第3章 图形的相似 重难点精练卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦图形的相似，分层设计从基础概念到综合探究，通过梯度化题型培养几何直观、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|比例性质、相似概念、位似基础|直接应用概念（如单选题1比例式判断）| |中档|相似判定、性质计算、简单应用|结合图形与动态问题（如填空题16动点相似）| |拔高|综合证明、实际测量、迁移探究|跨情境与多知识点融合（如解答题21测量钟楼高度）|

第3章图形的相似重难点精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题是真命题的是（    ） A．两底角相等的三角形是等腰三角形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．相似三角形的面积比等于对应高的比 D．顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形 3．物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛的高是，蜡烛与凸透镜的距离是，蜡烛的像与凸透镜的距离是，则像的高是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．6 4．如图，中，，面积，则（  ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，把扩大到原来的2倍，则点的对应点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，若，且，则的值为（   ） A．4 B．24 C．35 D．49 8．如图，在一处舞台灯光设计中，等边的三个顶点被用作灯光投射定位点．灯光射线与交于点，且，，若米，则的长度是（   ） A．2米 B．4米 C．5米 D．3米 9．四分仪是一种十分古老的测量仪器．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，图2为截面示意图，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为1，实地测得为5，则井深为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，交于点H，点M，N分别是和的中点．若，则的长为（    ） A． B． C．2 D．1 二、填空题 11．已知，则____． 12．在比例尺为的地图上，量得、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是____________米． 13．如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且，，则为_____． 14．如图，点是的重心，过点作分别交边于点，连接，则___________． 15．如图，在矩形中，．点为、的交点，点在上，的延长线交于点，则的长为______；将图中的绕点顺时针旋转一周，设点O，E的对应点分别为．当直线时，线段的长为______． 16．如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 三、解答题 17．已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． (1)以点C为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为 (2)的面积为______． 18．如图，在中，D是边上一点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．在 中，，，，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 分别从 、 同时出发，设运动时间为 （）． (1)用含 的代数式表示 、 的长度； (2)当 为何值时， 的面积等于 ？ (3)当 为何值时， 与 相似？ 20．如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 21．承载着古老文明的咸阳钟楼，为明清风格建筑，塔状三层正方形，楼体两层三重檐，木质结构，琉璃瓦顶，巍然耸峙，雄伟壮观．一天，小玲和平平带着标杆和皮尺来到咸阳钟楼进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行3米到达B处时，恰好在镜子中看到钟楼顶端P的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为1.5米；然后，平平在F处竖立了一根高3米的标杆，发现地面上的点M、标杆顶点E和钟楼顶端P在一条直线上，此时测得米，米，已知，，，点Q、F、M、C、B在一条直线上，请根据以上数据，计算咸阳钟楼的高度． 22．综合与探究 九年级数学兴趣小组对下面的问题进行了探究．如图1，四边形是一个正方形，点是边上的一点，点是边上的一点，且满足，连接和． 【观察发现】 （1）和的数量关系是_____，位置关系是_____． 【类比分析】 （2）如图2，在矩形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交于点，垂足为点，若，，求的长． 【迁移探究】 （3）如图3，在中，，，点是上一点，连接，作交于点，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第3章图形的相似重难点精练卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D B B B B B 1．A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 2．D 【详解】解：A．底角是等腰三角形的特有概念，判定等腰三角形应为有两个角相等的三角形，该命题为假命题． B．对角线相等的平行四边形是矩形，等腰梯形对角线相等但不是矩形，该命题为假命题． C．相似三角形面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比，即面积比等于对应高的比的平方，该命题为假命题． D．设四边形中，对角线，，，，分别是，，，的中点， 连接，． ∵，，，分别是四边形各边中点， ∴由三角形中位线定理得：，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，该命题为真命题． 3．B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意，证明，可得，即可求出的长度． 【详解】解：根据题意，可得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选B． 4．B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定相似三角形，结合已知面积关系推导相似三角形的面积比，再根据相似三角形面积比与相似比的平方关系求解线段比．首先根据已知的面积等式，推导出与的面积之比；由可判定，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，计算得出的比值． 【详解】解：设()， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 5．D 【分析】本题考查位似图形的坐标特征，关键在于明确以原点为位似中心时，位似图形对应点的坐标是原坐标乘以位似比或其相反数． 【详解】解：∵以原点为位似中心，把扩大到原来的2倍，点， ∴当位似图形与原图形在位似中心同侧时，点的对应点的坐标为； 当位似图形与原图形在位似中心异侧时，点的对应点的坐标为； 则点的对应点的坐标为或． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，平行线的性质与判定，对于A，可证明得到，再由得到，据此可证明；对于B，所加条件和现有条件无法证明；对于C、可证明，则同A可证明；对于D，根据平行线的性质得到，则可证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 再结合条件不能证明，故此选项符合题意； C、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据平行线得出，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，是解题的关键．根据为等边三角形，得出，设米，则米，根据，得出，求出，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴设米，则米， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵米， ∴， 解得：， ∴米， 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解题的关键． 证，求出，再根据，即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ， ． 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．先根据三角形中位线定理求出，再证明，求得，即得答案． 【详解】解：点M，N分别是和的中点，， ， 四边形是正方形，且边长为6， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 解得， ． 故选：B． 11．/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例性质的应用是解题的关键． 由已知比例式设参数表示a和b，再代入所要求的式子计算即可求解． 【详解】解：设，则，， 代入得． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了比例线段，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键． 根据图上距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设、两地的实际距离为厘米， 则：， 解得：， 厘米米． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握两对边成比例且夹角相等，则两三角形相似是解题的关键． 根据题意可得，且，则，进而得到． 【详解】，， ，即， 又， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质和判定， 先连接，并延长交于点H，Q，P，根据中线的性质得出，再连接，并延长交于点H，然后根据，可得，，接下来设，则，进而得出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接，并延长交于点H，Q，P， 由三角形中线的性质可得，，，则， ∴， 则， ∴． 连接，并延长交于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． 设，则， ∴， 则， ∴． 故答案为：． 15． 或 【分析】根据勾股定理，得，继而得到；将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边上，过点作于点K，将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边的延长线上，设直线与直线交于点Q，过点作于点M，根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵点为、的交点， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点作于点H， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边上，设直线与直线交于点T， 过点作于点K， 根据旋转的性质，得，，， ∴． ∴． ∴直线， ∴， ∴， 将绕点顺时针旋转，的边恰好落在边的延长线上， 设直线与直线交于点Q， 过点作于点M， 根据旋转的性质，得，，， ∴． ∴． ∴直线， ∴， ∴， 综上所述，线段的长为或． 16．或 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 17．(1)作图见详解 (2)8 【分析】本题考查了位似三角形的作图，熟练掌握位似三角形的定义是解题的关键． （1）延长到使，延长到使，从而得到； （2）利用面积公式直接进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：由图可知，， 故答案为：8． 18．(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形得到，再代入数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ 19．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）由题意知，由可得； （2）由，可得关于的一元二次方程，求解即可； （3）①，②，根据对应边成比例，可建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）由题意知：，， ； （2）， ，即， ， 解得， ， ， 时， 的面积等于 ； （3）当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 或时，与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相关知识及分类讨论思想是解题的关键． 20．(1)证明：∵，， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由，，得，所以，同理得，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 21．27米 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，掌握该知识点是解题的关键．先证明，得到，不妨设，接着证明，推出，然后代入求值即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 不妨设， ∵米， ∴米， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴米． 答：咸阳钟楼的高度为27米． 22．（1），；（2）； （3）证明：过点作，交延长线于点，如图3所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定与性质，等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． （1）根据正方形的性质，证明，即可得出，，结合角度关系，可证出； （2）根据矩形的性质，以及，可证出，故，可求出的长； （3）过点作，交延长线于点，利用等腰三角形的性质，可证，得到，再证明，得出，结合，可证出结论． 【详解】（1）解：令与交点为，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，结合，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $