河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（1）--复数

**基本信息** 新高三复数专题训练，覆盖复数概念、运算及几何意义，通过单选（如象限判断）、解答题（如18题求模的最小值、19题向量共线与基本不等式）梯度设计，培养运算能力与推理意识，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、模、共轭复数|基础概念辨析，如第1题复平面内点的位置判断| |多选题|3/18|复数虚部、模、几何意义|综合判断，如第10题结合点的位置考查参数范围| |填空题|3/15|实部、向量对应的复数|简洁计算，如第13题向量运算对应复数坐标| |解答题|5/77|化简、纯虚数条件、最值|分层设问，如18题（3）求模的最小值，19题（2）结合向量共线与基本不等式，体现逻辑推理与创新应用|

河北承德双滦区圣泉高级中学2026年暑假新高三数学专题训练（1） 范围：（必修第二册）复数 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．复数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知复数，且，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 4．若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 6．若复数为纯虚数，则复数为（     ） A． B． C． D． 7．已知为虚数单位，下列数一定是纯虚数的是（     ） A． B． C． D． 8．已知，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．已知复数，则（   ） A．的虚部为1 B． C． D．的共轭复数为 10．已知复数 在复平面内对应的点为，则下列选项正确的是（    ） A．若为实数，则 B．若为纯虚数，则 C．若，则 D．若点在第一象限，则的取值范围为 11．已知复数，，则（    ） A．若，则的虚部为 B．若复数为纯虚数，则 C．若，则 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．复数满足，则的实部为______. 13．设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 14．若复数满足，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．本小题分化简下列各式： (1); (2). 16．本小题分已知复数，，. (1)若是纯虚数，求； (2)若的实部是虚部的2倍，求. 17．本小题分已知复数，其中，为虚数单位. (1)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在直线上，求复数的共轭复数； 18．本小题分已知复数，（是虚数单位）． (1)求的共轭复数； (2)若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围； (3)求的最小值. 19．本小题分设复数，，其中，且复数所对应的点都在复平面第一象限内． (1)若，求实数，的值； (2)设所对应的向量为，若与共线，求的最小值． 试卷第2页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D C A B B ABD AD 题号 11 答案 AC 1．D 【详解】因为复平面内，复数对应的点为，所以表示复数的点在第四象限. 2．A 【详解】依题意，. 3．D 【详解】因为，且， 所以，所以，，所以，. 4．D 【详解】复数，在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限. 5．C 【详解】复数的共轭复数是. 6．A 【详解】为纯虚数,则且，得，所以. 7．B 【详解】选项A：为正实数，虚部为0，不符合纯虚数定义，排除； 选项B：，实部为0，虚部不为，是纯虚数，符合要求； 选项C：复数的实部为， 当时（如时，），实部不为0，不是纯虚数，排除； 选项D：的实部为，属于虚数但不是纯虚数，排除. 8．B 【详解】代入，则，即，根据复数虚部的定义，该复数的虚部为. 9．ABD 【详解】，的虚部为1，A正确； ，B正确；，C错误； 的共轭复数为，D正确． 10．AD 【详解】选项A：若 为实数，则 ，得 ，故选项A正确； 选项B：若 为纯虚数，则 ，解得，故选项B错误； 选项C：若 ，则， ，故选项C错误； 选项D：若点在第一象限，则 ，解得，故选项D正确. 11．AC 【详解】对于A，当时，，则其虚部为1，故A正确； 对于B，当为纯虚数时，，则，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由题可得在复平面上对应坐标为，因，则， 则在第二象限，故D错误. 12． 【详解】设，则， 根据复数相等的定义可得，，解得，即，故实部为. 13． 【分析】求出向量、的坐标后求出的坐标可得对应的复数所对应的点的坐标. 【详解】因为复数，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，，故，故向量对应的复数所对应的点的坐标为，故答案为：. 14．或 【详解】设，其中， 根据复数模的定义可知： ， ， 由题意得：，即，解得或，所以或. 15．【详解】（1） （2） 16．【详解】（1） 因为 是纯虚数，所以其实部为 ，且虚部不为 ，即 由 ，得 .此时符合题意，所以 （2）将分母实数化，得 所以 的实部为 ，虚部为 .由“实部是虚部的 倍”，得 整理得所以 17．【详解】（1）复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为该点位于第二象限，所以，由①得，解得； 由②得，解得或；综上所述，实数的取值范围为； （2）直线上的点的横纵坐标互为相反数， 即对应复数的虚部与实部互为相反数，即， 化简得：，即，解得或. 当时，，其共轭复数；当时，，其共轭复数. 18． 【详解】（1）因为，，，， 所以.所以. （2）， 则复数在复平面内对应点的坐标为. 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，解得. 即实数的取值范围是. （3）由（1）得，则. 由复数模的公式，得. 所以当时，取得最小值， 即，所以的最小值为. 19．【详解】（1），对应的点分别为，且，， 由可得：，，故，. （2），，因为与共线，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当，时等号成立. 所以的最小值为. 答案第4页（共4页） 答案第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $