河北省承德市双滦区实验中学2026年暑假新高二自主学习数学质量检测卷（1）

**基本信息** 2026年新高二暑假数学检测卷聚焦高一核心知识衔接，通过三角函数图像变换、立体几何体积计算等问题，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配自主学习质量评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数图像平移、圆锥体积、向量线性运算|基础巩固，如第1题考查图像平移，落实数学眼光| |多选题|3/18|线面位置关系、解三角形判定|辨析能力，如第9题线面平行与垂直命题判断，培养推理意识| |填空题|3/15|正三棱台内切球、函数零点|创新应用，如第13题结合空间几何与体积计算，体现数学思维| |解答题|5/77|立体几何证明与计算、三角函数性质|分层提升，如第17题融合线面平行证明与二面角计算，考查综合运用能力|

河北省承德市双滦区实验中学 2026年暑假新高二自主学习数学质量检测卷（1） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 2．已知一个圆锥的底面半径，其侧面积与底面积之比为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，点在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是偶函数，且在上单调递增，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知为边长为3的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（     ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 8．已知圆锥顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线且，，则三棱锥体积的最大值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知直线 及平面 . 下列命题中正确的是（     ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 10．在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（   ） A．若，则形状不唯一 B．是的充要条件 C．若，则为等腰直角三角形 D．若的面积为 ，则角C为 11．函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数的最小正周期为 C．取得最小值时， D．在区间上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知函数的一个零点是，则的最小值是_______． 13．已知正三棱台的上、下底边长分别为，，该正三棱台内部有一个球与上、下底面和三个侧面均相切（内切球），则这个正三棱台的高为_________. 14．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，是正三角形，平面平面，且，则与平面所成角的正切值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知平面向量，，． (1)求； (2)设与的夹角为，求的值； (3)若，求实数的值． 16．(本小题15分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)证明：. (2)设. （i）求C的最大值； （ii）求的值. 17．(本小题15分）如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为2，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值． 18．(本小题17分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)点为中点，求平面与平面夹角余弦值． 19．(本小题17分）已知函数的部分图象如下图所示，其中且， (1)求函数的解析式； (2)设函数， （i）求的最小正周期与对称轴方程. （ii）若在区间上单调递减，求的最大值. （iii）若向左或向右平移个单位之后关于轴对称，求的最小值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B D A B B BD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【详解】向左平移个单位后得到，故A错误. 向左平移个单位后得到，故B正确. 向右平移个单位后得到，故C错误. 向右平移个单位后得到，故D错误. 2．D 【详解】圆锥底面圆面积，侧面积（其中为底面圆半径，为母线长）， 已知，即. 圆锥高，所以圆锥的体积. 3．D 【详解】由题意可知，如图所示， 已知，所以，即，所以， 所以，故D正确. 4．B 【详解】因为为偶函数，所以对任意恒成立. 即. 化简可得，对任意恒成立. 所以，，解得或. 当时，在单调减，故舍去. 当时，在单调增，满足题意. 5．D 【详解】因为，且点是函数的图象的一个对称中心，所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 6．A 【详解】作中点，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立如图平面直角坐标系.设，，则， 所以 该二次函数对称轴为，此时有最小值. 7．B 【详解】对于A，连接，如图所示， 在正方体中有，因为分别为中点，所以， 所以，所以平面截正方体所得截面为平面， 又因为，所以截面为等腰梯形，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，即， 则，故C正确； 对于D，连接，如图所示， 在正方形中，， 又平面，平面，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以，故D正确. 8．B 【详解】由题意，圆锥的高，底面半径， 根据勾股定理得母线长，. 已知，因此直角的面积为： ， . 所以底面圆内弦的长度为，恰好等于底面圆的直径，因此为底面圆的直径. 又因为三棱锥的体积等价于以为顶点、为底面的三棱锥的体积， 即，其中是点到平面的距离. 因为为底面圆的直径，所以平面为圆锥的轴截面，所以平面平面， 点在圆锥底面上运动，所以点到轴截面的距离等于点到直线的距离， 点在圆锥底面上运动，为底面圆的直径，所以点到的距离最大值就是，即. 所以，因此三棱锥体积的最大值为. 9．BD 【详解】对于A，当 时，可能与平行，相交（包含垂直），故A错误； 对于B，因，，则在 内存在直线，使得，从而，故B正确； 对于C，若 ，则可能与平行或异面，故C错误； 对于D，当 时，结合线面垂直性质可得，故D正确. 10．ABD 【详解】对于A，因为，，即，故有两个解，对应的三角形形状不唯一，故A正确； 对于B，由正弦定理得，， 所以，根据大边对大角得， 所以是的充要条件，故B正确； 对于C，因为，所以 因为， 所以，即， 所以或，所以或，即为等腰三角形或直角三角形，故C选项错误； 对于D，因为的面积为 ，所以， 由余弦定理得， 所以，即，因为，所以，故D选项正确. 11．BCD 【详解】对于AB选项，由图象可知， 设函数的最小正周期为，则，则，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，则，故，A错B对； 对于C选项，由AB选项可知， 当时，即当时，函数取最小值，C对； 对于D选项，当时，， 因为，故函数在区间上单调递增，D对. 12． 【详解】函数的一个零点是，所以，， 所以由余弦函数性质可知，或， 解得或，所以. 13． 【详解】由正三棱台的上、下底边长分别为，， 得上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，得内切球与上、下底面切点为上下底的重心，，,为侧面等腰梯形上下底边中点，则，，,, 设内切球半径为r，所以正三棱台的高. 14． 【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 设，则，，又，所以矩形的面积， 所以四棱锥的体积， 所以，所以，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面，所以， 由平面，所以为与平面所成的角， 在中，，，所以， 所以与平面所成角的正切值为. 15．【详解】（1）因为平面向量，，所以， 故. （2）因为，，所以. （3），因为， 所以，解得. 16．(1)证明：， 同理可得. （2）解：（i）因为，所以. 又，当且仅当时，等号成立，所以. 因为，所以，故C的最大值为. （ii）因为，所以. 又， 所以， 则，· 两边同时除以，得. 由（1）可得， 则. 因为，所以， 则，得. 17．(1)证明：如图所示，连接．               因为、分别为、中点，所以，      又因为平面，平面，所以平面． (2)证明：因为底面，底面，所以． 在正方形中，，        因为平面，所以平面，      又因为平面，所以平面平面． （3）因为平面，平面，所以，，                            所以即为二面角的平面角，即；            因为正方形的边长为2，所以，，           因为底面，平面，所以， 又因为是的中点，所以在中， 则为等腰三角形，故；                   在中，； 设点C到平面的距离为h， 由，，得，        即为等腰三角形，底边上的高为， 所以；                       因为，所以， 由，得，得.                              设与平面所成角为，则，             即与平面所成角的正弦值为． 18．(1)连接，因为四边形为矩形，，， 所以， 因为，所以， 因为，，所以，故， 因为四边形为矩形，则且，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. （2）因为，，所以，故， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因此点到平面的距离等于点到平面的距离为. （3）取线段的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、，当点为的中点时，则，设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，，, 则，取，可得， ，故当点为的中点时，平面与平面夹角余弦值为. 19．【详解】（1）由题意得，可得，所以， 则解析式变为，且，则图象过， 将代入解析式，得到，则， 因为，所以，则函数的解析式. （2）（i）由题意得， 由正弦函数性质得，令， 解得，则对称轴为. （ii）令，解得， 若在区间上单调递减，则， 得到，解得，而，可得， 则在区间上单调递减，故. （iii）若向左平移个单位，设新函数为， 若关于轴对称，则，解得，令，可得， 若向右平移个单位，设新函数为， 若关于轴对称，则，解得，令，可得， 综上可得，的最小值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $