第十四章全等三角形（4考点+10易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学“全等三角形”单元知识清单系统梳理了全等形、全等三角形的概念、性质、判定方法及判定思路总结，搭建了从基础概念到性质应用再到判定推理的递进式学习支架，涵盖核心知识点与应用要点。 清单以“知识点+易错点+对点训练”三维架构呈现，判定方法通过表格整合SSS、SAS等5种类型并配图形示例，培养几何直观与推理意识。10个易错点如“混淆性质与判定”“忽略对应前提”均附提醒与训练题，挖空设计强化概念记忆，助力学生自主排查薄弱点，教师可据此精准教学，提升复习针对性与效率。

第十四章 全等三角形 知识点一：全等形 1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 知识点二：全等三角形 1．全等三角形的概念： 如图：能够完全_____的两个三角形叫做全等三角形． 特别提示：两个全等的图形的_____和_____完全一样．与他们摆放的位置、方向等无关． 2．相关概念： 对应点：当两个三角形重合在一起时，互相重合的顶点 叫做对应点．即：A与D，B与E，C与F． 对应边： 互相重合的边叫做对应边 叫做对应边 即：AB与DE，AC与DF，BC与EF． 对应角：互相重合的角 叫做对应角． 即：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F． 3．全等三角形的表示：“≌”叫做全等于符号，△ABC与△DEF全等表示为△ABC≌△DEF，读作：三角形ABC全等于三角形DEF。特别提示：若用“≌”连接时，对应点必须写在对应的位置． 4.全等三角形的性质： （1）对应边相等 ．即____＝DE，____＝DF，BC＝____． （2）对应角 相等．即∠A＝∠___，∠B＝∠____，∠____＝∠F． 知识点三：全等三角形的判定： 判定方法 内容 数学语言 图形表示 注意点 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 边角边（SAS） 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“边角边”或“SAS” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 用“边角边（SAS）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。在写条件的时候角必须写在中间。 角边角（ASA） 两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角边角”或“ASA” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 用“角边角（ASA）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间 角角边（AAS） 两角以及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角角边”或“AAS” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 用“角角边（AAS）判定全等时，边是其中一个角的对边，与边相对的角写在最前，边写在最后。 斜边、直角边（HL） 在直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL” 在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF 用“斜边与直角边（HL）”判定全等只能在直角三角形中应用，且一定是斜边加任意的直角边 特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。 知识点四：全等三角形的判定方法总结 可以按照思路逐步梳理：首先整理题目明确给出的条件，再结合图形挖掘公共边、公共角、对顶角这类自带的隐含相等条件，之后根据已知条件的类型匹配判定方法： ①如果只已知一组边对应相等，接下来优先再找另一组边对应相等，凑齐三边后用SSS判定，若是找不到另一组边，就找两组角对应相等，用ASA或AAS判定； ②如果已知一组边和一组角对应相等，可以找这组角的另一组邻边对应相等，用SAS判定，也可以找任意一组角对应相等，用ASA或AAS判定； ③如果已知两组角对应相等，只需要再找到任意一组对应边相等，就可以用ASA或AAS判定全等； ④如果题目涉及直角三角形，可优先确认是否满足斜边和一条直角边对应相等，直接用HL判定，注意这一方法仅适用于直角三角形，非直角三角形不能使用。 易错点1 混淆性质与判定的逻辑 易错提醒 很多同学会错把“全等三角形周长相等、面积相等”的性质反过来用，误认为只要两个三角形周长相等或面积相等，就一定是全等三角形，实际上存在周长、面积都相等但形状不同的三角形，这类三角形并不全等，要注意性质只能用于全等推导结论，不能反过来作为全等的判定依据。 【对点训练】1．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点2 忽略图形变换后的全等性 易错提醒 部分同学会认为经过平移、旋转、翻折变换后的三角形位置发生改变，就和原三角形不再全等，实际上这三类变换都属于全等变换，仅改变图形位置，不改变图形的形状和大小，变换前后的三角形始终是全等的，解题时不要被位置变化误导。 【对点训练】2．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 易错点3 忽略性质中的“对应”前提 易错提醒 很多同学会记混性质内容，错认为全等三角形中所有的高、中线、角平分线都分别相等，实际上只有对应边上的高、中线，对应角的角平分线才相等，非对应位置的这些线段长度并不一定相等，做题时一定要认准对应关系再判断相等关系。 【对点训练】3．下列说法中错误的是（　　） A．全等三角形的对应边相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的角平分线相等 易错点4 计算边长、角度时错配对应元素 易错提醒 很多同学利用全等性质求未知边长、角度时，不先确认对应顶点、对应边与对应角，仅凭图形直观感受就随意对应相等元素，很容易得出错误的计算结果，拿到题目首先要根据已知条件梳理清楚对应关系，再代入性质计算。 【对点训练】4．如图，点 D、E在BC上，ABE≌ACD，BC=10，DE=4，则 BD的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 易错点5 证明推导时逻辑不严谨 易错提醒 部分同学在利用全等三角形性质证明后续结论时，经常跳过“明确对应元素相等”这一关键步骤，直接得出最终结论，导致解题过程逻辑断层，被扣除步骤分，书写证明过程时要按照逻辑顺序推导，不要跳步漏写关键推导环节。 【对点训练】5．．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC． 证明：∵  AB∥CD， ∴  ∠______＝∠______ (                             ) 在△______和△______中， ∴  Δ______≌Δ______ （       ）． ∴ ∠_____＝∠____ (                                  ) ∴ ______∥______ (                                    ) 易错点6 错用全等判定定理 易错提醒 最常见的错误是误用“SSA（两边及其中一边的对角）”证明一般三角形全等，此外不少同学会忽略HL定理的适用前提——必须是直角三角形，在非直角三角形中错误使用HL证明全等。 【对点训练】6．阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中的中点，，，试说明：. 证明：在和中， （第一步） （第二步） 问：（1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 易错点7 忽略隐含条件 易错提醒 部分题目会将公共边、公共角、对顶角这些隐含的相等条件藏在图形中，很多同学做题时只关注题目给出的显性条件，漏掉这些隐含条件，无法凑齐全等判定需要的全部条件，最终无法完成证明。 【对点训练】7．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）． （1）你添加的条件是：_____________________． （2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由． 易错点8 漏解丢分 易错提醒 当题目中仅说明两个三角形全等、未明确对应关系时，很多同学容易只考虑一种对应情况，忘记按照要求分类讨论所有可能的对应关系，造成漏解。若△ABC≌△DEF，则前后对应关系确定;若△ABC与△DEF全 等，则前后对应关系不确定，需分情况讨论. 【对点训练】8．已知点A、B的坐标分别为：（2，0），（2，4），点P在坐标轴上，且以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等. （1）画出符合条件的△ABP； （2）直接写出点P的坐标. 易错点9 对应元素找错 易错提醒 很多同学在找全等三角形的对应边、对应角时，容易忽略对应顶点的顺序，错把非对应边、非对应角当作相等的对应元素，进而导致后续推导出错。解题时一定要牢记，书写全等时对应顶点要写在对应位置上，可据此快速准确确定对应关系。 【对点训练】9．已知：如图，AB＝CD，AB∥DC．求证：AD∥BC 易错点10 间接条件直接证全等 易错提醒 很多同学拿到题目时，看到给出的条件无法直接凑齐全等判定的三个要素，就胡乱拼凑推导逻辑，忽略了题目中暗藏的间接相等条件：比如题目给出两组线段相等，需要利用等式性质加上公共线段，推导出对应边相等；题目给出两个角相等，需要利用等式性质加上公共角推导出对应角相等。建议大家拿到题目后，先梳理所有给出的条件，将间接条件转化为全等判定需要的对应相等元素，再按步骤完成证明，不要强行跳过推导步骤直接证全等。 【对点训练】10．如图，. 求证：. 一、单选题 1．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（    ） A．边长相等的图形 B．面积相等的图形 C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形 2．下列选项中的图形与给出的图形全等的是（    ）   A． B． C． D． 3．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，，若，，则的面积为（　　） A．24 B．18 C．12 D．8 4．如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为（　　） A．18 B．24 C．26 D．32 二、填空题 6．如果两个图形全等，那么它们的面积________． 7．已知，，的面积是，那么中边上的高是 cm． 8．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 9．如图所示则    10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t的值为 三、解答题 11．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线． (1)与全等吗？你是怎样知道的？ (2)如果你认为与全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角． 12．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,写出这两个全等三角形的对应边。 13．已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF． 求证：∠B=∠D． 14．如图，在∠△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由． 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 知识点一：全等形 1．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 知识点二：全等三角形 1．全等三角形的概念： 如图：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 特别提示：两个全等的图形的形状和大小完全一样．与他们摆放的位置、方向等无关． 2．相关概念： 对应点：当两个三角形重合在一起时，互相重合的顶点 叫做对应点．即：A与D，B与E，C与F． 对应边： 互相重合的边叫做对应边 叫做对应边 即：AB与DE，AC与DF，BC与EF． 对应角：互相重合的角 叫做对应角． 即：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F． 3．全等三角形的表示：“≌”叫做全等于符号，△ABC与△DEF全等表示为△ABC≌△DEF，读作：三角形ABC全等于三角形DEF。特别提示：若用“≌”连接时，对应点必须写在对应的位置． 4.全等三角形的性质： （1）对应边相等 ．即AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF． （2）对应角 相等．即∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F． 知识点三：全等三角形的判定： 判定方法 内容 数学语言 图形表示 注意点 边边边（SSS） 三边分别相等的两个三角形全等。可简写为“边边边”或“SSS” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 边角边（SAS） 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“边角边”或“SAS” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 用“边角边（SAS）判定全等时，角一定是两边的夹角，否则不能判定全等。在写条件的时候角必须写在中间。 角边角（ASA） 两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角边角”或“ASA” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 用“角边角（ASA）判定全等时，边是两角的夹边，在书写的过程中需把边写在中间 角角边（AAS） 两角以及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等。可简写为“角角边”或“AAS” 在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF 用“角角边（AAS）判定全等时，边是其中一个角的对边，与边相对的角写在最前，边写在最后。 斜边、直角边（HL） 在直角三角形中，斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。可简写为“斜边、直角边”或“HL” 在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF 用“斜边与直角边（HL）”判定全等只能在直角三角形中应用，且一定是斜边加任意的直角边 特别提示：在写全等三角形的数学语言时，等号左边写“≌”左边三角形的条件，等号右边写“≌”右边三角形的条件。并且条件的顺序必须和判定条件顺序一致。 知识点四：全等三角形的判定方法总结 可以按照思路逐步梳理：首先整理题目明确给出的条件，再结合图形挖掘公共边、公共角、对顶角这类自带的隐含相等条件，之后根据已知条件的类型匹配判定方法： ①如果只已知一组边对应相等，接下来优先再找另一组边对应相等，凑齐三边后用SSS判定，若是找不到另一组边，就找两组角对应相等，用ASA或AAS判定； ②如果已知一组边和一组角对应相等，可以找这组角的另一组邻边对应相等，用SAS判定，也可以找任意一组角对应相等，用ASA或AAS判定； ③如果已知两组角对应相等，只需要再找到任意一组对应边相等，就可以用ASA或AAS判定全等； ④如果题目涉及直角三角形，可优先确认是否满足斜边和一条直角边对应相等，直接用HL判定，注意这一方法仅适用于直角三角形，非直角三角形不能使用。 易错点1 混淆性质与判定的逻辑 易错提醒 很多同学会错把“全等三角形周长相等、面积相等”的性质反过来用，误认为只要两个三角形周长相等或面积相等，就一定是全等三角形，实际上存在周长、面积都相等但形状不同的三角形，这类三角形并不全等，要注意性质只能用于全等推导结论，不能反过来作为全等的判定依据。 【对点训练】1．对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②如果面积相同而形状不同也不全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故选A． 【点睛】本题考查了全等形的概念，做题时要根据定义进行验证． 易错点2 忽略图形变换后的全等性 易错提醒 部分同学会认为经过平移、旋转、翻折变换后的三角形位置发生改变，就和原三角形不再全等，实际上这三类变换都属于全等变换，仅改变图形位置，不改变图形的形状和大小，变换前后的三角形始终是全等的，解题时不要被位置变化误导。 【对点训练】2．如图，有四张小画片，画的都是用七巧板拼成的人物图形，与另外三张与众不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目信息，要得到与另外三张不同的卡片，即依据全等图形的概念及旋转变换进行判断． 【详解】解：可知将选项A中的图形顺时针旋转180°，即可与选项B中的图形重合， 将选项B中的图形顺时针旋转90°，即可得到选项D中的图形， 故A、B、D中的三个图形全等， 分析C中图片人物，结合四个图片可以看出C选项中图形与其他三个不同． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形全等及变换，常见的图形变换包括平移、旋转、对称等几种情况，掌握图形全等的概念是解本题的关键． 易错点3 忽略性质中的“对应”前提 易错提醒 很多同学会记混性质内容，错认为全等三角形中所有的高、中线、角平分线都分别相等，实际上只有对应边上的高、中线，对应角的角平分线才相等，非对应位置的这些线段长度并不一定相等，做题时一定要认准对应关系再判断相等关系。 【对点训练】3．下列说法中错误的是（　　） A．全等三角形的对应边相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的角平分线相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的面积相等， 故、、正确， 故选． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 易错点4 计算边长、角度时错配对应元素 易错提醒 很多同学利用全等性质求未知边长、角度时，不先确认对应顶点、对应边与对应角，仅凭图形直观感受就随意对应相等元素，很容易得出错误的计算结果，拿到题目首先要根据已知条件梳理清楚对应关系，再代入性质计算。 【对点训练】4．如图，点 D、E在BC上，ABE≌ACD，BC=10，DE=4，则 BD的长是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】由ABE≌ACD得到，继而得到，再由，据此解答． 【详解】解：ABE≌ACD， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 易错点5 证明推导时逻辑不严谨 易错提醒 部分同学在利用全等三角形性质证明后续结论时，经常跳过“明确对应元素相等”这一关键步骤，直接得出最终结论，导致解题过程逻辑断层，被扣除步骤分，书写证明过程时要按照逻辑顺序推导，不要跳步漏写关键推导环节。 【对点训练】5．．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC． 证明：∵  AB∥CD， ∴  ∠______＝∠______ (                             ) 在△______和△______中， ∴  Δ______≌Δ______ （       ）． ∴ ∠_____＝∠____ (                                  ) ∴ ______∥______ (                                    ) 【答案】详见解析. 【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠ABD=∠BDC，再证明△ABD和△CDB全等，然后根据全等三角形对应角相等得出∠ADB=∠CBD，进一步得出AD∥BC． 【详解】证明：∵AB∥CD ∴∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等）， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SAS）， ∴∠ADB=∠CBD（全等三角形对应角相等）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质；平行线的性质与判定，找准内错角是解决问题的关键． 易错点6 错用全等判定定理 易错提醒 最常见的错误是误用“SSA（两边及其中一边的对角）”证明一般三角形全等，此外不少同学会忽略HL定理的适用前提——必须是直角三角形，在非直角三角形中错误使用HL证明全等。 【对点训练】6．阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是中的中点，，，试说明：. 证明：在和中， （第一步） （第二步） 问：（1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 【答案】（1）不正确，错在第一步；（2）详见解析. 【分析】（1）根据SSA不能判定三角形全等，故错误； （2）先根据三线合一得到，再用ASA证明，即可求解. 【详解】解：（1）不正确.              错在第一步    （2）理由 ∵D是BC的中点，         ∴（三线合一）    ∴     在△AEB和△AEC中，               ∴           ∴ 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法. 易错点7 忽略隐含条件 易错提醒 部分题目会将公共边、公共角、对顶角这些隐含的相等条件藏在图形中，很多同学做题时只关注题目给出的显性条件，漏掉这些隐含条件，无法凑齐全等判定需要的全部条件，最终无法完成证明。 【对点训练】7．如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）． （1）你添加的条件是：_____________________． （2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由． 【答案】(1)∠C=∠E（答案不唯一）；(2)见解析 【分析】(1)可以根据全等三角形的不同的判定方法选择添加不同的条件； (2)根据全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】解：(1)∵AB=AD，∠A=∠A， ∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E， 若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE， 若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC， 综上所述，可以添加的条件为∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）； 故答案为：∠C=∠E； (2)选∠C=∠E为条件，理由如下： 在△ABC和△ADE中： ， ∴△ABC≌△ADE(AAS) ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同． 易错点8 漏解丢分 易错提醒 当题目中仅说明两个三角形全等、未明确对应关系时，很多同学容易只考虑一种对应情况，忘记按照要求分类讨论所有可能的对应关系，造成漏解。若△ABC≌△DEF，则前后对应关系确定;若△ABC与△DEF全 等，则前后对应关系不确定，需分情况讨论. 【对点训练】8．已知点A、B的坐标分别为：（2，0），（2，4），点P在坐标轴上，且以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等. （1）画出符合条件的△ABP； （2）直接写出点P的坐标. 【答案】（1）见解析；（2）P1（4，0），P2（0，4）. 【分析】（1）首先根据A、B两点的坐标确定出△ABO，然后已知AB为公共边，分P在x轴和P在y轴两种情况，根据网格特点和全等三角形的性质作图即可； （2）根据（1）中所作图形直接写出点P的坐标即可. 【详解】解：（1）如图，△ABP1和△ABP2为所作图形： （2）由（1）中图形可知，点P的坐标为：P1（4，0），P2（0，4）. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质；解题的关键是要分情况作图，利用全等三角形的性质求解． 易错点9 对应元素找错 易错提醒 很多同学在找全等三角形的对应边、对应角时，容易忽略对应顶点的顺序，错把非对应边、非对应角当作相等的对应元素，进而导致后续推导出错。解题时一定要牢记，书写全等时对应顶点要写在对应位置上，可据此快速准确确定对应关系。 【对点训练】9．已知：如图，AB＝CD，AB∥DC．求证：AD∥BC 【答案】证明过程见解析 【分析】连接BD，根据两直线平行，内错角相等求出∠ABD=∠BDC，再证明△ABD≌△CDB，得出∠ADB=∠CBD，进一步得出AD∥BC． 【详解】解：连接BD，如下图所示： ∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC， 在△ABD和△CDB中， ，∴△ABD≌△CDB(SAS)， ∴∠ADB=∠CBD， ∴AD∥BC． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质与判定，找准内错角是解决问题的关键． 易错点10 间接条件直接证全等 易错提醒 很多同学拿到题目时，看到给出的条件无法直接凑齐全等判定的三个要素，就胡乱拼凑推导逻辑，忽略了题目中暗藏的间接相等条件：比如题目给出两组线段相等，需要利用等式性质加上公共线段，推导出对应边相等；题目给出两个角相等，需要利用等式性质加上公共角推导出对应角相等。建议大家拿到题目后，先梳理所有给出的条件，将间接条件转化为全等判定需要的对应相等元素，再按步骤完成证明，不要强行跳过推导步骤直接证全等。 【对点训练】10．如图，. 求证：. 【答案】见解析. 【分析】先根据平行线的性质求出∠B=∠DEC，再由BE=CF可知BE+EC=CF+EC，即BC=EF，由SAS定理即可得出△ABC≌△DEF，由此可得出结论． 【详解】 在和中， ∴和. . . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知判定全等三角形的SAS定理是解答此题的关键． 一、单选题 1．对于“全等图形”的描述，下列说法正确的是（    ） A．边长相等的图形 B．面积相等的图形 C．周长相等的图形 D．能够完全重合的图形 【答案】D 【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.边长相等的两个图形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意； C. 周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项不符合题意； D. 能够完全重合的两个图形是全等图形，该说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等形的识别，熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键． 2．下列选项中的图形与给出的图形全等的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等图形，即两个图形能完全重合在一起判断即可． 3．如图，在中，于点D，于点E，交于点F，，若，，则的面积为（　　） A．24 B．18 C．12 D．8 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键． 4．如图，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件证明，再利用等腰三角形求角度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴（SAS）， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明，利用已知条件进行证明是解题的关键． 5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝8，DO＝3，平移距离为4，则阴影部分的面积为（　　） A．18 B．24 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据平移的性质可得：DE=AB=8，，OE=AB-DO=5，从而得到阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴DE=AB=8，， ∵平移距离为4， ∴BE=4， ∵AB＝8，DO＝3， ∴OE=AB-DO=5， ∴阴影部分的面积等于 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变换——平移，熟练掌握平移前后图形的大小形状完全相同是解题的关键． 二、填空题 6．如果两个图形全等，那么它们的面积________． 【答案】相等 【分析】由全等图形的定义和性质可以得到解答． 【详解】解：∵全等图形能够完全重合，∴它们的周长和面积都相等， 故答案为相等． 【点睛】本题考查全等图形的应用，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题关键． 7．已知，，的面积是，那么中边上的高是 cm． 【答案】8 【分析】利用全等三角形对应边相等，以及对应边上的高也相等，利用面积法求出EF边上的高即可． 【详解】解：∵，，的面积是， ∴，即， 则中边上的高是， 故答案为：8． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键． 8．如图，小虎用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】40 cm 【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm， ∴DE＝DC＋CE＝40（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为40cm， 故答案为：40 cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，涉及到垂直的定义、直角三角形的性质和两个三角形全等的判定与性质等知识点，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件． 9．如图所示则    【答案】 【分析】根据得出，从而可证，再根据三角形全等的性质得，最后根据外角的性质得，求解即可得. 【详解】解：∵，且，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理和性质、以及外角的性质，证出两个三角形全等是解题关键． 10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t的值为 【答案】：0或3或9或12． 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝6， ∴BE＝6， ∴AE＝12﹣6＝6， ∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝6， ∴BE＝6， ∴AE＝12+6＝18， ∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）； ③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝12， ∴BE＝12， ∴AE＝12+12＝24， ∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒）， 综上所述t的值为：0，3，9，12．共4种情况． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在于找到所有符合题意的情况． 三、解答题 11．如图，BD是长方形ABCD的一条对角线． (1)与全等吗？你是怎样知道的？ (2)如果你认为与全等，请用符号表示，并说出它们的对应边和对应角． 【答案】(1)与全等，理由见详解 (2)；对应边：， 对应角： 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）用符号表示全等三角形，并写出对应边和对应角即可． 【详解】（1）解：与全等，理由如下： ∵BD是长方形ABCD的一条对角线， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴； （2）解： 与全等，用符号表示：； 对应边：， 对应角：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定以及全等三角形的对应边和对应角，掌握证明三角形全等是关键． 12．如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,写出这两个全等三角形的对应边。 【答案】AB和AC,AD和AE,BD和CE 【分析】根据全等三角形的对应角所对的边为对应边求解即可． 【详解】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角， ∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边， 故答案为：AB与AC，AD与AE，BD与CE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，明确全等三角形的对应角所对的边为对应边是解本题的关键. 13．已知：如图，B，F，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠EFD，BF=CD，AC=EF． 求证：∠B=∠D． 【答案】证明见解析 【详解】分析：先根据BF=CD得出BC=DF，再由SAS定理得出△ABC≌△EDF，由全等三角形的性质得出∠B=∠D，由此可得出结论． 详解：证明：∵BF=CD， ∴BF+FC=CD+FC，即BC=DF. 在△ABC与△EDF中， ∴△ABC≌△EDF(SAS)， ∴∠B=∠D. 点睛：考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键. 14．如图，在∠△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由． 【答案】AE＝BD且AE⊥BD．理由见解析. 【分析】根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD，然后再证明∠DOM＝∠ECM＝90°，即可解答. 【详解】AE＝BD且AE⊥BD．理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠DCA＝∠DCE+∠DCA， 即∠DCB＝∠ACE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD，∠CEA＝∠BDC， ∵∠CME＝∠DMO， ∴∠DOM＝∠ECM＝90°， ∴AE⊥BD， ∴AE＝BD且AE⊥BD． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理. 15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝11cm．点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点M和N分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作ME⊥l于E，NF⊥l于F．设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 【答案】2或或14 【分析】易证∠MEC＝∠CFN，∠MCE＝∠CNF．只需MC＝NC，就可得到△MEC与△CFN全等，然后只需根据点M和点N不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：①当0≤t＜时，点M在AC上，点N在BC上，如图①， 此时有AM＝t，BN＝3t，AC＝7，BC＝11． 当MC＝NC，即7﹣t＝11﹣3t，即t＝2时△MEC≌△CFN． ∵ME⊥l，NF⊥l，∠ACB＝90°， ∴∠MEC＝∠CFN＝∠ACB＝90°． ∴∠MCE＝90°﹣∠FCN＝∠CNF． 在△MEC和△CFN中， ． ∴△MEC≌△CFN（AAS）． ②当≤t≤6时，3t﹣11＝7﹣t t＝，即t＝△MEC≌△CFN． ③6＜t≤7时，不存在， ④当7＜t＜18时，点N停在点A处，点M在BC上，如图②， 当MC＝NC即t﹣7＝7，也即t＝14时， 同理可得：△MEC≌△CFN． 综上所述：当t等于2或14秒时，以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等． 故答案为：2或或14．     【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题，分类讨论是解答本题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $