河北省承德市双滦区实验中学2025--2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（15）---复数 导数 选择性必修3

**基本信息** 聚焦复数、导数及选择性必修3内容，以蓝藻治理、金融投资等真实情境为载体，构建基础巩固到创新应用的能力梯度，适配高二暑假专项提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、离散型随机变量、回归方程变换|基础概念辨析，如纯虚数条件判断| |多选题|3/18|排列组合、随机事件独立性、函数极值|多维度概念辨析，如概率命题真假判断| |填空题|3/15|复数几何意义、导数恒成立、正态分布|简洁考查关键能力，如活塞销合格品概率计算| |解答题|5/77|二项式定理、概率期望、回归分析、导数综合|真实情境综合应用，如蓝藻面积指数回归模型构建、函数零点与不等式恒成立问题|

河北省承德市双滦区实验中学 2025- -2026学年第二学期暑假高二数学专项测试卷（15） 范围：复数 导数 选择性必修3 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．计算（   ）A． B． C． D． 2．已知离散型随机变量的分布规律为，则（    ） A． B． C． D． 3．用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（    ）A． B． C． D． 4．若复数为纯虚数，则的值为（    ） A． B．1 C． D．以上都不对 5．若函数为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，下面关于各项的描述正确的是（    ） A．第一项是含的项 B．第二项是常数项 C．第三项是 D．各项的系数和为 8．甲、乙两名同学从6门选修课中各自任选3门，记为被甲或乙选中的选修科目数量，则数学期望为（   ）A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列说法正确的是（   ） A．5名同学排成一排，甲乙相邻，则不同的排法有24种 B．若将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班，则有150种不同的分配方案 C．6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额，不同方法数有10种 D．5名同学站成一排，甲在乙的左边，丙在乙的右边（可以不相邻），则不同的站队方法种数为40 10．下列命题中，正确的命题是（    ） A．若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B．设随机变量，若方差，则 C．设随机变量，若，则 D．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 11．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．有三个零点 C．若在上单调递增，则a的范围为 D．函数有两个极值点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知为虚数单位，复数在复平面中对应的点的坐标为_________. 13．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______． 14．某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为.根据生产规定：活塞销的直径在到之间为合格品，则从该汽车制造厂生产的活塞销中随机抽取一个，其为合格品的概率为______. 参考数据：若随机变量，则，，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 16．(本小题15分）美国次贷危机引发2008年全球金融动荡，波及中国两大股市．甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“抄底”．若三人商定在圈定的10只股票中各自随机购买一只（假定购买时每支股票的基本情况完全相同）． (1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一只股票的概率； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一只股票的概率； (3)由于国家采取了积极的救市措施，股市渐趋回暖．若某人某天按上一交易日的收盘价20元／股买入1000股某只股票，且预计当天收盘时，该只股票涨停（比上一交易日的收盘价上涨）的概率0.5，持平的概率为0.2，否则将下跌，求此人当天获利的数学期望（不考虑交易税）． 17．(本小题15分）水体富营养化导致藻类大量繁殖，以2017年中国太湖蓝藻爆发为例：5月初监测发现湖体中蓝藻细胞密度为每升50万个，随着气温升高至25-30℃且氮磷营养盐浓度超标（总磷浓度达），蓝藻进入增长期.5月10日细胞密度增至每升200万个，5月15日突破每升800万个，5月20日达到每升3200万个，形成面积超150平方公里的绿色水华带.此次爆发导致湖区溶解氧骤降至以下，大量鱼类死亡，自来水厂被迫停产，所以对水资源的保护刻不容缓.现对某区域的藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系，进行监测，得到如下数据： x/年 1 2 3 4 5 6 7 y/平方公里 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图： 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为藻类面积y（单位：平方公里）与时间x（单位：年）的关系的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程. 参考数据： 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中， 参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 18．(本小题17分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 19．(本小题17分）已知函数，． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A C D A A BC ACD 题号 11 答案 AD 1．B 【详解】，，故分子为，又，因此原式. 2．C 【详解】.将（）代入得： 得，解得，事件等价于或，两事件互斥， 因此 . 3．B 【详解】由模型，可得，即，因为变换后得到经验回归方程为，所以，即，故. 4．A 【详解】由题意得，​ 因为该复数是纯虚数， 所以​，解得，即， 又 ，代入，得， 因为，所以，所以 . 5．C 【详解】的定义域为，，因为函数为其定义域上的增函数，所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号，所以，即. 6．D 【详解】．设，则， ，，∵，∴． 7．A 【详解】展开式通项公式为. 对于A，第一项，代入得，A正确. 对于B，第二项，代入得，B错误. 对于C，第三项，代入得，C错误. 对于D，令，则，所以各项的系数和为729，D错误. 8．A 【详解】将6门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，，， 则， 又，， ， 所以． 9．BC 【详解】A：因为甲乙相邻， 所以将甲乙两人看成一人，因此不同的排法有种，所以本选项说法不正确； B：因为将5名同学分配到3个班进行宣讲，每班至少1名同学，且每名同学只去1个班， 所以有两种分组形式，一种，另一种， 因此不同的分配方案有种，所以本选项说法正确； C：因为6个三好学生名额分给3个班，每个班至少一个名额， 所以有以下几种分配方式： 第一种；平均分配，这样只有一种分配方法； 第二种：按照的方式进行分配，有种分配方法； 第三种：按照的方式进行分配，有种分配方法， 所以一共有种方法，因此本选项说法正确； D：因为甲在乙的左边，丙在乙的右边，等价于甲、乙、丙顺序固定， 所以不同的站队方法种数为，因此本选项说法不正确. 10．ACD 【详解】选项A，因为，所以， 因为，所以，即， 则相互独立，A正确.选项B，因为，所以方差为， 解得或，若，则， 若，则， 存在两种结果，不一定等于，B错误. 选项C，因为，所以正态曲线关于直线对称， 由对称性得到，则， 则，C正确. 选项D，因为回归直线过样本中心点， 所以，解得 ，即， D正确. 11．AD 【详解】，求导得， 选项A：，，故A正确； 选项B：，当或1时，零点重合，函数仅有2个零点，故B错误； 选项C：， 求导得，已知在单调递增， 则在上恒成立，是开口向上的二次函数，对称轴为， ，故有两个不同实根， 记为，则， 则需满足，即，解得， 或，此时无解，故，而非，故C错误； 选项D:由C知，恒成立，即有2个变号零点，故有两个极值点，故D正确． 12．【详解】，故对应点的坐标为. 13． 【详解】当时，，满足恒成立，符合题意； 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，，故， 所以存在使得，不满足题意； 当时，令，得， 当时，，当时，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令且，所以，解得， 综上，实数a的取值范围为. 14． 【详解】依题意，设活塞销的直径为随机变量，则， 其中，，即 合格品直径范围为，将端点变形为，， 即求由正态分布的对称性可得： , 所以． 15．【详解】（1）的展开式的通项为， 因为第三项的系数是第二项系数的2倍， ，解得，因为，所以； （2）由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项， 由（1）知第5项为，第6项为， 所以二项式系数最大的项为和； （3）由（1）知展开式中的系数为， 所以展开式中含项的系数为219. 16．【详解】（1）三人恰好买到同一只股票的概率． （2）解法1：三人中恰好有两人买到同一只股票的概率． 由（1）知，三人恰好买到同一只股票的概率，所以三人中至少有两人买到同一只股票的概率．解法2：． （3）每股当天获利钱数的分布列为： 2 0 0.5 0.2 0.3 所以，1000股在当天交易中获利钱数的数学期望为． 17．【详解】（1）由散点图得，藻类面积随时间的增加其增长速度越来越快， 所以更适宜作为藻类面积y与时间x的关系的回归方程类型. （2）由，两边同时取常用对数得， 设，，，则，由，， 得， 则， 因此，即 ，所以y关于x的回归方程为. 18．【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为，又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）函数的零点个数为2．，理由如下：因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． （3）因为对任意的，都有，所以． 设，，则． 由（2）知，在上单调递增．因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值，． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 19．【详解】（1）由，，则， 又为函数的极值点，则，解得， 验证：时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以为函数的极大值点，即满足题意．故． （2）由，，令，， 当时，，即，所以在上单调递增； 当时，是开口向下的二次函数，且其对称轴为， 又，则存在唯一正根， 则当时，，即，所以在上单调递增； 当时，，即，所以在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由函数的图象恒在轴的下方，即在上恒成立． 结合（2）， 当时，有在上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则当时，，即，所以在上单调递增， 且时，，不符合题意； 当时，在处取得最大值，则只需即可， 又，得， 则，得， 即，整理得， 所以， 令，， 则， 即在上单调递增，且， 所以时，解得，即时，解得， 又，即，， 又是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则在上单调递增， 则当时，，所以， 故的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $