及梯度变式，构建从直观到抽象的解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A字/8字模型|各1例+3变式|正/斜模型特征，比例线段转化|从平行到共角共边，基础图形认知递进| |一线三等角/射影定理|各1例+3变式|角相等证相似，直角三角形比例关系|特殊位置关系（垂直/折叠）到数量关系推导| |飞鱼/手拉手模型|各1例+3变式|辅助线构造（过顶点作平行线），旋转相似性质|动态变换中不变量探究，培养空间观念| |十字架/对角互补模型|各1例+3变式|垂直构相似，补角转化证比例|复杂图形分解，提升推理能力与模型应用意识|

专题01 相似八大模型（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 A字相似模型】 1 【题型2 8字相似模型】 5 【题型3 一线三等角相似模型】 13 【题型4 射影定理模型】 20 【题型5 飞鱼模型】 27 【题型6 手拉手相似模型】 37 【题型7 十字架相似模型】 53 【题型8 对角互补型相似模型】 64 模型一 A字模型 （一）模型特征 类型 正“A字”形 条件 在中，DE∥BC 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展 类型 斜“A”字形(共角) 斜“A”字形（共角共边) 条件 在中，D是AB上的点，E是AC上的点， 或 在中，D是AB上的点， 或 图示 结论 【题型1 A字相似模型】 【例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 【答案】2 【分析】过作垂直于点，过作交于点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用，求出的长，最后得出答案．本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确作出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案． 【详解】解：如图：过作垂直于点，过作交于点， 在中，， ， 又， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在中，， ， ，， ， 又， ， ， ， 即， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 故答案为：2． 【变式1-3】如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴ ， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 模型二 8字模型 （一）模型特征 类型 正“8字”形 条件 AC 与 BD交于点 O，AB∥CD（或一组内错角相等） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展 类型 斜“8字”形(蝴蝶形) 燕尾形 条件 AC 与 BD 交于点 O， 或 B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F， 或 图示 结论 【题型2 8字相似模型】 【例2】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查相似三角形、轴对称下的线段最值问题以及勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 根据题意中的，得出其它角度的等量关系，可证，可得，同理由角度等量关系，证，得线段比例关系，即，又可证，得角度等量关系，证得，即得到关键信息，确定出点E的运动轨迹，又经过证明了解到，故最值判断类似“将军饮马”模型，所以点B关于的对称点，连接，即的最小值为的长度，过点A作，由求边长，最终由勾股定理求得长度，得到得最小值． 【详解】解：连接，令，相交于点M，如下图所示： 在直角三角形中，∵，， ∴， ∵， 又∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∴， ∴， ∴， ∴，即， 所以点E在过点且垂直的射线上移动； ∵， ∴， 故求出的最小值即可， 作点B关于的对称点，连接， 即的最小值为的长度，过点A作，交于点F，如下图所示： 根据对称的性质，， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【变式2-1】如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 【变式2-2】已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）由，可判断，再由可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作交的延长线于，如图，易得，由点为的中点得，再利用可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴； （2）证明：作交的延长线于，如图， ∵， ∴， ∵点为的中点， ， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 【变式2-3】在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）①连接，先证，相似比为，得到，即，再证，相似比为，即可求解；②根据，，求得，则，再根据，即可求解． （2）先证，相似比为，得到，即，再证，得到，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 模型三 一线三等角模型 （一）模型特征 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上， 两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上， （， 居两边，跨中间） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由一线三垂直的一般情况到特殊情况 条件 图示 结论 【题型3 一线三等角相似模型】 【例3】（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 【变式3-1】如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式3-2】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由余角的定义可推出，并不能说明，说明①错误；再根据，可推出，进而可证明，说明②正确；连接BD，由三角形中位线可知，再由可进一步推出，即，即，说明④正确；在中，，即可求出CG长度，即可求出AB=2，说明③正确． 【详解】解：∵， ∴， ∴不能说明，故①错误． ∵， ∴， 又∵ ∴，故②正确． 如图连接BD， 由题意可知， ∵G和F分别为CD和BC的中点， ∴， ∵ ∴，即， ∴ 在中，，即, 解得 ∴，故③正确． ∵， ∴，即，故④正确． 综上正确的有②③④共3个． 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，余角，三角形中位线，三角形相似的判定和性质以及勾股定理，综合性强．能够连接常用的辅助线和证明是解答本题的关键． 【变式3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解； （3）由题意可分①当点F在的延长线上，②当点F在线段上，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 模型四 射影定理模型 条件 是直角三角形，， 图示 结论 ①； ②； ③ 【题型4 射影定理模型】 【例4】操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 【答案】(1)、； (2)证明见解析； (3)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明； ②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：、； （2）证明：， ， ， ， ， ， ； （3）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②解：正方形的边长为15， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ．    【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【变式4-1】如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 【答案】 【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴, ∵ ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键． 【变式4-2】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，求的长． （）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析（2）①证明见解析；②（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正切的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）证明，从而得出； （2）①由射影定理得，进而证得； ②根据勾股定理得出和的长，进而得出的长，根据得出，进而得出结果； （3）作于，作于，可证得，设，从而得出、、，可推出，根据面积法表示出，设，，从而表示出，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； ①证明：，是的中点， ， ，， 由射影定理得：， ， ， ； ②解：，，， ， 是的中点， ， 由①得：， ， ； （3）如图， 作于，作于， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， 由射影定理得，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 模型五 飞鱼模型 （一）模型特征 条件 ①；②；③；④ 图示 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值． 例如，已知，，则 （二）模型拓展 拓展方向 “飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线 过点E与点A辅助线作法一样 过点B作辅助线 过点D与点B辅助线作法一样 过点C作辅助线 过点F作辅助线 【题型5 飞鱼模型】 【例5】【基础巩固】如图1，在中，，，点D是AC的中点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，则的值为______；      【思考探究】如图2，当时，的值会发生变化吗？若不变，请写出证明过程；若发生变化，请说明理由．    【拓展延伸】如图3，在中，，点D是线段AC上任意一点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，若，请求出的值（用含n的式子表示）．    【答案】（1）；（2）不变，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解； （2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得； （3）证出，得到，利用相似三角形的性质即可求解. 【详解】解：如图，      中，，是的中点，， 是等边三角形，， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， ； （2）不变，证明如下： 证明：取的中点，连接．      ∵是的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴； （3）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式5-1】如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______． 【答案】 【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长． 【详解】如解图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴∽ ∴ ∴， 设为，则，由勾股定理得， 又∵， ∴， 则， ∵且， ∴∽， ∴， 即， 解得， ∴． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形． 【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为_____．    【答案】6或 ． 【分析】当∠AFB′＝90°时，证明△BDF∽△BAC，得到，即 ，求得BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，x＝2（ 3﹣x），解得x＝2，得到AE＝8﹣2＝6；当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，设AE＝x，证明Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），求得∠EB′H＝60°，利用EH2+AH2＝AE2，得到[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2， 解得x＝. 【详解】解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时， 在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4， ∴AB＝2AC＝8， ∵BD＝CD， ∴BD＝CD＝BC＝2， 由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE， ∴∠BDF＝60°， ∴∠EDB＝∠EDF＝30°， ∴∠B＝∠EDB＝30°， ∴BE＝DE＝B'E， ∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°， ∴△BDF∽△BAC， ∴，即 ， 解得：BF＝3， 设BE＝DE＝x， 在Rt△EDF中，DE＝2EF， ∴x＝2（ 3﹣x）， 解得：x＝2， ∴AE＝8﹣2＝6； ②如图2中，当∠AB′F＝90°时， 作EH⊥AB′交AB′的延长线于H，设AE＝x， ∵AD＝AD，CD＝DB′， ∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL）， ∴AC＝AB′＝4， ∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°， ∴∠EB′H＝60°， 在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x）， 在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2， ∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2， 解得：x＝， 综上所述，满足条件的AE的值为6或. 故答案为：6或 .          【点睛】此题考查折叠的性质，直角三角形30度角的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，利用分类讨论是思想解答问题. 【变式5-3】【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 【答案】阅读理解，；解决问题，猜想：，理由见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题． 阅读理解，过点作，证明和，列比例式并根据，，可得结论； 解决问题，作，证明，得，设，则，再证明，得，代入可得结论． 【详解】解：阅读理解， 过点作交于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点，即， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴； 解决问题， 猜想：，理由是： 如图，作交于点M， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 模型六 手拉手模型 （一）模型特征 条件 在中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC,将DE 绕点A旋转 图示 AD在内且拉手线无交点 AD在外且拉手线无交点 AD在外且拉手线有交点 结论 ①，； ②两条拉手线BD，CE相交于点F，则； ③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆 （二）模型拓展 拓展方向 公共角为直角的“手拉手”模型应用 条件 在中，DE∥BC，，将DE绕点A 旋转 图示 结论 ① ② ③连接BE，CD， ④ 【题型6 手拉手相似模型】 【例6】（2026九年级下·全国·专题练习）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． (1)如图2，若，，，为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为 ； (2)在图1中，连接，，求证：； 【变式应用】 (3)如图3，在中，，，为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 (4)如图4，若，，，若点在线段上运动（，且点不与点重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以、为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)面积的最大值为，此时的长度为 【分析】（1）在中，根据直角三角形的性质和勾股定理，求出和．由题意可得，，，进而可证明，使用相似三角形的性质求出； （2）由可推断出，结合，命题得证； （3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，计算出和．作，，垂足分别为、，根据三角形的面积公式可得，．容易证明，则，进而可得．结合，可证明，使用相似三角形的性质计算出； （4）容易证明，则，进而得出，从而判断出点E就在的垂线上运动．过作，，分别交直线于点、，设，则，根据直角三角形的性质和勾股定理计算出．容易证明，则，从而计算出，根据二次函数的性质求出最大值，以及此时的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， 由题意可知，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：在中，，，为的中点， ∴，，即， 由勾股定理可得，， 如图，作，，垂足分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （4）解：在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵和互为“手拉手等形三角形”， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴点就在的垂线上运动， 如图，过作，，分别交直线于点、，设，则， 在中，，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 取得最大值，此时， ∴面积的最大值为，此时的长度为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，三角形的内角和定理，二次函数的最值，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． 【变式6-1】（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）①连接，在中，由勾股定理得到，同理，，然后证明，即可求解； ②先求出，然后在中，运用勾股定理求解； （3）连接，先证明，再证明，然后由勾股定理求解得到，同理，则，那么，，，最后在中，由勾股定理建立方程 ，再解方程即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形，为正方形 ，， ， 在与中 ， ； （2）解：①，理由如下： 连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， 同理，在中， 四边形为正方形， ， ， ，即； ②， 在中，； （3）解：如图，连接， ∵四边形和均为矩形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 在中，， 解得或（舍） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点． 【变式6-3】（2026·四川成都·二模）在△ABC中， ， ， 是AC上一动点，作 的平分线交 于点 ． (1)当 时，求证： ； (2)将 沿 翻折得到 ，当 ，， 时，求的值； (3)将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 交 于点 ，若 ， ，，当的值最小时，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线性质和等腰三角形性质（），推导出 ，从而证明 ，最后利用相似三角形的对应边比例关系即可得出结论； （2）设，可得，由折叠和可以证明四边形是菱形，由此求出，过点作，垂足为，交延长线于点，可得，，进而求出，由平分可证明，由此求出，进而解题； （3）先解三角形求出，，再结合由平分可证明，由此可得当的值最小时，最小，即，再利用相似三角形的性质求出、，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据旋转和角平分线的性质求出、，由相似可得．由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴，即 ， ∴ ． （2）解：设，由可得， ∵， ∴， 由折叠可知， ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 过点作，垂足为，交延长线于点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 即，①式， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分，即， ∴， ∴， ∴代入①式得：， 解得：， ∴； （3）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，即 ， 解得：，， 过点作，如图，同理（2）可以证明，， ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值， 如图3，当时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， 解得：， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图， ∵平分， ∴， 由旋转可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 模型七 十字架模型 类型 作单垂线构直角三角形相似 作双垂线构直角三角形相似 条件 ，， ，，， 图示 结论 ①； ② ①； ② 【题型7 十字架相似模型】 【例7】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式7-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，为边上一动点，连接，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．若，时，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由折叠的性质得到，，由矩形的性质和等角的余角相等推出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合题意即可列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠的性质得到：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，求证：； 【类比探究】 （2）如图②所示，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）设与的交点为G，利用证明，得； （2）利用两个角相等证明，得； （3）过点C作交的延长线于点H，可得四边形为矩形，再证明，得，利用已知条件即可求出的长． 【详解】（1）证明：设与的交点为G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图2，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：如图3，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式7-3】某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论： 当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm； 乙：△FDM的周长为16cm； 丙：EG=BF. 你的任务： （1）填充甲同学所得结果中的数据； （2）写出在乙同学所得结果的求解过程； （3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时： ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； ②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 【答案】（1）AE=3cm ，EF=5cm；（2）详见解析（3）①乙的结果不会发生变化，证明见解析；②丙同学的结论还成立，证明见解析；S= ；当x=4，即F与AD的中点重合时,取得最大值，最大值是40． 【分析】（1）根据图形翻折变换的性质可设，则，利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出EF的长； （2）根据图形翻折变换的性质可得到，由相似三角形的判定定理可得出△AEF∽△DFM，再由相似三角形的对应边成比例即可得出△各边的长，进而求出其周长； （3）①设，利用勾股定理可得出，同理可知△AEF∽△DFM，再由相似三角形的性质可得出△的周长，由正方形的性质及全等三角形的判定定理可知≌△，进而可得出四边形的面积，由其面积表达式即可求出其面积的最大值． 【详解】解：（1），， 设，则，，， ， ， ∴，； （2）如图1， ∵， ∴， 又∵，， ∴△AEF∽△DFM， ∴， 又∵，，， ， ，，， ∴△的周长； （3）①乙的结果不会发生变化， 理由：如图2，设，， ， ∴AE=4－， 同上述方法可得△AEF∽△DFM， C△AEF，， 则，=16， ②丙同学的结论还成立， 证明：如图2， ∵B、F关于GE对称， ∴于P，过G作于K， ∴， 在正方形ABCD中，，， ∴≌△， ∴由上述可知， ≌△， ∴， =4－+x， S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=， S= ， 当x=4，即F与AD的中点重合时，S取得最大值，最大值是40． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，正方形的性质等，解题的关键是相似三角形的判定与性质的应用． 模型八 对角互补模型 条件 如图①， 方法 如图②，过点C作于点M，于点N 图示 结论 【题型8 对角互补型相似模型】 【例8】（2026·广东深圳·三模）新定义：有一组对角相等，且都为 ，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形 中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补：____________． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等：____________． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）____________． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点P作，N为垂足，过点D作，M为垂足．若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在 中， ， ， ， 平分 ，点E在边 上，若以B、C、E、D为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长． 【答案】(1)①正确； ②错误； ③正确； (2)； (3)线段 的长为6或 【分析】（1）①根据四边形内角和定理求解即可； ②连接 ，利用 证明△，即可判断； ③利用角平分线的定义结合①的结论，求得，即可判断； （2）连接 ，证明四边形是圆内接四边形，推出，据此求解即可； （3）分类讨论：①若，，证明 ，求得；②若，，过点 作，，垂足为点 ，，由勾股定理得 ，由角平分线性质定理可得，则，可得 ，据此求解即可． 【详解】（1）解：①， ， “垂直四边形”对角互补， 猜想①正确， ②如图，四边形 是“垂直四边形”， ，，但是 和 不等， “垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边不一定相等， 故猜想②错误； ③，是的平分线， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， “垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）， 猜想③正确， （2）解：连接 ，如图， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：，即， ， ； （3）解：平分 ， ， ①若，，如图， 在 与中， ， ， ； ②若，， 如图，过点 作，，垂足为点 ，， 在中， ， ， ， 由勾股定理得：， 平分 ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得：， ， 综上所述，线段 的长为6或． 【变式8-1】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 【答案】（1）①90；②见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）①由互补四边形和四边形内角和定理即可求出∠A的度数； ②证明得，进而可得，从而可证明四边形是互补四边形； （2）先证明得，根据EA=EB可得，根据三角形内角和定理得∠AHB=180°-(),再根据互补四边形的定义可得结论； （3）如图，作于点交的延长线于点则，由四边形CEDH是互补四边形可得，进而证明，，求得，再证明即可得到结论. 【详解】（1）①解：∵四边形ABCD是互补四边形， ∴∠B+∠D=180°， ∵∠B：∠C：∠D=2：3：4， ∴∠B=60°，∠C=90°， 又∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠A=180°-∠C=90°； 故答案为：90； ②证明： 又 四边形是互补四边形． 证明： 四边形是互补四边形， 如图，作于点交的延长线于点 则 四边形是互补四边形， ． 在中， 设则 ． ， 【点睛】考查了互补四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键． 【变式8-2】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)是，不是 (2)见解析 (3)①；②周长的最小值为 【分析】（1）根据“直等补”四边形的定义进行判断即可求解； （2）根据“直等补四边形的定义，将绕点顺时针旋转得到，则四边形是直等补四边形； （）①如图，将绕点顺时针旋转得到，可证得四边形是正方形，则有设，则，由勾股定理列方程解之即可； ②如图，延长到，使，延长到，使，则， 由的周长知，当、、、共线时，的周长取得最小值，过作交延长线于，易证，求得、，进而求得，在中，由勾股定理求得，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：根据定义可知，正方形是“直等补”四边形；菱形不是“直等补”四边形， 故答案为：是，不是； （2）如图所示，将绕点顺时针旋转得到， ， 共线， ，， 四边形是“直等补”四边形； （3）①四边形是“直等补”四边形，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到， 则，， 、、共线， 四边形是正方形， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：，即， 解得：或舍去， ， ②如图，延长到，使，延长到，使 则， 的周长 当、、、共线时，的周长取得最小值， 过作，交延长线于， ， ， ∴， 即， 解得：， 在中， ， ， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算． 【变式8-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究： (1)如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由； (2)如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1) 解：四边形为“等对角四边形”；理由如下： 是斜边上的中线， ， ， ， ∵， ∴在Rt中，， ， 显然， 故四边形为“等对角四边形”； (2)3或 【分析】（1）由直角三角形斜边上中线的性质得到，则，然后由互余关系，显然，即可证明； （2）分类讨论，①若，，证明，则；②若，，过点作，垂足为点，由勾股定理得，由角平分线性质定理可得，则，可得，求得，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ①若，， 如图2， 在与中， ， ； ②若，，如图3，过点作，垂足为点， 在中，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为3或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似八大模型（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 A字相似模型】 1 【题型2 8字相似模型】 3 【题型3 一线三等角相似模型】 4 【题型4 射影定理模型】 7 【题型5 飞鱼模型】 8 【题型6 手拉手相似模型】 11 【题型7 十字架相似模型】 14 【题型8 对角互补型相似模型】 17 模型一 A字模型 （一）模型特征 类型 正“A字”形 条件 在中，DE∥BC 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“A字”相似模型向斜“A字”相似模型拓展 类型 斜“A”字形(共角) 斜“A”字形（共角共边) 条件 在中，D是AB上的点，E是AC上的点， 或 在中，D是AB上的点， 或 图示 结论 【题型1 A字相似模型】 【例1】（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，，是上一点，点在上，连接，交于点，若，，则_____． 【变式1-3】如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 模型二 8字模型 （一）模型特征 类型 正“8字”形 条件 AC 与 BD交于点 O，AB∥CD（或一组内错角相等） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由正“8字”相似模型向斜“8字”相似模型拓展 类型 斜“8字”形(蝴蝶形) 燕尾形 条件 AC 与 BD 交于点 O， 或 B，D分别是AE，CE上的一点，AD与BC交于点F， 或 图示 结论 【题型2 8字相似模型】 【例2】（25-26九年级上·四川宜宾·期中）在中，，，，点D是边上的动点．连接，作，如图所示，，，连接．则的最小值是________． 【变式2-1】如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G． (1)求证：； (2)当点E为的中点时，求证：． 【变式2-3】在中，分别为边上的点，与相交于点． (1)若； ①_____； ②，则_____； (2)若，，_____． 模型三 一线三等角模型 （一）模型特征 类型 同侧一线三等角 异侧一线三等角 条件 两个三角形在直线同侧，点P在线段AB上， 两个三角形在直线异侧，点P在BA的延长线上， （， 居两边，跨中间） 图示 结论 （二）模型拓展 拓展方向 由一线三垂直的一般情况到特殊情况 条件 图示 结论 【题型3 一线三等角相似模型】 【例3】（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【变式3-1】如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=____． 【变式3-2】如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝，则下列结论：①∠DGA=∠CGF；②△DAG∽△CGF；③AB=2；④BE=CF．正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 模型四 射影定理模型 条件 是直角三角形，， 图示 结论 ①； ②； ③ 【题型4 射影定理模型】 【例4】操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．    (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接： ① 试利用射影定理证明； ② 若，求的长． 【变式4-1】如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______． 【变式4-2】如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题情境】如图1，在中，，，垂足为，我们可以得到如下正确结论：①；②；③，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”． （1）请证明“射影定理”中的结论②． 【结论运用】 （2）如图2，等腰直角的腰长为，点是斜边的中点，点在上，连接，过点作，垂足为，连接． ①求证：． ②若，求的长． （）如图，在中，已知，过点作，交于点，此时，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 模型五 飞鱼模型 （一）模型特征 条件 ①；②；③；④ 图示 结论 从上述4个关系式中，任选两个作为已知条件，可求出另外两个的值． 例如，已知，，则 （二）模型拓展 拓展方向 “飞鱼”模型常见的辅助线作法 过点A作辅助线 过点E与点A辅助线作法一样 过点B作辅助线 过点D与点B辅助线作法一样 过点C作辅助线 过点F作辅助线 【题型5 飞鱼模型】 【例5】【基础巩固】如图1，在中，，，点D是AC的中点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，则的值为______；      【思考探究】如图2，当时，的值会发生变化吗？若不变，请写出证明过程；若发生变化，请说明理由．    【拓展延伸】如图3，在中，，点D是线段AC上任意一点．延长BC至点E，使，延长ED交AB于点F，若，请求出的值（用含n的式子表示）．    【变式5-1】如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为_______． 【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置，B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形，则AE的长为_____．    【变式5-3】【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题： 中，是的中点，是上一点，延长、交于点，，，求的长． 小白的想法是：过点作交于，再通过相似三角形的性质得到、的比，从而得出的长．请你按照小白的思路完成解答． 【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题： 中，平分交于，为边上一点，，、为上两点，，，为上一点，连接交、于、，，猜想并验证与的数量关系． 模型六 手拉手模型 （一）模型特征 条件 在中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE∥BC,将DE 绕点A旋转 图示 AD在内且拉手线无交点 AD在外且拉手线无交点 AD在外且拉手线有交点 结论 ①，； ②两条拉手线BD，CE相交于点F，则； ③两条拉手线BD，CE相交于点F，则A，B，C，F四点共圆 （二）模型拓展 拓展方向 公共角为直角的“手拉手”模型应用 条件 在中，DE∥BC，，将DE绕点A 旋转 图示 结论 ① ② ③连接BE，CD， ④ 【题型6 手拉手相似模型】 【例6】（2026九年级下·全国·专题练习）综合与实践： 【新知定义】如图1，若，，则．小明称图1中的和互为“手拉手等形三角形”． (1)如图2，若，，，为的中点．以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接，则的长为 ； (2)在图1中，连接，，求证：； 【变式应用】 (3)如图3，在中，，，为的中点，为一边在右侧作，，，连接，求的长； 【综合应用】 (4)如图4，若，，，若点在线段上运动（，且点不与点重合），以为一边在右侧作，且和互为“手拉手等形三角形”，连接．以、为边构造矩形，连接．直接写出面积的最大值及此时的长度． 【变式6-1】（2026·湖北黄石·三模）如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【变式6-2】（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 【变式6-3】（2026·四川成都·二模）在△ABC中， ， ， 是AC上一动点，作 的平分线交 于点 ． (1)当 时，求证： ； (2)将 沿 翻折得到 ，当 ，， 时，求的值； (3)将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 交 于点 ，若 ， ，，当的值最小时，求． 模型七 十字架模型 类型 作单垂线构直角三角形相似 作双垂线构直角三角形相似 条件 ，， ，，， 图示 结论 ①； ② ①； ② 【题型7 十字架相似模型】 【例7】（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【变式7-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，为边上一动点，连接，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．若，时，则_________． 【变式7-2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图①所示，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，求证：； 【类比探究】 （2）如图②所示，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图③所示，在四边形中，．点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．若，，，求的长． 【变式7-3】某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动． 活动情境： 如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论： 当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE=______cm，EF=______cm； 乙：△FDM的周长为16cm； 丙：EG=BF. 你的任务： （1）填充甲同学所得结果中的数据； （2）写出在乙同学所得结果的求解过程； （3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时： ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论； ②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？ 模型八 对角互补模型 条件 如图①， 方法 如图②，过点C作于点M，于点N 图示 结论 【题型8 对角互补型相似模型】 【例8】（2026·广东深圳·三模）新定义：有一组对角相等，且都为 ，另一组对角不相等的凸四边形称为“垂直四边形”，如图1．在四边形 中，，． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． ①“垂直四边形”对角互补：____________． ②“垂直四边形”一组邻边相等时，另一组邻边也相等：____________． ③“垂直四边形”不相等的一组对角的角平分线互相平行（不考虑重合）____________． (2)如图2，四边形是“垂直四边形”，（），过点P作，N为垂足，过点D作，M为垂足．若，求的值； 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (3)如图3，在 中， ， ， ， 平分 ，点E在边 上，若以B、C、E、D为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段 的长． 【变式8-1】定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． 概念理解： ①在互补四边形中，与是一组对角，若则 _ ②如图1，在中，点分别在边上，且求证：四边形是互补四边形． 探究发现：如图2，在等腰中，点分别在边上， 四边形是互补四边形，求证：． 推广运用：如图3，在中，点分别在边上，四边形是互补四边形，若，求的值． 【变式8-2】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)判断正方形 “直等补”四边形；菱形 “直等补”四边形．(填“是”或“不是”） (2)如图1，在所给的网格中，画出符合条件的“直等补”四边形； (3)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，＝＝，＝，＞，点到直线的距离为． ①求的长； ②若、分别是、边上的动点，求周长的最小值． 【变式8-3】（2025·安徽合肥·一模）定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究： (1)如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由； (2)如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $