专题02 三角形与全等三角形（5知识&7题型&3易错&5方法清单）（期末复习知识清单）八年级数学上学期新教材沪科版

专题02 三角形与全等三角形（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】三角形的概念与分类 核心定义 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，记作，三条边为、、，三个内角为、、。 常见分类标准 按边的关系分 ； 按角的大小分 ； 【清单02】三角形的性质与重要线段 基本性质 内角和定理：三角形三个内角的和等于，即； 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角； 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（若三边为、、，则）； 稳定性：三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 重要线段 高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段（锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条高为直角边，钝角三角形两条高在外部） 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段（三角形三条中线交于一点，该点为重心，重心分中线为的两段） 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段（三角形三条角平分线交于一点，该点为内心，内心到三边距离相等） 中位线 连接三角形两边中点的线段（中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若是的中位线，则，） 【清单03】全等三角形的概念与判定定理 核心定义全等三角形：能够完全重合的两个三角形，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 判定定理 ；。 【清单04】全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线分别相等； 全等三角形的周长相等，面积相等。 【清单05】三角形与全等三角形的实际应用 . 【题型一】三角形的概念与分类 【例1】（2025秋•新市区期中）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：B． 【点评】考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系． 【变式1-1】（2025秋•龙湖区期中）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【分析】现根据三角形内角和定理求出这个三角形的第三个角度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【解答】解：∵这个三角形的第三个角的度数为180°﹣50°﹣80°＝50°， ∴这个三角形的两个角相等， ∴这个三角形是等腰三角形，故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出这个三角形的第三个角的度数． 【变式1-2】（2025秋•南沙区期中）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可． 【解答】解：三角形的定义可知：三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选项中是三角形的是C： ， 故选：C． 【点评】此题考查了三角形，关键是三角形定义的熟练掌握． 【题型二】三角形的性质（内角和、外角、三边关系） 【例2】（2025秋•天长市期中）中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．明明准备制作一个三角形的风筝，搭风筝骨架时，他已经准备了两条竹篾（miè），长度分别是4分米，9分米，则第三条竹篾的长度可以是（　　） A．3分米 B．5分米 C．10分米 D．13分米 【分析】根据三角形三边关系，第三条竹篾的长度必须大于已知两边之差（9﹣4＝5分米），且小于已知两边之和（4+9＝13分米），且不能等于差或和，即可解答． 【解答】解：∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 已知两边长分别为4分米和9分米，∴第三边c满足：9﹣4＜c＜9+4，即5＜c＜13， A、3＜5，不满足，此选项错误，不符合题意； B、5＝5，不满足，此选项错误，不符合题意； C、10满足5＜10＜13，此选项正确，符合题意； D、13＝13，不满足，此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边之间的关系． 【变式2-1】（2025秋•花都区期中）如图，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠BDC＝110°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．110° C．60° D．75° 【分析】在△DBC中，运用三角形内角和定理求出∠DBC+∠DCB的度数，再利用角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，在△ABC中，运用三角形内角和定理求出∠A的度数． 【解答】解：∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴（角平分线的定义）， ∵∠BDC＝110°， ∴在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣110°＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠DBC+2∠DCB＝2（∠DBC+∠DCB）＝140°， 在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2-2】（2025秋•武昌区期中）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【分析】连接BC，设BE与CD交于点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠MBC+∠MCB＝40°，结合三角形内角和定理及对顶角相等，即可求出∠D+∠E的度数． 【解答】解：连接BC，设BE与CD交于点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝70°，∠ABM＝40°，∠ACM＝30°， ∴根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠ACM ＝180°﹣70°﹣40°﹣30° ＝40°． 又∵∠D+∠E+∠DME＝180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠DME＝∠BMC， ∴∠D+∠E＝∠MBC+∠MCB＝40°，即∠D+∠E的度数为40°． 故选：B． 【点评】本题考查三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 【题型三】三角形的重要线段 【例3】（2025秋•合肥期中）如图，AD、CE是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是12，则△EDC的面积是（　　） A．7.5 B．5 C．3 D．2.5 【分析】根据CE是AB边上的中线，得到，根据AD是BC边上的中线，解答即可． 【解答】解：∵AD、CE是△ABC的中线，△ABC的面积是12， ∴S△AEC＝S△EBCS△ABC12＝6，点D是BC的中点， ∴ED是△EBC的中线， ∴S△EDCS△EBC6＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【变式3-1】（2025秋•西宁期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝70°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据∠ADF＝70°，∠C＝65°，得出∠FAD＝20°，∠DAC＝25°，角的和差关系求出∠CAE＝45°，进而根据角平分线的定义得出∠BAC＝90°，然后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【解答】解：∵AD为△ABC的高线，∴AD⊥DC， 又∵DF⊥AE，∠ADF＝70°，∠C＝65°， ∴∠FAD＝90°﹣70°＝20°，∠DAC＝25°， ∴∠CAE＝25°+20°＝45°， ∵AE为△ABC的角平分线， ∴∠BAC＝90°， 在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣65°﹣90°＝25°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 【变式3-2】（2025秋•淮上区期中）在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝64°，∠DAE＝10°，则∠C的度数是（　　） A．36° B．42° C．44° D．54° 【分析】根据三角形的内角和得出∠BAD＝26°，再利用角平分线得出∠BAC＝72°，利用三角形内角和解答即可． 【解答】解：∵AD是高，∠B＝64°， ∴∠BAD＝26°， ∴∠BAE＝26°+10°＝36°， ∵AE是角平分线， ∴∠BAC＝2∠BAE＝72°， ∴∠C＝180°﹣64°﹣72°＝44°．故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180°是解题的关键． 【题型四】全等三角形的判定 【例4】（2025秋•工业园区期中）如图，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（　　） A．CA平分∠DCB B．AC平分∠DAB C．∠B＝∠D＝90° D．BC＝CD 【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC＝AC，具备了两组对应边对应相等，对选项一一分析，选出正确答案． 【解答】解：∵AB＝AD，AC＝AC， A、添加CA平分∠DCB，即∠DCA＝∠BCA，则SSA不能判定△ABC≌△ADC，故符合题意； B、添加AC平分∠DAB，即∠DAC＝∠BAC，则SAS能判定△ABC≌△ADC，故不符合题意； C、添加∠B＝∠D＝90°，则HL能判定△ABC≌△ADC，故不符合题意； D、添加BC＝DC，则SSS能判定△ABC≌△ADC，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式4-1】（2024秋•滨城区期末）小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（　　） A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【解答】解：根据作图可知：两个三角形有两条边和其中一边对角相等，但这两个三角形不全等，所以两个三角形的两条边和其中一边对角相等，这两个三角形不一定全等， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的性质，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 【变式4-2】（2025秋•大同期中）△ABC的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC不全等的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．都不全等 【分析】由全等三角形的判定可求解． 【解答】解：由“SAS”可证图乙和△ABC全等，由“AAS”可证图丙和△ABC全等，根据已知条件无法证明图甲和△ABC全等． 综上所述，只有选项A正确，符合题意，故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【题型五】全等三角形的性质应用 【例5】（2025秋•德惠市期中）如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．3 C． D．9 【分析】根据全等三角形的性质，得到S△ABC＝S△ADE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，进而得到∠BAD＝90°，分割法求出阴影部分的面积即可． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴S△ABC＝S△ADE，AB＝AD（全等三角形对应边相等），∠BAC＝∠DAE（全等三角形对应角相等）， ∴∠BAD＝∠EAC＝90°， ∴， ∴，则图中阴影部分的面积为， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 【变式5-1】（2025秋•珠海期中）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，DB＝5，AE＝12，则BC的长为（　　） A．7 B．5 C．12 D．6 【分析】由全等三角形的性质得出AB＝DB＝5，BC＝BE，求出BE的长，即可得到BC的长． 【解答】解：∵△ABC≌△DBE， ∴AB＝DB＝5，BC＝BE， ∵BE＝AE﹣AB＝12﹣5＝7， ∴BC＝BE＝7，故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【变式5-2】（2025秋•藁城区期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若∠3＝20°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．150° B．160° C．180° D．200° 【分析】直接利用周角和平角的定义结合三角形内角和定理，以及全等三角形的性质得出结论即可． 【解答】解：如图所示： 由图形可得：∠1+∠2+∠3＝3×180°﹣180°﹣180°＝180°， 又∵∠3＝20°， ∴∠1+∠2＝160， 故选：B． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 【题型六】全等三角形的证明与计算 【例6】（2024秋•蜀山区期末）求证：两个全等三角形对应边上的中线相等． 【分析】设△ABC≌△DEF，AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线，则AB＝DE，∠B＝∠E，再推导出BP＝EQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABP≌△DEQ，得AP＝DQ，所以全等三角形对应边上的中线相等． 【解答】已知：△ABC≌△DEF，AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线． 求证：AP＝DQ． 证明：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E， ∴AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线， ∴BP＝CPBC，EQ＝FQEF， ∴BP＝EQ， 在△ABP和△DEQ中，， ∴△ABP≌△DEQ（SAS）， ∴AP＝DQ，∴全等三角形对应边上的中线相等． 【点评】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键． 【变式6-1】（2024秋•莆田期中）求证：全等三角形对应边上的高相等．（要求画图，写已知、求证、然后证明） 【分析】寻找命题的题设和结论，即可解决问题；写出已知，求证，利用全等三角形的判定方法证明即可． 【解答】解：已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，求证：AD＝A′D′． 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，∠B＝∠B′， ∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD＝A′D′． 【点评】本题考查全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【变式6-2】（2025•澄迈县模拟）如图，AE∥BC且AE＝AC，∠EFA＝∠ABC． （1）求证：△ABC≌△EFA； （2）若BC＝2，AE＝6，求FC的长度． 【分析】（1）先由平行线的性质可得∠EAF＝∠C，最后再利用AAS证明△ABC≌△EFA即可； （2）由全等三角形的性质可得AC＝AE＝6，AF＝BC＝2，从而即可得解． 【解答】（1）证明：AE∥BC且AE＝AC，∠EFA＝∠ABC．∴∠EAF＝∠C， 在△ABC和△EFA中，， ∴△ABC≌△EFA（AAS）； （2）解：由（1）可得：△ABC≌△EFA， ∴AC＝AE，AF＝BC， ∵BC＝2，AE＝6， ∴AC＝AE＝6，AF＝BC＝2， ∴CF＝AC﹣AF＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【题型七】三角形与全等三角形的实际应用 【例7】（（2024秋•安顺期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P（点D，P，B在一直线上），测得PC与地面的夹角∠DPC＝18°，PA与地面的夹角∠APB＝72°，点P到楼底的距离PB为9m，旗杆CD的高度为9m．若旗杆CD与楼AB之间的距离BD为36m，请你计算楼AB的高． 【分析】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（AAS），进而得出AB的长． 【解答】解：PC与地面的夹角∠DPC＝18°，PA与地面的夹角∠APB＝72°，点P到楼底的距离PB为9m，旗杆CD的高度为9m．旗杆CD与楼AB之间的距离BD为36m，CD⊥DB，AB⊥DB， ∴∠CDP＝90°，∠ABP＝90°，PB＝CD， ∴∠BAP＝90°﹣∠APB＝90°﹣72°＝18°， ∴∠BAP＝∠DPC． 在△PBA和△CDP中，， ∴△CPD≌△PAB（AAS）， ∴AB＝PD． ∴PD＝DB﹣PB＝36﹣9＝27（m）， ∴AB＝27m． 答：楼AB高为27m． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【变式7-1】（2025秋•徐州期中）如图，小明为测量花瓶内部长度，设计这样的方案：将两根长度不等的木条AC、BD的中点连在一起，记中点为O．测得C、D两点之间的距离后，可得花瓶内壁上A、B两点之间的距离，即AB＝DC．请证明：AB＝DC． 【分析】根据SAS可证明△AOB与△COD全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【解答】证明：在△AOB与△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式7-2】（2025秋•惠州期中）小明和爸妈在周末去滨江公园游乐场乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离BD＝10m，小明在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，AC⊥BD于点C，此时点C到地面的距离CD＝7m，当船头从A处摆动到A′处时，AB⊥A′B，求点A′到BD的距离． 【分析】过点A′作A′F⊥BD于点F，证明△ACB≌△BFA′，根据全等三角形的性质得到A′F＝BC，得到答案． 【解答】解：如图，过点A′作A′F⊥BD于点F， ∵AC⊥BD，AB⊥AB， ∴∠FBA+∠FBA′＝∠CAB+∠FBA＝90°， ∴∠FBA′＝∠CAB， 在△ACB与△BFA′中，， ∴△ACB≌△BFA′（AAS）， ∴A′F＝BC， ∵CD＝7m，BD＝10m， ∴FA＝BC＝BD﹣CD＝10﹣7＝3m， 答：点A′到BD的距离为3m． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 【题型一】忽略三角形三边关系致错 【例1】（2024秋•烟台期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝的大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【解答】解：已知4条木棍的四边长为1、2、4、5； ①选1+2、4、5作为三角形，则三边长为3、4、5；4﹣3＜5＜3+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为5； ②选2+4、1、5作为三角形，则三边长为6、1、5；6＝1+5，不能构成三角形，两边重合，此时两个螺丝间的最大距离为6； ③选4+5、1、2作为三角形，则三边长为9、1、2；1+2＜9，不能构成三角形，此种情况不成立； ④选5+1、2、4作为三角形，则三边长为6、2、4；2+4＝6，不能构成三角形，两边重合，此时两个螺丝间的最大距离为6； 综上所述，任两螺丝的距离之最大值为6． 故选：B． 【点评】此题考查的是三角形三边关系，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键． 【变式1-1】（2025•衡水模拟）将周长为12cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于每一个选项，分别求出该三角形的三边，然后利用三角形三边之间的关系进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项A， 依题意得：该三角形的三边分别为：6cm，4cm，2cm， ∵4+2＝6，不符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据不正确； 故选项A不符合题意； 对于选项B， 依题意得：该三角形的三边分别为：6cm，3cm，3cm， ∵3+3＝6，不符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据不正确； 故选项B不符合题意； 对于选项C， 依题意得：该三角形的三边分别为：7cm，3cm，2cm， ∵3+2＜7，不符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据不正确； 故选项C不符合题意； 对于选项D， 依题意得：该三角形的三边分别为：5cm，5cm，2cm， ∵5+2＞5，符合构成三角形的条件， ∴该选项中所标的数据正确； 故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键． 【变式1-2】（2025秋•香洲区期中）如图，点P为△ABC内一点，△ABC的周长为12，BC＝5，则PB+PC的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】延长BP交AC于点D，根据三角形的三边关系求得BP+PC＜AB+AC，推出5＜PB+PC＜7，再根据题意求解即可． 【解答】解：如图，延长BP交AC于点D， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴BP+PD＜AB+AD，PC＜PD+CD， ∴BP+PD+PC＜AB+AD+PD+CD＝AB+AC+PD， ∴BP+PC＜AB+AC， ∵△ABC的周长为12，BC＝5， ∴AB+AC＝12﹣5＝7， ∵点P为△ABC内一点， ∴5＜PB+PC＜7，故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【题型二】全等三角形判定定理误用致错 【例2】（2025秋•潮州期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝DC；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC．其中能使△ABC≌△DCB的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据全等三角形的判定定理综合分析即可． 【解答】解：根据全等三角形的判定定理分析判定如下： ①在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）； ②在△ABC和△DCB中， ， 不符合全等三角形的判定定理； ③在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（AAS）； ④在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（ASA）； 综上分析，能使△ABC≌△DCB的条件有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，准确分析判断是解题的关键． 【变式2-1】（2024秋•唐县期末）在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； B．∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， AB＝DF，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意； C．AB＝DF，AC＝DE，∠B＝∠F，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DFE，故本选项符合题意； D．∠A＝∠D，∠B＝∠F，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DFE，故本选项不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等． 【变式2-2】（2025秋•北京期中）在平面直角坐标系中，A（0，5），B（5，0），C（﹣2，0），BD⊥AC于点D，交y轴于点E，连接OD．下列结论中正确的有（　　） ①AO＝BO，②E（0，2），③△ACO≌△BCD，④DO平分∠CDB． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【分析】根据A，B两点的坐标即可判断出①，通过ASA证得△AOC≌△BOE，即可判断③，根据全等三角形性质可知OE＝OC＝2，即可判断②；由△AOC≌△BOE，得出S△AOC＝S△BOE，AC＝BE，进而得出OM＝ON，即可判断④． 【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（0，5），（5，0）， ∴OA＝OB＝5，故①正确； ∵x轴⊥y轴， ∴∠AOC＝∠BOE＝90°， ∴∠ACO+∠CAO＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠BCD+∠CBE＝90°， ∴∠CAO＝∠CBE， 在△AOC和△BOE中，， ∴△AOC≌△BOE（ASA），故③错误； ∴OE＝OC， ∵点C的坐标为（﹣2，0）， ∴OC＝OE＝2， ∴点E的坐标为（0，2），故②正确； 如图，过点O作OM⊥BD于M，ON⊥AC于N， ∵△AOC≌△BOE， ∴S△AOC＝S△BOE，AC＝BE， ∴， ∴OM＝ON， ∴点O一定在∠CDB的角平分线上， ∵OM⊥BD，ON⊥AC， ∴DO平分∠CDB，故④正确．∴正确的有①②④． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，能证得三角形全等是解本题的关键． 【题型三】三角形外角性质理解错误致错 【例3】（2025秋•蓬江区期中）如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是　　 ． 【分析】作∠BCD的平分线与AP的延长线交于点N，CN与AD交于点Q，AN与BC交于点M，CN与AD交于点Q，根据角平分线的定义证明∠PCN＝90°，再用∠B、∠D表示出∠N，最后由三角形外角的性质得出∠APC＝∠N+∠PCN，即可求解． 【解答】解：如图，作∠BCD的平分线与AP的延长线交于点N，AN与BC交于点M，CN与AD交于点Q， ∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，CN平分∠BCD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠3+∠4+∠5+∠6＝180°， ∴． ∵∠AMB＝∠CMN，∠AQN＝∠CQD， ∴∠1+∠B＝∠5+∠N，∠6+∠D＝∠2+∠N， ∴∠2+∠5+2∠N＝∠1+∠6+∠B+∠D， ∴2∠N＝∠B+∠D， ∴，∵∠APC＝∠N+∠PCN， ∴， 即． 则∠P与∠B、∠D的数量关系为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形外角的性质，关键是三角形外角性质的熟练掌握． 【变式3-1】（2025秋•和平区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝108°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝36°，连接DE，则∠CED的大小＝　18　 （度）． 【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得∠CED的度数，本题得以解决． 【解答】解：延长CB到F， ∵在△ABC中，∠ABC＝108°，∠CBD＝36°， ∴∠ABF＝72°，∠ABD＝72°， ∴AB平分∠FBD， 又∵∠ACB的平分线交AB边于点E， ∴点E到边BF，BD，AC的距离相等， ∴点E在∠ADB的平分线上， 即DE平分∠ADB， ∵∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB，∠DBC＝36°， ∴， ∴18°， ∵∠CED＝∠ADE﹣∠ACE， ∴∠CED＝18°， 故答案为：18． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式3-2】（2025秋•荔湾区期中）如图，在△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝24°，则∠BAC＝　48°　 ． 【分析】由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，得∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE，则∠BDC（∠ACE﹣∠ABC）∠BAC＝24°，所以∠BAC＝48°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE， ∴∠DBC∠ABC，∠DCE∠ACE， ∴∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC（∠ACE﹣∠ABC）∠BAC， ∵∠BDC＝24°， ∴∠BAC＝24°， ∴∠BAC＝48°，故答案为：48°． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 【题型一】三角形三边关系的应用方法 核心技巧 已知两边求第三边范围：；等腰三角形需分情况讨论，再验证三边关系。 【例1】（2025春•海淀区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 　3或8　 ． 【分析】分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到6﹣4＜x＜6+4， ∴2＜x＜10， 若2x＝4，则x＝2； 若2x＝6，则x＝3； 若x＝2×4，则x＝8； 若x＝2×6，则x＝12， ∵2＜x＜10， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是要分四种情况讨论． 【变式1—1】（2025秋•桦南县期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，若△ABC的周长为奇数，则边长c的值为　6或8　 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值． 【解答】解：∵a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式|a﹣7|+（b﹣2）2＝0， 依题意得：， 解得：， ∵a﹣b＝7﹣2＝5，a+b＝7+2＝9， ∴5＜c＜9， ∵△ABC的周长为奇数，即7+2+c是奇数， ∴c为偶数， ∴c＝6或8， 故答案为：6或8． 【点评】本题考查了三角形三边关系，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，解答本题的关键是熟练掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 【变式1—2】（2025秋•扬州月考）若△ABC的两边分别为4，8，且△ABC为等腰三角形，则△ABC的周长为　20　 ． 【分析】分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分情况讨论得， 当腰长为4时，4+4＝8，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，4+8＝12＞8，能构成等腰三角形，此时△ABC的周长为4+8+8＝20； 故答案为：20． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是等腰三角形性质的熟练掌握． 【题型二】全等三角形判定的选定理技巧 核心技巧 先找已知的边/角条件，再匹配判定定理：有三边找SSS；有两边找夹角（SAS）；有两角找夹边（ASA）或一角对边（AAS）；直角三角形优先HL。 【例2】（2025秋•济宁期中）如图，AB＝AC，请你再补充一个条件AE＝AD（答案不唯一）　 ，使得△ABE≌△ACD．（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 【分析】根据三角形全等的判定定理，补充条件即可． 【解答】解：①补充AE＝AD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． ②补充CE＝BD， ∵AB＝AC，CE＝BD， ∴AB﹣BD＝AC﹣CE， ∴AD＝AE， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． ③补充∠B＝∠C， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． ④补充∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）． ⑤补充∠BEC＝∠CDB， ∵∠BEC＝∠CDB， ∴∠AEB＝∠ADC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， 综上所述，再补充一个条件AE＝AD（答案不唯一），使得△ABE≌△ACD． 故答案为：AE＝AD（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形全等的判定，关键是全等三角形判定定理的熟练掌握． 【变式2—1】（2024秋•临洮县期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　 ．（只需写出一种情况） 【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可． 【解答】解：添加的条件是∠A＝∠D，理由如下： ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE， 即∠DBE＝∠ABC， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL． 【变式2—2】（2025秋•惠州期中）如图，已知AB⊥AC，BD⊥CD，根据“HL”判定△ABC≌△DCB，还需添加的条件是AB＝DC或AC＝DB ． 【分析】根据“HL”判定定理分析△ABC≌△DCB满足斜边和一条直角边对应相等即可解答． 【解答】解：∵AB⊥AC，BD⊥CD， ∴△ABC，△DCB是直角三角形，且由公共边BC分别为两直角三角形的斜边，即BC＝BC， ∴要使△ABC≌△DCB，只需找一组对应的直角边，即AB＝DC或AC＝DB． 故答案为：AB＝DC或AC＝DB． 【点评】本题考查直角三角形全等的“HL”判定定理，明确“HL”判定定理的条件（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）是解题的关键． 【题型三】三角形内角和与外角的转化技巧 核心技巧 求角度时，利用内角和，外角等于不相邻两内角和，进行角度代换和计算。 【例3】（2025秋•武昌区期中）如图，∠CGE＝150°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　300°　 ． 【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出∠EMG＝∠D+∠C，∠HGN＝∠C+∠D+∠E，∠AHG＝∠B+30°，∠ANG＝30°+∠F，再根据∠A+∠AHG+∠HGN+∠ANG＝360°，进行求解即可得出最后结果． 【解答】解：如图，进行标注， ∵∠EMG是△MDC的一个外角， ∴∠EMG＝∠D+∠C， ∵∠HGN是△MEG的一个外角， ∴∠HGN＝∠E+∠EMG，即∠HGN＝∠C+∠D+∠E， ∵∠AHG是△BHG的一个外角， ∴∠AHG＝∠B+∠BGH， ∵∠BGH＝180°﹣∠CGE＝180°﹣150°＝30°， ∴∠AHG＝∠B+30°， ∵∠ANG是△NGF的一个外角， ∴∠ANG＝∠NGF+∠F＝180°﹣150°+∠F＝30°+∠F， ∵∠A+∠AHG+∠HGN+∠ANG＝360°， ∴∠A+∠B+30°+∠C+∠D+∠E+∠F+30°＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°﹣30°﹣30°＝300°，故答案为：300°． 【点评】本题考查了三角形外角性质及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键． 【变式3—1】（2025秋•赵县期中）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A＝70°，∠BCD＝120°，若要使∠ABC，∠ADC的平分线相交构成的角∠BED 的度数为100°，则可保持∠A不变，将∠BCD增大　10　 °． 【分析】连接AE并延长至点F，根据三角形外角的性质可推出∠BED＝∠ABE+∠BAD+∠ADE＝100°，结合已知条件和角平分线的定义可得∠ABC+∠ADC＝2（∠ABE+∠ADE）＝60°，同理可得∠BCD＝∠BAD+∠ABC+∠ADC，即可得到答案． 【解答】解：如图，连接AE并延长至点F， ∵∠BED＝100°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF ＝∠ABE+∠BAE+∠DAE+∠ADE ＝∠ABE+∠BAD+∠ADE ＝100°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠ABE+∠ADE＝∠BED﹣∠BAD＝100°﹣70°＝30°， ∵BE，DE分别平分∠ABC，∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC＝2（∠ABE+∠ADE）＝2×30°＝60°， 同理可得，∠BCD＝∠BAD+∠ABC+∠ADC＝70°+60°＝130°， ∵130°﹣120°＝10°， ∴需将∠BCD增大10°．故答案为：10． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，熟知三角形外角与内角之间的关系是解题的关键． 【变式3—2】（2025春•东坡区期中）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 　50　 °． 【分析】设∠PBD＝α，表示出∠BDE＝6α，于是∠P＝5α，由∠Q＝45°可推出∠BAC+∠ACD＝90°，根据∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值，进一步得出结果． 【解答】解：如图， 设PD的延长线交BC于E， 设∠PBD＝α，则∠ABP＝2α， ∴∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝3α， ∴∠BDC＝4∠ABD＝12α， ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE6α， ∴∠P＝∠BDE﹣∠PBD＝6α﹣α＝5α， 在△ACQ中， ∠QAC+∠ACQ＝180°﹣∠Q＝135°， ∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG， ∴∠FAC＝2∠QAC，∠ACG＝2∠ACQ， ∴∠FAC+∠ACG＝2（∠QAC+∠ACQ）＝270°， ∴∠BAC+∠ACD＝180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG＝90°， ∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD， ∴12α＝3α+90°， ∴α＝10°， ∴∠P＝5α＝50°， 故答案为：50． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系． 【题型四】全等三角形证明中辅助线的添加技巧 核心技巧 遇线段中点可连中线、遇角平分线可作垂线、遇线段相等可构造全等三角形。 【例4】（2024秋•茌平区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 　（﹣6，3）　 ． 【分析】证明△AEC≌△CFB（AAS），得CF＝AE＝3，BF＝CE＝5，则求出OE，即可得出结论． 【解答】解：如图，过A作AE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于点F， ∵点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5）， ∴OC＝1，OF＝2，BF＝5， ∴CF＝OC+OF＝1+2＝3， ∵∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠CBF＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF， ∵∠AEC＝∠BFC＝90°，AC＝BC， ∴△AEC≌△CFB（AAS）， ∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝5， ∴OE＝CE+OC＝6， ∴点A的坐标为（﹣6，3），故答案为：（﹣6，3）． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4—1】（2024秋•西华县期末）如图，已知点P（2m﹣3，5m﹣4）在第二象限角平分线OC上，∠BPA＝90°，∠BPA两边与x轴，y轴分别交于A点，B点，则OA+OB的值为 　2　 ． 【分析】根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明△PDA≌△PEB，利用全等三角的性质即可解答． 【解答】解：∵点P（2m﹣3，5m﹣4）在第二象限角平分线OC上， ∴2m﹣3+（5m﹣4）＝0， 解得m＝1， ∴P（﹣1，1）， 如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E， 则∠PDA＝∠PEB＝90°，∵∠EOD＝90°， ∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°， ∵∠BPA＝∠BPD+∠DPA＝90°， ∴∠EPB＝∠DPA， ∵P（﹣1，1），∴PE＝PD＝OD＝OE＝1，在△PDA和△PEB中， ， ∴△PDA≌△PEB（ASA）， ∴DA＝BE， ∴OA+OB＝OD+DA+OB ＝OD+BE+OB ＝OD+OE ＝1+1 ＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线上的点的坐标特征及构造两个三角形全等是解题的关键． 【变式4—2】（2023秋•成都期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（0，1），C（﹣4，0），点D在y轴右侧，若以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 　（4，4）或（4，0）　 ． 【分析】分两种情况，△ABD≌△ABC时，得到BD＝BC，由HL推出Rt△BOC≌△RtBOD，得到OD＝OC＝4，得到D的坐标是（4，0），当△ABD′≌△BAC时，过D′作D′H⊥y轴于H，由△DAB≌△D′BA，得到△DAB的面积＝△D′BA的面积，推出D′H＝OD＝4，判定Rt△DOB≌Rt△D′AH（HL），得到AH＝OB＝1，求出OH＝AH+AO＝1+3＝4，即可得到D′的坐标是（4，4），即可得到点D的坐标． 【解答】解：如图，△ABD≌△ABC，△ABD′≌△BAC， ∴BD＝BC，△DAB≌△D′BA， ∵∠BOC＝∠BOD＝90°，BO＝BO， ∴△BOC≌△BOD（HL）， ∴OD＝OC， ∵C的坐标是（﹣4，0），∴OC＝4， ∴OD＝4， ∴D的坐标是（4，0）， 过D′作D′H⊥y轴于H， ∵△DAB≌△D′BA， ∴△DAB的面积＝△D′BA的面积，DB＝D′A， ∴AB•ODAB•D′H， ∴D′H＝OD＝4， ∵DB＝D′A， ∴Rt△DOB≌Rt△D′AH（HL）， ∴AH＝OB， ∵B的坐标是（0，1）， ∴OB＝1， ∴AH＝1， ∵A的坐标是（0，3）， ∴AO＝3， ∴OH＝AH+AO＝1+3＝4， ∴D′的坐标是（4，4）， ∴点D的坐标为（4，4）或（4，0）．故答案为：（4，4）或（4，0）． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，关键是要分两种情况讨论． 【题型五】三角形中位线的解题技巧 核心技巧 遇中点连线优先考虑中位线定理，利用中位线平行且半长的性质转化线段关系。 【例5】（2025秋•海州区期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点．若AC＝10，则EF的长为　5　 ． 【分析】连接AE，根据三线合一得出△AEC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解． 【解答】解：连接AE， ∵AD＝AB，∴△ABD是等腰三角形， ∵E是BD的中点， ∴AE⊥BD， 即△AEC是直角三角形， ∵F是AC的中点， ∴， 故答案为：5． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【变式5—1】（2024秋•雁江区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝10，AC＝6，则DE的长为 　2　 ． 【分析】首先延长BE、AC交于点F，可证△ABE≌△AFE，根据全等三角形的性质可证AB＝AF＝10，BE＝FE，从而可得CF＝4，又根据点D是BC的中点，可证DE是△BFC的中位线，根据中位线的性质可得DE的长度． 【解答】解：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，延长BE、AC交于点F， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， 在△ABE和△AFE中，， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴AB＝AF＝10，BE＝FE， ∵AB＝10，AC＝6， ∴AF＝10， ∴CF＝AF﹣AC＝10﹣6＝4， ∵点D是BC的中点， ∴DE是△BFC的中位线， ∴．故答案为：2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【变式5—2】（2024秋•新余期末）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求DM的长． 【分析】由于DM无法直接求出，因此可通过构建三角形来得出与DM相关联的线段，延长BD交AC于E．AD是∠BAC的平分线，那么∠BAD＝∠CAD，AD⊥BE，又有一条公共边，那么△ABD和△ADE全等．那么AB＝AE，BD＝DE，又有BM＝MC，那么DM是三角形BCE的中位线，那么DMCE，又因为CE＝AC﹣AE＝AC﹣AB＝6，因此DM＝3． 【解答】解：延长BD交AC于E ∵BD⊥AD ∴∠ADB＝∠ADE＝90° ∵AD是∠A的平分线 ∴∠BAD＝∠EAD 在△ABD与△AED中 ∴△ABD≌△AED（ASA） ∴BD＝ED，AE＝AB＝12， ∴EC＝AC﹣AE＝18﹣12＝6， ∵M是BC的中点 ∴DMEC6＝3． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定．利用全等三角形来得出线段相等是解决此类问题的关键． 学科网（北京）股份有限公1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形与全等三角形（5知识&7题型&3易错&5方法清单） 【清单01】三角形的概念与分类 核心定义 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形，记作，三条边为、、，三个内角为、、。 常见分类标准 按边的关系分； 按角的大小分； 【清单02】三角形的性质与重要线段 基本性质 内角和定理：三角形三个内角的和等于，即； 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角； 三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边（若三边为、、，则）； 稳定性：三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 重要线段 高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段（锐角三角形三条高在内部，直角三角形两条高为直角边，钝角三角形两条高在外部） 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段（三角形三条中线交于一点，该点为重心，重心分中线为的两段） 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点和交点之间的线段（三角形三条角平分线交于一点，该点为内心，内心到三边距离相等） 中位线 连接三角形两边中点的线段（中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若是的中位线，则，） 【清单03】全等三角形的概念与判定定理 核心定义全等三角形：能够完全重合的两个三角形，重合的顶点为对应顶点，重合的边为对应边，重合的角为对应角。 判定定理 ；。 【清单04】全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线分别相等； 全等三角形的周长相等，面积相等。 【清单05】三角形与全等三角形的实际应用 . 【题型一】三角形的概念与分类 【例1】（2025秋•新市区期中）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示不等边三角形．则下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025秋•龙湖区期中）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【变式1-2】（2025秋•南沙区期中）小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】三角形的性质（内角和、外角、三边关系） 【例2】（2025秋•天长市期中）中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．明明准备制作一个三角形的风筝，搭风筝骨架时，他已经准备了两条竹篾（miè），长度分别是4分米，9分米，则第三条竹篾的长度可以是（　　） A．3分米 B．5分米 C．10分米 D．13分米 【变式2-1】（2025秋•花都区期中）如图，△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠BDC＝110°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．110° C．60° D．75° 【变式2-2】（2025秋•武昌区期中）如图，∠A＝70°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E＝（　　） A．30° B．40° C．60° D．70° 【题型三】三角形的重要线段 【例3】（2025秋•合肥期中）如图，AD、CE是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是12，则△EDC的面积是（　　） A．7.5 B．5 C．3 D．2.5 【变式3-1】（2025秋•西宁期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝70°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式3-2】（2025秋•淮上区期中）在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B＝64°，∠DAE＝10°，则∠C的度数是（　　） A．36° B．42° C．44° D．54° 【题型四】全等三角形的判定 【例4】（2025秋•工业园区期中）如图，已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADC，不能添加的条件是（　　） A．CA平分∠DCB B．AC平分∠DAB C．∠B＝∠D＝90° D．BC＝CD 【变式4-1】（2024秋•滨城区期末）小明在学完《全等三角形》这章后，自己进行小结．如图，他的画图过程说明（　　） A．两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 B．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【变式4-2】（2025秋•大同期中）△ABC的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC不全等的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．都不全等 【题型五】全等三角形的性质应用 【例5】（2025秋•德惠市期中）如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠EAC＝90°，AB＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．3 C． D．9 【变式5-1】（2025秋•珠海期中）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，DB＝5，AE＝12，则BC的长为（　　） A．7 B．5 C．12 D．6 【变式5-2】（2025秋•藁城区期中）三个全等三角形按如图的形式摆放，若∠3＝20°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．150° B．160° C．180° D．200° 【题型六】全等三角形的证明与计算 【例6】（2024秋•蜀山区期末）求证：两个全等三角形对应边上的中线相等． 【变式6-1】（2024秋•莆田期中）求证：全等三角形对应边上的高相等．（要求画图，写已知、求证、然后证明） 【变式6-2】（2025•澄迈县模拟）如图，AE∥BC且AE＝AC，∠EFA＝∠ABC． （1）求证：△ABC≌△EFA； （2）若BC＝2，AE＝6，求FC的长度． 【题型七】三角形与全等三角形的实际应用 【例7】（（2024秋•安顺期末）如图，数学实践活动小组为了测量一幢楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P（点D，P，B在一直线上），测得PC与地面的夹角∠DPC＝18°，PA与地面的夹角∠APB＝72°，点P到楼底的距离PB为9m，旗杆CD的高度为9m．若旗杆CD与楼AB之间的距离BD为36m，请你计算楼AB的高． 【变式7-1】（2025秋•徐州期中）如图，小明为测量花瓶内部长度，设计这样的方案：将两根长度不等的木条AC、BD的中点连在一起，记中点为O．测得C、D两点之间的距离后，可得花瓶内壁上A、B两点之间的距离，即AB＝DC．请证明：AB＝DC． 【变式7-2】（2025秋•惠州期中）小明和爸妈在周末去滨江公园游乐场乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离BD＝10m，小明在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，AC⊥BD于点C，此时点C到地面的距离CD＝7m，当船头从A处摆动到A′处时，AB⊥A′B，求点A′到BD的距离． 【题型一】忽略三角形三边关系致错 【例1】（2024秋•烟台期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝的大小，其中相邻两螺丝的距离依次为1、2、4、5，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（　　） A．5 B．6 C．9 D．12 【变式1-1】（2025•衡水模拟）将周长为12cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025秋•香洲区期中）如图，点P为△ABC内一点，△ABC的周长为12，BC＝5，则PB+PC的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型二】全等三角形判定定理误用致错 【例2】（2025秋•潮州期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝DC；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC．其中能使△ABC≌△DCB的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2024秋•唐县期末）在△ABC与△DFE中，∠B＝∠F，AB＝DF，添加下列条件后，仍不能得到△ABC≌△DFE的是（　　） A．BC＝EF B．BE＝CF C．AC＝DE D．∠A＝∠D 【变式2-2】（2025秋•北京期中）在平面直角坐标系中，A（0，5），B（5，0），C（﹣2，0），BD⊥AC于点D，交y轴于点E，连接OD．下列结论中正确的有（　　） ①AO＝BO，②E（0，2），③△ACO≌△BCD，④DO平分∠CDB． A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【题型三】三角形外角性质理解错误致错 【例3】（2025秋•蓬江区期中）如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是　　 ． 【变式3-1】（2025秋•和平区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝108°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD＝36°，连接DE，则∠CED的大小＝　　 （度）． 【变式3-2】（2025秋•荔湾区期中）如图，在△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝24°，则∠BAC＝　　 ． 【题型一】三角形三边关系的应用方法 核心技巧 已知两边求第三边范围：；等腰三角形需分情况讨论，再验证三边关系。 【例1】（2025春•海淀区期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 　　 ． 【变式1—1】（2025秋•桦南县期中）已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，若△ABC的周长为奇数，则边长c的值为　　 ． 【变式1—2】（2025秋•扬州月考）若△ABC的两边分别为4，8，且△ABC为等腰三角形，则△ABC的周长为　　 ． 【题型二】全等三角形判定的选定理技巧 核心技巧 先找已知的边/角条件，再匹配判定定理：有三边找SSS；有两边找夹角（SAS）；有两角找夹边（ASA）或一角对边（AAS）；直角三角形优先HL。 【例2】（2025秋•济宁期中）如图，AB＝AC，请你再补充一个条件　 ，使得△ABE≌△ACD．（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母） 【变式2—1】（2024秋•临洮县期末）如图，AB＝DB，∠1＝∠2，要使△ABC≌△DBE还需添加一个条件是 　　 ．（只需写出一种情况） 【变式2—2】（2025秋•惠州期中）如图，已知AB⊥AC，BD⊥CD，根据“HL”判定△ABC≌△DCB，还需添加的条件是 ． 【题型三】三角形内角和与外角的转化技巧 核心技巧 求角度时，利用内角和，外角等于不相邻两内角和，进行角度代换和计算。 【例3】（2025秋•武昌区期中）如图，∠CGE＝150°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　300°　 ． 【变式3—1】（2025秋•赵县期中）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A＝70°，∠BCD＝120°，若要使∠ABC，∠ADC的平分线相交构成的角∠BED 的度数为100°，则可保持∠A不变，将∠BCD增大　　 °． 【变式3—2】（2025春•东坡区期中）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为 　　 °． 【题型四】全等三角形证明中辅助线的添加技巧 核心技巧 遇线段中点可连中线、遇角平分线可作垂线、遇线段相等可构造全等三角形。 【例4】（2024秋•茌平区期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（2，5），则A点的坐标是 　　 ． 【变式4—1】（2024秋•西华县期末）如图，已知点P（2m﹣3，5m﹣4）在第二象限角平分线OC上，∠BPA＝90°，∠BPA两边与x轴，y轴分别交于A点，B点，则OA+OB的值为 　　 ． 【变式4—2】（2023秋•成都期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（0，1），C（﹣4，0），点D在y轴右侧，若以A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为 　　 ． 【题型五】三角形中位线的解题技巧 核心技巧 遇中点连线优先考虑中位线定理，利用中位线平行且半长的性质转化线段关系。 【例5】（2025秋•海州区期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点．若AC＝10，则EF的长为　　 ． 【变式5—1】（2024秋•雁江区期末）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝10，AC＝6，则DE的长为 　　 ． 【变式5—2】（2024秋•新余期末）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC＝18，求DM的长． 学科网（北京）股份有限公2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $