河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（13）-计数原理

**基本信息** 聚焦计数原理，通过排列组合、二项式定理等知识，以沪宁铁路火车票、产品次品抽法等真实情境设计问题，梯度覆盖基础巩固与综合应用，适配新高三暑假自主复习，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列数计算、二项式系数最大项、火车票排列问题|基础概念辨析，如第3题结合交通情境考查排列应用| |多选题|3/18|组合数公式、二项式展开式性质|多选项设计考查知识辨析，如第11题综合二项式系数和与项的系数| |填空题|3/15|整除余数、二项式系数和|注重运算能力，如12题通过二项式定理求余数| |解答题|5/77|排列组合应用（选排、不相邻排列）、二项式定理综合（系数和、最大项）|综合性强，如18题结合男女生排列考查数学语言表达，17题二项式系数与等差数列结合提升推理能力|

河北省承德市高新区第一中学2026年暑假新高三数学自主测试卷（13） 范围：计数原理 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 3．沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站(这六个大站间)准备不同的火车票种数为（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（     ） A． B． C． D． 6．若，则实数（     ） A． B．或 C． D．或 7．的展开式中常数项是（     ） A．15 B．60 C．64 D．240 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则m的值可以为（   ） A．1 B．5 C．7 D．8 11．关于二项式的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式一共有5项 B．展开式的二项式系数和为32 C．展开式中含项的系数为80 D．展开式所有项的系数和为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．除以7的余数为_____. 13．已知，则的值是_________． 14．若，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）（1）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数？ （2）在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.求抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ （3）求的展开式中的系数. 16．(本小题15分）在的展开式中，奇数项的二项式系数和为2048. (1)求； (2)求展开式中含的项； (3)若展开式中奇数项、偶数项的系数和分别为，，求. 17．(本小题15分）已知，二项式展开式的前三项的系数成等差数列. (1)求展开式中二项式系数的最大值； (2)求二项式的展开式中系数最大的项. 18．(本小题17分）3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. (1)从中选出名男生和名女生排成一列； (2)全体站成一排，男生互不相邻； (3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾． 19．(本小题17分）已知，求： (1)； (2)； (3)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D A B B A ACD AC 题号 11 答案 BD 1．D 【详解】用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为. 2．C 【详解】展开式共有项，二项式系数最大的项是中间项，即第5项. 3．A 【详解】对于两个大站和，从到的火车票与从到的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站， 因此，每张火车票对应于从个不同元素(大站)中取出个元素(起点站和终点站)的一种排列． 所以问题归结为求从个不同元素中每次取出个不同元素的排列数种．故A正确． 4．D 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以，则. 5．A 【详解】，故A正确. 6．B 【详解】因为，且， 所以令，得，.所以，解得或 7．B 【详解】由二项式定理，展开式的第项为， 令，得，所以的展开式中常数项是. 8．A 【详解】由二项式定理可知：， 所以. 9．ACD 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，故B错误； 对于C，，，或者直接计算，左边，右边，故C正确； 对于D，，故D正确． 10．AC 【详解】已知，则，，解得. 若，解得.若，解得. 11．BD 【详解】选项A：二项式的展开式共有项，本题，故展开式共项，A错误； 选项B：二项式系数和为，代入得，B正确； 选项C：展开式通项为，令，得项的系数为，不是，C错误； 选项D：求所有项系数和可令，代入原式得，D正确. 12．1 【详解】因为 ，所以除以7的余数为1. 13． 【详解】令，则；令，则， ，， 14．4 【详解】因为， 所以，解得或， 由题意可得，解得，所以. 15．【详解】（1）； （2）； （3）∵展开式的通项是， ∴，，∴x2的系数是. 16．【详解】（1）由题意得，得. （2）展开式中含的项为. （3）设， 则，， 令，得， 令，得， 所以. 17．【详解】（1）二项式展开式的通项为， 分别令，，， 所以展开式的前三项的系数分别为，，， 由于前三项的系数成等差数列，所以，解得或(舍去). 因为，所以展开式共9项，中间一项即第5项的系数最大为. （2）二项式展开式的通项为， 设第项的系数最大， 则，解得，又，所以或， 故系数最大的项为或. 18．【详解】（1）选2男有种，选2女有种，4人全排列，总数为 . （2） 先排4名女生，产生5个空位，选3个空位排列3名男生，总数为 . （3）甲不能站两端，先从中间5个位置选1个给甲，有5种，其余6人全排列，总数为 . 19．【详解】（1）取，得 ； 取 ，可得 ． （2）二项展开式通项：，， 即为中所有系数和， 取，则． （3）令 ， 则 ， 取，可得， 又， l． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $