1.3.2 等比数列与指数函数学案-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

1.3.2　等比数列与指数函数 【学习目标】 1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.(逻辑推理) 2.理解等比数列与指数函数之间的联系.(数学建模) 3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.(数学运算) 4.熟练掌握等比数列的判定方法.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 1.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,当a1与q分别满足什么条件时,{an}是递增数列、递减数列? 2.如果数列{an}是各项都为正数的等比数列,那么数列{lg an}也是等比数列吗? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列. (　　) (2)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等比数列. (　　) 2.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.1 C. D. 3.在公比为q的等比数列{an}中依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　). A.公比为q的等比数列 B.公比为q2的等比数列 C.公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列 4.已知等比数列{an}的公比为q,首项a1>0,则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【合作探究】 探究1：等比数列与指数函数的关系 情境设置 　　已知在等比数列{an}中,a2=3,a5=. 问题1:求数列{an}的通项公式. 问题2:画出数列{an}的图象. 问题3:判断数列{an}的单调性. 新知生成 1.等比数列{an}的图象 由指数函数y=qx的图象可以得出y=cqx(c为常数)的图象,而y=cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n,an)组成等比数列{an}的图象. 值得指出的是,当等比数列的公比q=1时,等比数列的各项都为常数a1,其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点. 2.等比数列的单调性 当q>1时, 若a1>0,则等比数列{an}是递增数列; 若a1<0,则等比数列{an}是递减数列. 当q=1时,等比数列{an}是非零的常数列. 当0<q<1时, 若a1>0,则等比数列{an}是递减数列; 若a1<0,则等比数列{an}是递增数列. 当q<0时,等比数列{an}是摆动数列. 新知运用 例1　已知等比数列{an}是递增数列,若a5-a1=60,a4-a2=24,则公比q为(　　). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C.或-2 D.2或 【方法总结】涉及求公比的问题,先由已知条件得出关于实数q的等式,解出q的值,进一步求出a1的值和数列{an}的通项公式,最后对数列{an}的单调性进行验证,由此可得出结果. 巩固训练 　　已知数列{an}满足:①∀n∈N+,an+1>an;②∀n∈N+,an+1=tan(t为常数);③∃M>0,使得an<M恒成立.则满足上述条件的一个数列{an}的通项公式为an=　　　　.  探究2：等比数列的判定与证明 情境设置 　　问题1:利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么? 问题2:在数列{an}中,若an+1=2an,则数列{an}是等比数列吗? 问题3:若数列{an}是公比为q的等比数列,则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1,q为非零常数,n∈N+).反之,能说明数列{an}是等比数列吗? 问题4:如何证明数列{an+1}是等比数列? 新知生成 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N+,q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),则数列{an}为等比数列. (4)构造法:在条件中出现an+1=kan+b的关系时,往往构造数列,方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照,求出x即可. 新知运用 例2　已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=2an+n-4. (1)求a1的值; (2)若bn=an-1,试证明数列{bn}为等比数列. 【方法总结】证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法,注意不管用哪种方法判定等比数列都要先强调任意一项不等于零. 巩固训练 　　已知Sn是数列{an}的