1.2 集合间的基本关系（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集、集合相等及由集合关系求参数等核心知识点。通过课前预习（定义、记法、图示）搭建基础，课中探究分判断关系、子集个数、参数求解三环节递进，形成完整学习支架。 其亮点在于运用Venn图、数轴等直观工具培养数学眼光，通过归纳子集个数公式发展数学思维，设置分层习题强化数学语言表达。例如例2从具体集合归纳含n个元素集合的子集个数，助力学生抽象能力提升，教师可借分层设计提高教学针对性。

1.2 集合间的基本关系 1 探究点一 集合间关系的判断 探究点二 集合的子集、真子集 探究点三 由集合间的关系求参数 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 2 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2.能使用 图表达集合的基本关系,体会图形对理解抽象概念的作用. 3.在具体情境中,了解空集的含义. 3 知识点一 子集 1. 图：在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的______代表集合, 这种图称为 图. 内部 课 前 预 习 4 2.子集 定义 一般地，对于两个集合，，如果集合 中__________元素 都是集合中的元素，就称集合为集合 的子集 记法 与读 法 记作_______（或_______），读作“包含于”（或“ 包含 ”） 图示 结论 （1）反身性：任何一个集合是它本身的子集，即___ ； （2）传递性：对于集合，，，若，且 ，则 ___ 任意一个 课 前 预 习 5 知识点二 集合的相等关系 1.定义：一般地,如果集合的任何一个元素都是集合 的元素,同时集 合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合 相等，记 作 . 2.也就是说，若，且_______,则 . 课 前 预 习 6 知识点三 真子集 定义 如果集合 ，但存在元素______，且______，就称集 合是集合 的真子集 记法与 读法 记作（或）,读作“真包含于”（或“ 真包含 ”） 图示 结论 且，则___ ； 且，则___ 课 前 预 习 7 知识点四 空集 定义 一般地，我们把______________的集合叫作空集 记法 记为 规定 空集是任何集合的______，即 特性 （1）空集只有一个子集，即它本身， ； （2）若 ，则 ___ ，即空集是任意非空集合的真子 集 不含任何元素 子集 课 前 预 习 8 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）, }.( ) √ [解析] “ ”用来表示集合与集合间的关系, 中的元素0是集合 ,}中的元素,所以是集合, }的子集. （2），且 .( ) √ [解析] 空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集. 课 前 预 习 9 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （3）任何一个集合都至少有2个子集.( ) × [解析] 空集只有1个子集，就是它本身. 课 前 预 习 10 2.包含关系与属于关系有什么区别？ 解：包含关系刻画的是集合与集合间的关系；属于关系刻画的是元素与集合间的关系. 课 前 预 习 11 探究点一 集合间关系的判断 例1 判断下列每对集合之间的关系. （1）， 是12的正约数}； 解：因为是12的正约数， ，所以 . （2）且，或 ； 解：由题意知 ， ,故 . （3）,,, }. 解：集合是由正奇数组成的集合，集合 是由被4除余1的正整数组成的集合，则.又,但,故 . 课 中 探 究 12 变式（1）设，，, ， 则( ) A. B. C. D. [解析] 由题知,，其中 表示奇数，而,，故 .故选A. √ 课 中 探 究 13 （2）［教材P9习题1.2第2题］指出下列各集合之间的关系，并用 图表示： 是四边形，是平行四边形，是矩形 ， 是正方形}. 解：各集合之间的关系为，用 图表示如图所示. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 判断集合间关系的方法: （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特 征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或<m></m>图.往往通过具体验证的方法判 断端点值是否取到. 课 中 探 究 15 探究点二 集合的子集、真子集 例2 分别写出集合，,，,, 的所有子集和真子集,并写出它 们的子集和真子集的个数.由此猜想含个元素的集合,, , 的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 解：集合的所有子集为 ,,共2个；所有真子集为 ,共1个. 集合,的所有子集为 ,,,,,共4个；所有真子集为 , , ,共3个. 集合,,的所有子集为 ,,,,,,,,,, , ,,共8个；所有真子集为 ,,,,,,,,, ,共7个. 课 中 探 究 16 由此通过归纳并猜想:含个元素的集合,, , 的所有子集的个数是,真子集的个数是,非空真子集的个数是 . 课 中 探 究 17 变式（1）设集合，,，则 的非 空子集的个数为( ) A.3 B.4 C.7 D.8 [解析] 要使，，则,4,9，故 中含有三个元素. 方法一（列举法）的非空子集有，，，， ， ， ，共7个. 方法二（公式法）的非空子集有 （个），故选C. √ 课 中 探 究 18 （2）已知集合满足 ，写出所有满足条件的 集合 . 解：由题意可知， 中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，于是满足条件的集合为，2，，，2，，，2，， ，2，3，，，2，3，，，2，4，，，2，3，4， . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 求集合的子集问题的一般方法:求给定集合的子集（真子集）时,一般 按照子集所含元素的个数分类,再依次写出符合要求的子集 （真子集）.在写子集时,注意不要忘记空集和集合本身. 课 中 探 究 20 探究点三 由集合间的关系求参数 例3（1）已知集合，，若，则 的取值范围是________. [解析] 由，得，即 . 因为，所以中的所有元素均满足，中的最小元素为 ，因此，所以的取值范围是 . 课 中 探 究 21 （2）已知集合,，若 ，则 实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 集合,，且. 当 时，，此时满足，符合题意；当 时，要使 ，则需解得. 综上可得，实数的取值范围为 .故选D. √ 课 中 探 究 22 变式 已知集合或， ， 若，求实数 的取值范围. 解：当 时，由,得，满足. 当 时，由，可得或解得或 . 综上，实数的取值范围为或 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法： （1）注意点：①不能忽视集合为<m></m> 的情形；②当集合中含有字母参 数时，一般需要分类讨论. （2）常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求 相关参数的范围（值）时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答. 课 中 探 究 24 课后习题 25 1.下列结论正确的是( ) A. B. C. D.,, [解析] 对于A， 中不含有任何元素， 是任何集合的子集，则，故A错误； 对于B，表示有理数集， 为无理数，则，故B错误； 对于C，表示自然数集， 表示整数集，则，故C正确； 对于D，集合之间不能用“ ”符号，故D错误.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 2.（多选题）下列关系中正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A,,故A正确; 对于B,集合表示数集,集合 表示点集,故B错误; 对于C,集合表示以点 为元素的集合, 集合表示以点 为元素的集合,故C错误; 对于D,空集是任意非空集合的真子集,故D正确.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 3.若集合，则集合 可用列举法表示为( ) A. B. ,0, C. ,, D. ,,, [解析] 因为，所以可能为 ,,, ，所以 ,,, .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 4.能正确表示集合和集合 关系的 图的是( ) A. B. C. D. [解析] ,, .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 5.（多选题）[2026·浙江强基联盟高一月考]已知集合 ，集 合，则集合 可以是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，且，所以集合 中必含有元素1,2，可能含有元素3,4,5，但不能同时含有3,4,5. 故选项A，C正确.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 6.已知集合,3,，,，，则实数 的取值集 合为( ) A. B., C. D. [解析] 当时，， ，与集合中元素的互异性矛盾. 当时，解得或，若，则 ，与集合中元素的互异性矛盾； 若，则， ，符合题意. 综上，，故的取值集合为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 7.若，0，，，，则 ____. [解析] 因为，0，，，，所以 或 由①得或其中 不符合集合中元素的互异性，符合题意，此时 ； 由②得符合题意，此时综上，的值为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 8.[2026·天津外国语学校高一月考] 已知集合 , ，集合,，则______.（填“”“ ” 或“ ”） [解析] 由得，因为,所以 是奇数，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 9.（13分）已知集合, . （1）写出集合 的子集、真子集； 解：由题意可知，所以其子集为 ,,, ，真子集为,, . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 9.（13分）已知集合, . （2）求集合 的子集及其个数、真子集及其个数和非空真子集及其 个数. 解：由题意可知,0,，所以其子集为 ,,,, , ,,,,,0,，共有（个），真子集为 ,, , ,,,,,，共有 （个），非空真子集为 ,,,,,,,，共有 （个）. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 10.集合,，, ， , }的关系是( ) A. B. C. D. [解析] 任取，则， ，所以，所以. 任取，则 ，，所以，所以，所以. 任取 ，则，，所以，所以 ，又，，所以，所以 ，故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 11.已知集合有8个子集,则实数 的取值范围 为( ) A. B. C. D. [解析] 因为集合有 （个）子集,所以集合中含有3个元素,则 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 12.（多选题）已知集合,},若集合 有 且仅有2个子集,则 的取值可以为( ) A. B. C.0 D.1 [解析] 集合有且仅有2个子集, 集合 中有且仅有1个元素. 当时,集合,符合题意. 当时,由 ,解得,当时,,符合题意,当时, ,符合题意.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 13.当时,,则称是和美集合.集合 的所 有非空子集中是和美集合的个数为___. 7 [解析] 当集合的非空子集中含有一个元素时,, 为和美集合; 当集合的非空子集中含有两个元素时,,, 为和美集合; 当集合的非空子集中含有三个元素时,, 为和美集合; 当集合的非空子集中含有四个元素时, 为和美集合. 综上, 和美集合有7个. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 14.（15分）已知集合 ， ，若，求实数 的取值范围． 解：因为集合 ， ，所以集合， . （1）当 时，，解得，此时满足 ； （2）当 时，要满足，只需 解得. 综上可得，实数的取值范围为 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 15.[2026·浙江南太湖联盟高一月考] 记,2,3, , , 表示个元素的有限集，表示非空数集 中所有元素的和.若集 合,，则 ____. 25 [解析] 依题意，，由，得 的所有可能结果为,,,,,， 因此, ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 16.（15分）设集合， ， ， }． （1）若，求 的值． 解：因为集合，，， ，所以，， ， 所以和0为方程 的两个根，则解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 16.（15分）设集合， ， ， }． （2）若，求实数 的取值范围． 解：①当 时，，解得 . ②当 时，若 ，则解得 ； 若，则 无解； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 若， ，则解得 ． 综上所述，若，则实数的取值范围为或 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 $