29.3 弧长和扇形面积 同步练峭 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练以“基础达标+能力提升”分层设计，通过梯度化题型实现弧长与扇形面积公式从直接应用到综合实践的巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|弧长公式直接应用、扇形面积公式直接计算|含中考真题（如无锡中考题），聚焦公式记忆与基本运算，培养运算能力| |能力提升|公式综合应用、跨学科情境（地球经纬度）、传统文化（纸扇面积）、实际问题（摩天轮）|通过几何图形综合题（如正方形旋转）、生活应用题，发展几何直观与模型意识|

29.3弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 弧长公式及其应用 1.(2025无锡中考)已知圆弧所在圆的半径为6,该弧所对的圆心角为90°,则这条弧的长为 (　　) A.2π　　　　B.3π　　　　　C.4π　　　　D.6π 2.某款钟表的分针长度为5 cm,则经过30 min分针针尖走过的路线长为 (　　) A.5π cm B. cm C. cm D. cm 3.(2025绥化中考)在☉O中,如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么☉O的半径是 (　　) A.6 cm　　　　B.8 cm　　　　　C.10 cm　　　　　D.12 cm 4.如图,AB是☉O的直径,点C,D均在☉O上,∠ACD=30°,弦AD=4 cm. (1)求☉O的直径. (2)求的长.(结果保留π) 扇形的面积公式及其应用 5.若扇形的半径为4,圆心角为120°,则此扇形的面积为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.16π 6.数学课上,老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点A为圆心,AB长为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计),则所得扇形DAB的面积是 (　　) → A.1　　　　B.　　　　C.2　　　　D. 7.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,点A,B在大圆上,点C,D在小圆上,和的长度分别是l1,l2.若l1=l2,则扇形OAB的面积S1与扇形OCD的面积S2的大小关系为 (　　) A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.不能确定 8.图1是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°,OA=1 m,C,D分别为OA,OB的中点,则花窗的面积为　　　　m2.  图1　　　　　　　图2 9.如图,A,B,C是☉O上的三点,∠CAO=25°,∠BCO=35°,OC=3. (1)∠AOB的度数为　　　　.  (2)求阴影部分的面积. 1.(跨学科)(2025湖南中考)如图,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R km,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为 (　　) A.πR km B.πR km C.πR km D.πR km 2.(传统文化)习近平总书记强调,中华优秀传统文化是中华民族的根和魂.东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动,小慧同学制作了一把扇形纸扇.如图,OA=15 cm,OB=5 cm,纸扇完全打开后,外侧两竹条(竹条宽度忽略不计)的夹角∠AOC=120°,现需在扇面一侧绘制山水画,则山水画所在纸面的面积为 (　　) A. cm2 B. cm2 C.75π cm2 D. cm2 3.一个扇形的弧长是,它的面积是,这个扇形的圆心角度数是　　　　.  4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,O为BC的中点.将△ABC绕点O顺时针旋转至△A'B'C'的位置,此时点A'恰好落在AC上.若BC=12,则点B经过的路径的长为　　　　.  5.如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在边BC上,连接AE交☉O于点F,连接BF并延长交CD于点G. (1)求证:△ABE≌△BCG. (2)若∠AEB=55°,OA=3,求劣弧BF的长.(结果保留π) 6.(应用意识)某水上公园新建的摩天轮吸引了附近市民的目光,据工作人员介绍,新建摩天轮的直径为100 m,最低点距离地面1 m,摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点),游客在距离地面最近的位置进舱. (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为　　　　m.  (2)在小明进座舱后,间隔3个座舱,小亮进入座舱(如图,此时小明和小亮分别位于P,Q两点). ①求两人所在座舱在摩天轮上的距离(的长); ②求此时两人所在座舱距离地面的高度差. 【详解答案】 基础达标 1.B　2.A　3.A 4.解:(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°. ∵∠ABD=∠ACD=30°, ∴AB=2AD=8 cm. ∴☉O的直径为8 cm. (2)连接OD,如图, 则∠AOD=2∠ACD=60°. ∴的长为=(cm). 5.C　6.A　7.A　8. 9.解:(1)120° (2)阴影部分的面积为S===3π.　 能力提升 1.C　解析:∵∠AOC=40°,∠BOC=15°, ∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=40°-15°=25°,∴的长为×2πR=πR(km). ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR km. 故选C. 2.B　解析:由题意,得S扇形OAC==75π(cm2),S扇形OBD==(cm2).∴山水画所在纸面的面积为75π-=(cm2).故选B. 3.120°　解析:设扇形的半径为r,圆心角为n°.由题意,得××r=.解得r=4.∴=.解得n=120. 4.2π　解析:∵AB=AC,∠ABC=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°.根据旋转可知∠CB'C'=∠CBA=30°,∴∠BOB'=∠ACB+∠CB'C'=60°.∵O为BC的中点,∴OB=OC=×12=6,∴点B经过的路径的长为=2π. 5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为☉O的直径, ∴AB=BC,∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°. ∴∠BAF+∠ABF=90°, ∠ABF+∠EBF=90°. ∴∠EBF=∠BAF. 在△ABE和△BCG中, ∴△ABE≌△BCG(ASA). (2)如图,连接OF. ∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°, ∴∠BAE=90°-55°=35°. ∴∠BOF=2∠BAE=70°. ∵OA=3, ∴劣弧BF的长为=. 6.解:(1)101 (2)①∵摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱, ∴每相邻两个座舱之间所对的圆心角为360°÷24=15°. ∴∠POQ=4×15°=60°, ∴的长为=(m). ∴两人所在座舱在摩天轮上的距离(的长)为 m. ②如图,过点P作PN⊥OM于点N. 由题意,得两人所在座舱距离地面的高度差为NQ的长. 在Rt△OPN中,OP=50 m,∠PON=60°, ∴∠OPN=90°-∠PON=30°. ∴ON=OP=25 m, ∴NQ=OQ-ON=25 m. ∴此时两人所在座舱距离地面的高度差为25 m. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面展开图 1.一个圆锥的母线长18 cm,底面圆的直径为8 cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 (　　) A.60° 　　　　B.80° 　　　　C.100°　　　　　D.120° 2.如图,圆锥形烟囱帽的底面圆的半径为12 cm,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为 (　　) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm 3.(2025云南中考)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为 (　　) A.9 cm 　　　　B.10 cm　　　　C.11 cm　　　　D.12 cm 4.如图,将半径为15 cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形,用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),这个圆锥的高是　　　　cm.  圆锥的侧面积和全面积 5.(传统文化)广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具,其形状常可抽象成圆锥.如图,斗笠的底面圆的半径为24 cm,母线长为40 cm,则圆锥的侧面积为 (　　) A.240π cm2　　 B.768π cm2 C.960π cm2　　　 D.1 920π cm2 6.已知圆锥的侧面展开图的面积是15π,母线长是5,则圆锥的底面圆的半径为 (　　) A.　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.6 7.已知底面圆的半径为4的圆锥的侧面积是28π,则圆锥的母线长是　　　　.  8.已知圆锥的底面圆的半径为1,母线长为6,求圆锥的全面积. 1.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.下图是一个蒙古包的示意图,底面圆的半径DE=2 m,圆锥的高AC=1.5 m,圆柱的高CD=2.5 m,则下列说法错误的是 (　　) A.圆柱的底面积为4π m2 B.圆柱的侧面积为10π m2 C.圆锥的母线长AB为2.25 m D.圆锥的侧面积为5π m2 2.(数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何?”译文:屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,那么这个米堆遮挡的墙面面积为 (　　) A. 平方尺 B. 平方尺　 C. 平方尺 D.45π平方尺 3.(2025潍坊中考)如图,圆锥的底面圆心为O,顶点为A,母线l长为4,母线l与高AO的夹角为30°,那么圆锥侧面展开图的面积为　　　　.  4.如图,扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图,若小正方形方格的边长为1,则这个圆锥的底面圆半径为　　　　.  5.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图2),制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形EAF围成圆锥时,AE,AF恰好重合,已知这种加工材料的顶角∠BAC=90°. (1)求图2中圆锥底面圆的直径ED与母线AD长的比值. (2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部分(图3中阴影部分)的面积.(结果保留π) 　　 　　　　　　　　　　　图1　　　　图2　　　　　　　　图3 6.(应用意识)综合与实践. 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示: ①一张直径为10 cm的圆形滤纸; ②一只漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗. 图1 图2 【实践操作】 步骤1:取一张滤纸; 步骤2:按如图2所示的步骤折叠好滤纸; 步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形; 步骤4:将围成的圆锥形滤纸放入如图1所示的漏斗中. 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明. (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥的体积.(结果保留π) 【详解答案】 基础达标 1.B　2.D　3.B　4.12　5.C　6.B　7.7 8.解:∵圆锥的底面圆的半径为1,母线长为6, ∴圆锥的全面积为S=πr(r+l)=π×1×(1+6)=7π. 能力提升 1.C　解析:A.∵底面圆的半径DE=2 m,∴圆柱的底面积为4π m2,∴A选项正确,不符合题意;B.∵圆柱的高CD=2.5 m,∴圆柱的侧面积为2π×2×2.5=10π(m2),∴B选项正确,不符合题意;C.∵底面圆的半径DE=2 m,∴BC=2 m,∵圆锥的高AC=1.5 m,∴圆锥的母线长AB==2.5(m),∴C选项错误,符合题意;D.圆锥的侧面积为π×2×2.5=5π(m2),∴D选项正确,不符合题意.故选C. 2.A　解析:设圆锥的底面圆的半径为r尺.由米堆底部的弧长为8尺,得×2πr=8.解得r=.∴2×××5=(平方尺).∴这个米堆遮挡的墙面面积为 平方尺.故选A. 3.8π　解析:∵母线l与高AO的夹角为30°,母线l长为4,∴圆锥的底面圆的半径r=×4=2,∴圆锥侧面展开图的面积=πrl=π×2×4=8π. 4.　解析:由题图可知∠AOB=90°,OA=2,则圆锥的底面圆周长为=π,所以圆锥的底面圆半径为=. 5.解:(1)根据题意,得π·ED=. ∴ED=AD. ∴图2中圆锥底面圆的直径ED与母线AD长的比值为. (2)∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC, AD=2ED=10 cm, ∴BC=2AD=20 cm. ∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=×10×20-=(100-25π)(cm2). ∴加工材料剩余部分的面积为(100-25π)cm2. 6.解:(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下: 设漏斗圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°. 根据题意,得=7π. 解得n=180. ∵滤纸圆锥侧面展开图的圆心角的度数也为180°, ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. (2)设滤纸围成的圆锥底面圆的半径为r cm,高为h cm. 根据题意,得2πr=.解得r=.∴h==. ∴V=πr2h=π×2×=(cm3). ∴滤纸围成的圆锥的体积为 cm3. 学科网（北京）股份有限公司 $