三 三角形、平行四边形和梯形（二）-【实验班】2026-2027学年五年级上册数学提优训练（北京版·新教材）

三角形、平行四边形和梯形（二 难题解题帮手 例①如下图，两个相同的直角三角形重叠在 2.如右下图，两个相同的直角梯形重叠在一 一起，求涂色部分的面积。（单位：厘米） 起，求涂色部分的面积。（单位：厘米） 5 8 B 32 20 E 10 思路分析 由图可知：涂色部分的面积十三角形 DOC的面积=三角形DOC的面积十梯形 OEF℃的面积，所以涂色部分的面积=梯 形OEFC的面积。先求出梯形OEFC的 例2如下图，一个长方形被分成一个三角形 上底，再利用梯形面积公式即可求解。 和一个梯形，它们的面积相差28平方厘米，梯 解答：(10-3+10)×2÷2=17（平方厘米） 形的上底BE长多少厘米？ 答：涂色部分的面积是17平方厘米 A B 方法点拨 解决本题的关键是运用转化的方法， 7厘米 将求涂色部分的面积转化为求与它面积 相等的底和高都已知的梯形的面积。 D 10厘米C 巩固深化 思路分析 由图可知，过E点作DC边的垂线 1.如右下图，两个相同的直角三角形重叠在一 EF,三角形ADE与三角形DEF面积相 起，求涂色部分的面积。（单位：厘米） 等，梯形与三角形相差的面积就是长方形 EFCB的面积，用长方形EFCB的面积 D 除以BC的长就是BE的长度。 0 B B 53 E 12 7厘米 10厘米F 解答：28÷7=4（厘米） 实验班 提优训练 答：梯形的上底BE长4厘米。 AD=7厘米，BC=3厘米。求四边形ABCD 方法点拨 的面积。 解决本题的关键是先根据图形的特 ,点添加辅助线，把隐蔽的条件显现出来， 将抽象的面积差转化为直观的长方形面 积进行求解。 459 李巩固深化 3.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， 附办加题兴趣班 学霸或有兴趣挑战者进入，其余可绕过 一名师讲坛 厘米？ 例1如图，平行四边形的面积为150平方厘 米。求涂色部分的面积为多少平方厘米。 12厘米 思路分析 观察题图，三个涂色三角形的底边之 例2如图，正方形ABCD的边长为8厘米， 和等于平行四边形的底，高等于平行四边 三角形ADF的面积比三角形CEF的面积多 形的高。因此，涂色部分的面积等于平行 10平方厘米。涂色部分的面积是多少平方 四边形面积的一半。 厘米？ 解答：150÷2=75（平方厘米） 答：涂色部分的面积为75平方厘米。 方法点拨 E 解本题的关键是运用“一半模型”思 思路分析 想，通过观察发现三个涂色三角形底边之 因为三角形ADF的面积比三角形 和等于平行四边形底边，且高相等。利用 CEF的面积多10平方厘米，且三角形 三角形面积公式叠加后，总面积正好是平 AFC是三角形ADC和三角形AEC的公 行四边形面积的一半。 共部分，所以三角形ADC的面积比三角 形AEC的面积多10平方厘米，所以只要 久学霸播治 求出三角形ADC的面积就能求出三角形 AEC的面积。三角形ADC的面积是正 1.如图，一个等腰直角三角形，最长的边是 方形ABCD面积的一半。 12厘米，这个三角形的面积是多少平方 8 解答：8×8÷2-10=22（平方厘米） 形的边长，AB和AD都是大正方形的边 答：涂色部分的面积是22平方厘米。 长，所以三角形AGC和三角形ACE面积 方法点拨 解本题的关键是利用“差不变”的原 相等。从这两个三角形中分别去掉它们 的共同部分（即三角形ACH),则剩下部 理，通过公共部分（三角形AFC)建立联 系，将三角形ADF与三角形CEF的面积 分的面积也相等，即三角形AGH和三角 形CEH的面积相等，这样原图中涂色部 差转化为三角形ADC与三角形AEC的 面积差，进而求解。 分的面积就可以转化成三角形GCE的面 积，而三角形GCE的面积等于小正方形 少学霸播6 面积的一半。 B 2.下图中平行四边形ABCD的边BC长 G 10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长 8厘米。已知涂色部分的面积比三角形 EFG的面积大10平方厘米，求平行四边形 ABCD的面积。 解答：4×4÷2=8（平方厘米） 答：涂色部分的面积是8平方厘米。 方法点拨 解本题的关键在于找到等面积的三 角形（三角形AGC与三角形ACE),通过 减去公共部分实现面积转化，此法可迁移 至其他复杂图形面积求解。 少学霸播治 3.边长分别为8cm和6cm的两个正方形 例3下图是由两个正方形拼成的图形，其中 ABCD与BEFG并排放在一起（如下图）。 小正方形的边长是4厘米，求涂色部分的 连接DE交BG于点P,求图中涂色部分的 面积。 面积。 B H “思路分析 如图，连接AC,三角形AGC的面 积=GC X AB÷2。三角形ACE的面 积=CEXAD÷2,GC和CE都是小正方 9实验班 缇优训练 3支同样的铅笔的价钱，用除法即可得每支铅笔的 价钱；再根据已知条件即可求出每本练习本的价钱。 5.5.94÷(10-1)=0.66 【解析】把一个数的小数点向右移动一位，相当于 把这个数扩大到原来的10倍，即所得的数比原来 的数增加了9倍，由题意可知，所得的数比原来的 数增加了5.94，求原来的数是多少，用除法计算。 6.286.26÷(1+0.1+0.001)=260 【解析】由小数点移动引起小数大小变化的规律 可知，小数点向左移动一位，相当于把原数乘0.1， 小数点向左移动三位，相当于把原数乘0.001。由 此可知，乙数=甲数×0.1，丙数=甲数×0.001，甲 数+乙数+丙数=甲数×(1+0.1+0.001)，即三 个数的和是甲数的1.101倍，求甲数是多少，用除 法计算，列式为286.26÷1.101。 [附加题兴趣班 循环数字 1.89286884286884… (300-2)÷6=49(组)…4（个） 第300个数字是8。 2+8+6+8+8+4=36 36×49+8+9+2+8+6+8=1805 前300个数字的和是1805。 【解析】多写出几个数字，先找出规律，再计算。 循环数字是286884，求第300个数字是几，就是求 除2个不循环数字外298里有多少个6，有余数的 话，余数是几，第300个数字就是循环数中第几个 数。前300个数字的和=不循环数字的和+一组 循环数字的和×组数十余数中几个数字的和。 2.5÷7=0.714285 100÷6=16(组)…4（个） 小数点后面第100位数字是2。 7+1+4+2+8+5=27 27×16+7+1+4+2=446 【解析】5÷7=0.714285，商是循环小数，循环节 有6位，用100÷6=16（组）…4（个），则循环节 重复出现了16组，余数是4，得出第100位数字是 循环节中的第4个数字2。先求出一组循环节中 数字的和，再求出16组的和加上循环节中的前 22 4位数的和，就是前100位的和。 3.5÷13=0.384615 200÷6=33(组)…2（个） 小数点后面第200位数字是8。 3+8+4+6+1+5=27 27×33+3+8=902 【解析】一个循环节有6个数字，得到200÷6= 33(组)…2（个），这两个数字分别是3和8，小数 点后面第200位是数字8；循环节中6个数字的和 是3+8+4十6+1+5=27，小数点后面200位的 数字之和是27×33+3+8=902。 4.16÷37=0.432 2011÷3=670(组)…1（个） 小数点后面第2011位上的数字是4。 (4+3+2)×670+4=6034 【解析】先计算16÷37的商，即16÷37= 0.432432…,商是循环小数，三个数字为一个循环 节，那么2011÷3=670（组）…1（个），因此小数 点后面第2011位上的数字是4；因为一组循环节 的和是(4+3+2)，所以670组的和再加上第 2011位上的数字4，就是这2011位的数字之和，即 (4+3+2)×670+4=6034。 5.180÷(90÷3)=66=0+1+5=0+2+4=1+ 2+3 这个循环小数最大是0.510，最小是0.015。 【解析】一个循环节有3个数字，小数部分前 90位有(90÷3)个循环节，每个循环节中数字的和 是180÷(90÷3)=6，也就是A、B、C三个数的和 是6。因为A、B、C为三个不同的自然数，所以可 能是0、1、5或0、2、4或1、2、3。所以循环小数最 大是0.510，最小是0.015。 三三角形、平行四边形和梯形（二） [难题解题帮手] 1.12-5=7(厘米) (7+12)×3÷2=28.5(平方厘米) 【解析】两个相同的直角三角形重叠在一起，空白 三角形DOC是公共部分，所以涂色部分梯形和梯 形OEFC的面积相等。 2.(20-5+20)×8÷2=140(平方厘米) 【解析】因为两个直角梯形相同，所以它们的面积 相等。涂色部分的面积等于直角梯形面积减去重 叠部分面积。下面空白梯形面积也等于直角梯形 面积减去重叠部分面积。因此涂色部分面积等于 下面空白梯形面积。下面空白梯形的上底为20 5=15(厘米)，下底为20厘米，高为8厘米。根据 梯形面积公式：（上底十下底）×高÷2，可得空白梯 形的面积为(15+20)×8÷2=140（平方厘米）。 3.7X7÷2-3×3÷2=20(平方厘米) 【解析】四边形ABCD是一个不规则的四边形， 无法直接计算出面积，因为∠B=∠D=90°， ∠A=45°，把DC、AB延长相交于E点，添补上一 个直角三角形CBE。在三角形ADE中，∠E= 180°-45°-90°=45°，所以三角形ADE和三角形 CBE都是等腰直角三角形，ED=AD=7厘米， EB=BC=3厘米，如下图。用三角形ADE的面 积减去三角形CBE的面积就是四边形ABCD的 面积。 B C 3厘米 45°>A D7厘米 [附加题兴趣班] 1.12×12÷2=72(cm) 72÷2=36(cm2) 【解析】如图，可以假设有2个完全一样的等腰直 角三角形，将这两个等腰直角三角形拼成一个大等 腰直角三角形。大等腰直角三角形的两条直角边 的长度即为原等腰直角三角形的最长边的长度。 由此可求出大等腰直角三角形的面积，再用大等腰 直角三角形的面积除以2即可得到这个三角形的 面积。 12 cm 12 cm 2.10×8÷2+10=50(平方厘米) 【解析】涂色部分的面积一三角形EFG的面积= 23 10平方厘米，可得（涂色部分的面积+梯形FBCG 的面积)一（三角形EFG的面积十梯形FBCG的 面积)=10平方厘米，则平行四边形ABCD的面 积一三角形EBC的面积=10平方厘米。已知三 角形EBC的两条直角边BC和EC的长，可以求 出其面积，从而求出平行四边形ABCD的面积。 3.6×6÷2=18(cm2) 【解析】连接DG(如图)。因为三角形DGP与三 角形AGP的底均为GP,高均为8cm,所以三角形 DGP与三角形AGP的面积相等。连接DB(如 图)。DBGE,而三角形DEG的底和高分别与三 角形BGE的高和底相等，则这两个三角形面积相 等，则涂色部分的面积转化为三角形BGE的面积。 D B 四统 计 [难题解题帮手] 1.答案不唯一，如： (1)哪个班的数学平均成绩好？ (2)五(1)班同学这学期期中数学、语文、英语三科 的平均成绩都低于五(2)班。 (3)建议五(1)班向五(2)班请教各科的学习方法， 尽快提高各科成绩。 【解析】根据统计图中信息并结合实际解答。 2.16×4=64(棵) 64一12-20-16=16（棵） 【解析】先求4个小组植树的总棵数，再求第1组 植树的棵数。第1组植树的棵数=植树的总棵 数一第2组植树的棵数一第3组植树的棵数一第 4组植树的棵数。 3.8×4=32(毫米)32-12-10-8=2（毫米） 【解析】关键条件是第4本笔记本的厚度=4本笔 记本的平均厚度。先求4本笔记本的总厚度，再求 第1本笔记本的厚度。第1本笔记本的厚度= 4本笔记本的总厚度一第2本笔记本的厚度一第 3本笔记本的厚度一第4本笔记本的厚度。 4.5×2=10(个)7×2=14（个）