第1章 等差数列（知识清单）-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了等差数列知识体系。从概念（定义、等差中项、单调性）出发，明确通项公式与前n项和公式，进而掌握常用性质（下标和、片段和等）及前n项和最值问题，构建完整学习支架。 知识链路按“概念-公式-性质-应用”逻辑递进，每个要点配填空式梳理与易错点专项真题训练。通过思维导图固基础、真题案例练思维，培养学生用数学眼光发现规律、用数学思维推理论证的能力，助力知识内化与应用。

等差数列知识清单 思维导图-固基础 教材要点精析-夯重点 清单 01 等差数列的概念 1. 定义： 一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____都等于________，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，通常用字母___表示。 符号语言：________________(n)，d为常数。 2 等差中项：若a，A，b成等差数列，则___叫做a与b的等差中项，关系式：________。 3 单调性： (1)d>0⇒数列________； (2)d=0⇒数列________； (3)d<0⇒数列________ 清单 02 等差数列的公式 1. 通项公式：若等差数列{}首项，公差d，则通项=________________；推广式:________(m,n )。 结构特征：是关于n的____次函数. 2. 前n项和公式： ①已知首项与末项：； ②已知首项与公差：. 结构特征：d时，是关于n的____次函数，常数项为 0。 清单 03 等差数列常用性质（{}为等差数列，为前n项和） 1. 下标和性质：若m+n=p+q(m,n,p,q )，则____________；特别，若m+n=2k，则____________。 2. 片段和性质：，________，____仍然成等差数列，新数列公差为。 3. 奇偶项性质： (1) 若项数为2n，则；； (2) 若项数为2n-1， =(2n-1)； =____；. 4. 判定结论： ①定义法：=d(常数) ⇒{}等差； ②中项法： (n) ⇒{}等差； ③通项公式法：（k,b常数）⇒{}等差； ④前n项和法：（A,B为常数）⇒{}等差。 清单 04 等差数列前n项和最值 1. 若d<0\)，>0，存在最___值；取最值条件：，解出正整数n. 2. 若d>0，<0，存在最___值；取最值条件：，解出正整数n. 【常用结论】 1. 若{}是等差数列，则数列{k} (k,b为常数）也是________； 2.“数列{}为等差数列” 是 “” 的________条件； 3. 等差数列前n项和求最值时，不能仅依赖二次函数对称轴，必须结合________取正整数。 易错点专项真题训练 易错点 1 等差数列定义与等差中项 例 1. (2024・湖南衡阳高二期末) 下列数列一定是等差数列的是（ ） A. 1，3，5，7，11 B. 2，2，2，2 B. C.a,2a,3a,4a D. 1，,0, 例 2. (多选) 下列说法正确的是（ ） A. 若2b=a+c，则a,b,c成等差数列 B. 等差数列公差可以等于 0 C. 若a,b,c成等差数列，则b是a,c的等差中项 D. 数列满足,则{}一定是等差数列 例 3. (2025・湖北荆州高二期中) 已知3，m，15成等差数列，则m=________. 例 4. (2024・江苏苏州高二期末) 已知数列{}满足3. (1) 求证{}为等差数列；(2) 求 易错点 2 等差数列基本量运算 例 1. (2023・江西南昌高二联考) 在等差数列{}中，已知=4，=13，求公差d与通项公式. 例 2. (2024・广东佛山高二统考・多选) 已知等差数列{}，=2，d=-3，下列正确的是（ ） A. =-7 B. 数列是递减数列 C. =2 D.=3n-5 例 3. (2025・四川绵阳高二期末) 在等差数列{}中，=5， =13，求. 例 4. (2023・河北保定高二联考) 已知等差数列{}，=11， =64，求，d. 易错点 3 等差数列前 n 项和公式 例 1. (2024・湖南长沙高二联考) 记为等差数列前n项和，=-2，d=2，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 例 2. (2025・福建龙岩高二期中) 已知等差数列{}，=45，则=______. 例 3. (2023・重庆高二期末) 已知是等差数列{}前n项和，=9，=36，求. 例 4. (2024・辽宁大连高二统考) 已知等差数列{}，=5，d=-2. (1) 求表达式；(2) 求使得>0的最大正整数n。 易错点 4 等差数列性质应用 例 1. (2025・安徽合肥高二联考) 在等差数列{}中，若+=12，则=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 例 2. (2024・浙江金华高二期末・多选) 已知{}是等差数列，为前n项和，则下列说法正确的是（ ） A. ，，成等差数列 B. 若m+n=p+q，则+=+ C. 若=，则++=0 D. 若d>0，则一定存在最大值 例 3. (2023・湖南岳阳高二期末) 等差数列{}， =78，求. 例 4. (2025・山东潍坊高二期中) 已知等差数列{}共有2n1项，=27，求中间项. 易错点 5 等差数列前 n 项和的最值问题 例 1. (2024・河南洛阳高二统考) 等差数列{}，=20，公差d=-2，则取最大值时，n=（ ） A. 10 B. 11 C. 10 或 11 D. 12 例 2. (2023・广西桂林高二期末) 已知等差数列{}中，>0，<0，则下面正确的是（ ） A.最大 B.最大 C. >0 D. <0 例 3. (2025・湖北宜昌高二联考) 等差数列{}，=18，d=3，求最小值及对应的n。 易错点 6 等差数列与充分必要条件、全称量词 例 1. (2024・四川南充高二期末)“d=0” 是 “等差数列{}为常数列” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例 2. (2023・福建三明高二联考) 命题：等差数列{}，若公差d>0，数列递增.该命题的否定：____________________________________。 例 3. (2025・江苏泰州高二期中) 已知p：数列{}前n项和；q：数列{}是等差数列.判断p是q的什么条件，并说明理由。 综合真题训练 一、单项选择题 1. (2024・湖南衡阳高二期末) 已知等差数列{}中，=4，=12，则=（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. (2023・山东济宁高二统考) 等差数列{}，为前n项和，若=54，则=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. (2025・湖北荆州高二期中) 已知等差数列{}满足>0，d<0，=，则（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 最大 4. (2024・江苏苏州高二期末)“” 是 “数列{}为等差数列” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. (2023・江西南昌高二联考) 在等差数列{}中，++=18，则=（ ） A. 21 B. 35 C. 42 D. 49 二、多项选择题 6. (2024・广东佛山高二统考) 已知{}是等差数列，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若d>0，数列{}递增 B.仍然是等差数列（k常数） C. 若+=+，一定有m+n=p+q D. ,-,-成等差数列 7. (2025・四川绵阳高二期末真题) 设等差数列{}前n项和，=10，d=-3，下列说法正确的是（ ） A. =1 B. =-2 C.为最大值 D.> 三、填空题 8. (2023・河北保定高二联考) 若5，x，11成等差数列，则x=________. 9. (2024・湖南长沙高二联考) 等差数列{}，+=16，则=________. 四、解答题 10. (2025・福建龙岩高二期中) 已知{}为等差数列，=5，=28. (1) 求数列{}通项公式； (2) 判断 22 是否为数列中的项。 11. (2023・重庆高二期末) 已知等差数列{}，是前n项和，已知=‑5，d=4. (1) 求；(2) 求使得>80的最小正整数n。 12. (2024・辽宁大连高二统考) 已知命题p：{}是等差数列；命题q：=‑n. (1) 若p为真，求证q可以成立； (2) 判断 “p是q的充分不必要条件” 的真假，并说明理由。 13. (2025・安徽合肥高二联考) 某工厂生产零件，第 1 月生产零件 120 个，每个月比上个月多生产 15 个。 (1) 写出每月产量构成的数列的通项公式； (2) 求前 10 个月一共生产多少零件。 参考答案与解析 学科网（北京）股份有限公司 $