河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假高二升高三数学专题训练（2）--统计

**基本信息** 聚焦统计核心素养，以禁毒教育、交通治理等现实情境为载体，分层考查抽样方法、数据特征及图表分析能力，适配新高三暑假专题巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分层抽样、中位数、统计图选择|结合大学生人数抽样、禁毒成绩统计等基础情境| |多选题|3/18|分层抽样比例、频率分布直方图分析|通过员工福利调查、身高分层数据考查综合判断| |填空题|3/15|极差与中位数关系、分层方差计算|设计掷骰子数据特征分析，强化数据思维| |解答题|5/77|频率分布直方图应用、平均数方差计算|以空调满意度、交通拥堵分析为背景，突出数学语言表达现实问题能力|

河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（2） 范围：（必修第二册）统计 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为300的样本，则应抽取三年级的学生人数为（   ） A．60 B．70 C．80 D．90 2．为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（    ） A．平均数变小，中位数变大 B．平均数不变，众数不变 C．平均数变大，中位数不变 D．平均数不变，众数变大 3．为了解两名同学数学成绩的变化情况，下列的统计图使用最方便的是（   ） A．频率分布直方图 B．条形图 C．折线图 D．扇形图 4．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取50袋进行检验．先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读取，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号是（   ） 第7行：84   42   17   53   31   57   24   55   06   88   77   04   74   47   67   21   76   33   50   25   83   92   12   06   78 第8行：63   01   63   78   59   16   95   55   67   19   98   10   50   71   75   12   86   73   58   07   44   39   52   38   79 第9行：33   21   12   34   29   78   64   56   07   82   52   42   07   44   38   15   51   00   13   42   99   66   02   79   54 A．55，67，19，98，10 B．556，719，810，507，175 C．785，567，199，507，175 D．556，719，050，717，512 5．某公司生产的一批零件有、、三种不同型号，产量分别为，300，200件，现用分层抽样的方法从这批零件中抽取45件进行检验，若种零件被抽取20件，则（   ） A．400 B．300 C．250 D．200 6．样本数据5，2，7，6，1，4的第40百分位数为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 7．2022年7月15日，国家统计局发布了2022年上半年居民人均消费支出及构成情况如图所示，根据图中的信息，针对2022年上半年，下列结论不正确的是（　　） A．居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为9.8% B．居民人均消费支出为11440元 C．居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒”上的人均消费支出 D．居民在“衣着”上的人均消费支出比在“交通通信”上的人均消费支出的一半少 8．某班级有名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这名学生中抽取人进行家访，则同学被抽到的可能性为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．某大型企业对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下（单位：人）： 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下 200 400 800 35岁及以上 100 100 400 则下列说法正确的是（    ） A．所有参与调查的有2000人 B．按照年龄进行分层随机抽样，则抽取的35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为 C．从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，则 D．从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是4 10．为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（    ） A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的学生人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 11．给出以下26个数据： 46.5，47.5，52.5，52.5，53.5，53.5，54.0，55.5，55.5， 56.5，56.5，57.5，57.5，59.5，60.5，61.0，61.0，61.5， 61.5，61.5，62.5，62.5，63.0，68.5，69.5，69.5 对于以上所给的数据．下列选项正确的是（    ） A．中位数为57.5 B．极差为23 C．众数为61.5 D．80％分位数为61.5 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．在高一某次数学周测考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中试卷上有一道满分为13分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数等于这组数据极差，则该组数据上四分位数是______． 13．吉林市一中学有男生900人，女生600人．在“书香校园”活动中，为了解全校学生的读书时间，按性别比例分层随机抽样的方法抽取100名学生，其中男生、女生每天读书时间的平均值分别为60分钟和80分钟，方差分别为10和15．结合上述数据估计该校学生每天读书时间的方差为__________． 14．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子次（骰子每次出现的点数等可能为），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为，众数为；②中位数为，极差为；③中位数为，平均数为；④平均数为，方差为；可以判断一定没有出现点的描述序号是_________．（错选或漏选不给分） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题分某品牌空调为了解客户对某款空调使用的满意度，进行了一次客户满意度问卷测试，测试成绩均位于区间内，从中随机抽取了名客户的测试成绩，将所得数据分成五组：，，，，，绘制得到频率分布直方图，如图所示． (1)求a的值； (2)求这400名客户中测试成绩落在内的人数； (3)估计这400名客户测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 16．本小题分在人工智能背景下，某校积极推动与传统教学深度融合以变革授课模式．为了解落地效果和学生满意度，现从全体学生中随机抽取名学生对融合式教学模式进行满意度评分，整理数据并按评分分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中评分在内的学生共21人． (1)求与的值； (2)估计这名学生评分的平均数； (3)从所抽取的评分在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取名学生做进一步的调查，求评分在内的学生应抽取的人数． 17．本小题分为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百分制）作为样本，并按，，…，分组，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数； (2)估计样本中成绩的上四分位数，众数，平均数及方差； 18．本小题分为提升城市主干路通行效率，某交通管理部门计划为辖区内一条城市主干路优化红绿灯配时．该主干路由若干个单位路段（即相邻两个红绿灯路口之间的道路段）构成，现选取这条主干路的一个单位路段作为样本路段进行研究．从早高峰期间途经该样本路段的小型汽车中随机抽取1000辆，记录其通行时长（单位：秒），并将收集的数据分成7组，得到如下的频率分布直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在（单位：秒）的车辆数； (2)根据《城市交通运行状况评价规范》国家标准，若在某一时段，路段内通行时长超过理想状态下通行时长1.2倍的车辆占比超过；则可认为该路段在这一时段为拥堵路段．已知该样本路段理想状态下通行时长为58秒，判断该样本路段是否为早高峰拥堵路段，并说明理由； (3)为确定沿线红绿灯配时，现需预设该样本路段早高峰的基准通行时长（单位：秒）．若交管部门计划早高峰期间至少半数车辆在该样本路段通行时长不超过，请判断能否以收集数据的平均数作为基准通行时长，并说明理由． 19．本小题分某学校举办读书节活动，该校有2000名学生，现随机调查了100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照，，…，分组绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟，同一组中的数据用该组的中点值作代表）. (1)求的值，若每周课外阅读时间60分钟以上（含60分钟）视为达标，试估计该校达标的人数； (2)估计该校学生每周课外阅读的平均时间； (3)若样本数据在与内的方差分别为，，求样本数据在内的方差. 试卷第4页（共5页） 试卷第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C A B D A AC ABC 题号 11 答案 BC 1．A 【详解】由题意可得应抽取三年级的学生人数为(人). 2．C 【详解】真实数据的平均数为，中位数为，无众数；记错的数据的平均数为，中位数为，众数为;所以平均数变大，中位数不变. 3．C 【详解】折线图更易于显示数据的变化趋势． 4．C 【详解】由题意得第8行第7列的数为7，每次取3个连续数字，数字串为，其中都超出， 所以最先检测的5袋牛奶的编号是785，567，199，507，175. 5．A 【详解】由题意得，解得. 6．B 【详解】将该组数据从小到大排列：1，2，4，5，6，7， 因为，不是整数，所以第40百分位数为第3项数据，即4. 7．D 【详解】对于A，由题中饼状图可知，居民在“教育文化娱乐”上的人均消费支出的占比为： ，故A正确； 对于B，居民在“其他用品及服务”上的人均消费支出为286元，占比2.5%， 所以居民人均消费支出为 （元），故B正确； 对于C，居民在“居住”“生活用品及服务”“医疗保健”上的人均消费支出之和占比为 ， 在“食品烟酒”上的人均消费支出占比为30.8%， ，故C正确； 对于D，居民在“衣着”上的人均消费支出的占比为6.5%，在“交通通信”上的人均消费支出的占比为12.7%， ，故D错误.故选：D. 8．A 【详解】总体有个个体，每个个体被抽到的概率相同，故同学被抽到的可能性为． 9．AC 【详解】A：由题意得，所有参与调查的人数为，对； B：35岁以下的人数为1400，35岁及以上的人数为600， 所以按照年龄进行分层随机抽样，抽取35岁以下的人数和35岁及以上的人数之比为，错；C：从所有参与调查的人中，按支持方案进行分层随机抽样的方法抽取人， 已知从支持A方案的人中抽取了6人，则，解得，对； D：从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，年龄在35岁及以上的人数为，错.故选：AC 10．ABC 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确；对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误. 故选：ABC 11．BC 【详解】由题可知，中位数为，所以A错误；极差为，故B正确；众数为61.5，故C正确；又，因此分位数为第21个数，其值为62.5，故D错误． 12．10 【详解】已知数据，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数6和的平均数，即中位数为．极差是最大值12减去最小值4，即极差为． 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以．可得． 此时这组数据为4，5，6，10，10，12．计算6与75%的乘积为4.5，所以从小到大，上四分位数是第5个数，即10． 13．108 【详解】设该校男生、女生每天读书时间的平均值分别为，方差分别为，该校全体学生每天读书时间的平均值为，方差为， 学校有男生900人，女生600人，从中抽取100人，则抽样比为， 其中抽取男生（人），抽取女生（人）， 则（分钟），. 14．①④ 【详解】①由于中位数为，众数为，故出现两次，又中位数为，则数据从小到大为，一定没有； ②中位数为3，极差为3，则数据从小到大为符合题意，故可能出现； ③中位数为，平均数为，则设数据从小到大为符合题意，故可能出现6； ④平均数为，方差为，则设满足要求且含的数据从小到大为， 故且， 那么且，， 平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有. 综上，①④一定没有. 15．【详解】（1）由题意知，解得． （2）测试成绩落在的频率为， 所以这400名客户中测试成绩落在内的人数为． （3）估计这400名客户测试成绩的平均数． 16．【详解】（1）由，解得.. （2）根据频率分布直方图，估计这60人的平均数为： . （3）从所抽取的评分在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取名学生做进一步的调查，评分在内的学生应抽取的人数为：. 17．【详解】（1）根据频率分布直方图，各组频率之和为1，得：，解得：， 则样本中成绩不低于60分的人数为：. （2）上四分位数：前四组的累积频率为：， 前五组的累计频率为：，因为，所以上四分位数位于内， 设上四分位数为，则，解得：，故估计样本中成绩的上四分位数为86；众数：因为众数为最高矩形的中点，故众数为75； 平均数：； 方差：. 18．【详解】（1）因为区间对应的频率／组距为0.032，组距为10， 所以通行时长在的车辆所占频率为． 因为抽取的共1000辆车，所以． 因此，抽取的这1000辆小型汽车在该样本路段早高峰期间通行时长在的车辆数为320． (2)该样本路段是早高峰拥堵路段，理由为：由已知，得理想状态下通行时间的1.2倍为：．由频率分布直方图，知区间和区间对应的频率／组距分别为0.028和0.004，因此，通行时长超过70秒的车辆所占频率为． 所以通行时长超过理想状态下通行时间的1.2倍（69.6秒）的车辆占比大于0.32． 因为，所以该样本路段是早高峰拥堵路段 (3)不能以作为基准时长．理由如下： 因为频率分布直方图在左边“拖尾”，所以平均数小于中位数， 若以作为基准时长，那么有超半数的车辆通行时长大于， 即在该样本路段通行时长不超过的车辆不到半数．所以不能以作为基准时长． 能以作为基准时长．理由如下： 的估计值为：． 当通行时长在时，频率为． 当通行时长在时，频率为， 由上可知中位数在区间内． 设中位数为，则，解得，所以中位数为64.375． 由于64.375与62.6比较接近，又因为样本具有随机性，所以可以以作为基准时长． 19【详解】（1）由频率分布直方图可知，组距为， 则， 解得. 每周课外阅读时间在分钟以上（含分钟）的频率为： . 故估计该校达标的人数为（人）. （2）该校学生每周课外阅读的平均时间为： （分钟）. （3）样本数据在内的频率为，平均数为，方差； 样本数据在内的频率为，平均数为，方差. 设样本数据在内的平均数为，方差为. 则. 由分层方差公式可得： . 故样本数据在内的方差为. 答案第4页（共5页） 答案第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $