第3章 圆锥曲线与方程（知识清单）数学湘教版选择性必修第一册

第3章 圆锥曲线与方程（知识清单） 标题 知识内容 生活中的圆锥曲线具象化 如图，设直线l，m相交于点S，夹角为锐角。直线m绕直线l旋转一周形成圆锥面，则S是圆锥面的顶点，l是圆锥面的轴，圆锥面上过点S的任意一条直线都是圆锥面的母线。用一个不经过点S的平面去截这个圆锥面，随着平面与轴所成角的不同，截线的形状也随之变化。 当，平面与轴垂直，截线是 当，截线是椭圆 当，截线是 当 , 截线是双曲线(上下两支) 椭圆 （1）定义：平面内与两个定点的距离 等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的 ，两焦点间的距离叫作椭圆的 ； （2）集合表示：； （3）概念与性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图像 定义方程 标准方程 统一方程 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为 ，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ a2＝b2＋c2 对称性 关于x、y轴对称，关于原点 离心率 越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆 ； 双曲线 （1）定义：平面上到两个定点的距离之差的 为正常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线的 ，两个焦点之间的距离叫作双曲线的 。 （2）集合表示：； （3）概念与性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图像 定义方程 标准方程 统一方程 mx2+ny2=1（mn＜0） 焦点坐标 F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) 对称性 关于x、y轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 A1(-a,0)，A2(a,0) A1(0,-b)，A2(0,b) 范围 x≥a或x≤-a，y∈R x∈R，y≥a或y≤-a 实轴、虚轴 实轴长为2a，虚轴长为2b 离心率 越大，越大，渐近线的斜率的绝对值越大，说明双曲线的开口越大 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令 ， 焦点到渐近线的距离为 共渐近线的双曲线方程 等轴双曲线 离心率两渐近线互相垂直，方程为方程可设为 抛物线 （1）定义：平面内与一个定点与一条定直线距离相等的点的轨迹叫作 。点叫作抛物线的 ，直线叫作抛物线的 。 （2）集合表示： 图象 标准方程 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦半径 抛物线上任意一点，焦点为，则： 顶点坐标 离心率 通径长 曲线与方程 研究的基本方法 1.在平面上建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点的坐标. 2.由于曲线通常可以看成是满足一定条件的点的轨迹(即曲线上任意一点都满足此条件，而所有满足此条件的点都在曲线上),于是将曲线上的点满足的几何条件转换成该点的坐标(x,y)满足的代数等式，得到该曲线的方程. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解， (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，此时，这个方程叫作 ，这条曲线叫作 . 3.确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质. 圆锥曲线的统一定义 任意给定常数、点和直线,设动点到的距离与到直线的距离之比等于,则的轨迹是圆锥曲线(不包括圆).其中是这条圆锥曲线的焦点，称为它的准线. 当时，的轨迹是 ； 当时，P的轨迹是 ； 当 时，P的轨迹是双曲线. 易错01 忽略定义中的限制条件 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数()。 若，轨迹为线段；若，轨迹不存在。 双曲线的定义：面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数()； 若无绝对值表示的只是双曲线的一支； 若的点的轨迹为以为顶点的射线；当定长()时，轨迹不存在。 抛物线的定义：平面内与一个定点与一条定直线距离相等的点的轨迹叫作抛物线。 若定点在定直线上，轨迹退化为过该点且垂直于定直线的直线。 同时在根据题目条件书写方程时应注意变量的范围，如斜率必须存在，双曲线的一支等。 例1．方程表示的曲线是（    ） A．两条平行线 B．一个直线和一条射线 C．两条射线 D．一条直线 例2．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 例3在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 变式1-2．动点为椭圆第一象限的点，且椭圆顶点的一点，为椭圆的左右焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．直线 变式1-3．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E,点E的轨迹方程为_________________ 易错02 焦点位置不确定导致漏解 在处理圆锥曲线问题时，焦点位置的不确定性通常是导致漏解现象的关键要素。例如，在椭圆与双曲线的标准方程中，焦点位置的不同会使方程形式存在差异。当给定圆锥曲线的相关条件，但未明确焦点位置时，若仅按照一种情形进行求解，极有可能忽略其他潜在的解。 以椭圆为例，其标准方程具有焦点位于x轴上的形式以及焦点位于y轴上的形式 。不明确焦点位置则应该用统一方程。若题目仅给出椭圆的部分性质，如离心率、某点坐标等，而未明确焦点位置，则需分别针对这两种情形展开探讨。就双曲线而言，其标准方程包含焦点在x轴上的）和焦点在y轴上的。不明确焦点位置则应该用统一方程。 同样，当焦点位置不明确时，不能主观认定焦点位于某一坐标轴上，而应全面考虑各种可能性，分别列出方程并求解，这样才能避免因焦点位置不确定而产生的漏解问题。 例1．若双曲线的焦距为，则等于 A．或 B． C． D． 例2．求经过两点(2，)，椭圆的标准方程。 变式2-1．已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 变式2-2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 易错03 椭圆与双曲线标准方程中混淆： 双曲线中关系为c²=a²+b²，与椭圆c²=a²-b²混淆。在解题进程中，若无法精准区分这两种不同的关系，则易引发错误。例如，在求解双曲线的相关参数时，若错误运用椭圆的c²=a²-b²关系，将致使计算所得的值出现偏差，进而对双曲线的渐近线方程、离心率等关键信息的求解产生影响。在椭圆与双曲线共同出现的问题中，参数之间的关系更应该尤为注意。 例1．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 例2．若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（    ） A． B． C． D． 例3．若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则 A． B． C． D． 变式3-1．3．椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 变式3-2记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 变式3-3．（多选）．已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 易错04 长度和差最值转换问题： 在圆锥曲线长度和差最值问题中，若用代数式表示最值往往比较复杂，这时将题目中的线段转化至焦点相关最值，利用几何方法进行解题会极大的简化题目运算量。 例如，在椭圆中，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为定值。当遇到求椭圆上一点到某一定点与到椭圆一焦点距离之和的最小值问题时，可利用椭圆定义将其转化为到椭圆另一焦点距离的问题。在双曲线中，同样可利用双曲线的定义进行线段的转化。若求抛物线上一点到某一定点与到抛物线准线距离之和的最小值问题，可根据抛物线定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，进而利用几何方法求解。 例1．已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2（多选）．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则周长的最小值为 变式4-1．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 变式4-2．已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 易错05 直线与曲线的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离． 也需要注意题目中几何条件的应用，如在椭圆中，直线过椭圆内一点，则直线必定为相交关系。直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点:如果直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点. 例1．若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 例2．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 例3．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 变式5-1．（多选）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 易错06 点差法解决中点弦问题时忽略直线的成立条件 设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 需要注意的时用点差法求直线方程时，前提默认了直线与曲线相交，而在实际情况中，存在不相交的可能，所以在求出直线方程后，应利用判别式判断直线与曲线是否存在交点。 例1．过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为 ． 例2．已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 例3．如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．    (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点． 变式6-1已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 变式6-2（多选）．设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为4，则的取值范围是 A． B． C． D． 2．若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 4．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 7．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 8（多选）．已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（   ） A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线ON的斜率的最大值为 9（多选）．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆 D．若，则曲线的离心率为 10．已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为10 C．的最小值为5 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 2、 填空题 11．若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是 12．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 13．过双曲线的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有 条． 14．在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上， 15．若常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则实数a的值为 ． 16．“”是“方程表示的曲线为抛物线”的 条件. 三、解答题 17．已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 18．已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M. （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求使得的值最小时点M的坐标. 19．已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 20．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心的轨迹方程； (2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 21．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆锥曲线与方程（知识清单） 标题 知识内容 生活中的圆锥曲线具象化 如图，设直线l，m相交于点S，夹角为锐角。直线m绕直线l旋转一周形成圆锥面，则S是圆锥面的顶点，l是圆锥面的轴，圆锥面上过点S的任意一条直线都是圆锥面的母线。用一个不经过点S的平面去截这个圆锥面，随着平面与轴所成角的不同，截线的形状也随之变化。 当，平面与轴垂直，截线是圆 当，截线是椭圆 当，截线是抛物线 当 , 截线是双曲线(上下两支) 椭圆 （1）定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.； （2）集合表示：； （3）概念与性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图像 定义方程 标准方程 统一方程 范围 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a2＝b2＋c2 对称性 关于x、y轴对称，关于原点中心对称 离心率 越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越圆； 双曲线 （1）定义：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为正常数(小于)的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距。 （2）集合表示：； （3）概念与性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图像 定义方程 标准方程 统一方程 mx2+ny2=1（mn＜0） 焦点坐标 F1(-c,0)，F2(c,0) F1(0,-c)，F2(0,c) 对称性 关于x、y轴对称，关于原点中心对称 顶点坐标 A1(-a,0)，A2(a,0) A1(0,-b)，A2(0,b) 范围 x≥a或x≤-a，y∈R x∈R，y≥a或y≤-a 实轴、虚轴 实轴长为2a，虚轴长为2b 离心率 越大，越大，渐近线的斜率的绝对值越大，说明双曲线的开口越大 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共渐近线的双曲线方程 等轴双曲线 离心率两渐近线互相垂直，方程为方程可设为 抛物线 （1）定义：平面内与一个定点与一条定直线距离相等的点的轨迹叫作抛物线。点叫作抛物线的焦点，直线叫作抛物线的准线。 （2）集合表示： 图象 标准方程 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦半径 抛物线上任意一点，焦点为，则： 顶点坐标 离心率 通径长 曲线与方程 研究的基本方法 1.在平面上建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点的坐标. 2.由于曲线通常可以看成是满足一定条件的点的轨迹(即曲线上任意一点都满足此条件，而所有满足此条件的点都在曲线上),于是将曲线上的点满足的几何条件转换成该点的坐标(x,y)满足的代数等式，得到该曲线的方程. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解， (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线. 3.确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质. 圆锥曲线的统一定义 任意给定常数、点和直线,设动点到的距离与到直线的距离之比等于,则的轨迹是圆锥曲线(不包括圆).其中是这条圆锥曲线的焦点，称为它的准线. 当时，的轨迹是椭圆； 当时，P的轨迹是抛物线； 当时，P的轨迹是双曲线. 易错01 忽略定义中的限制条件 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数()。 若，轨迹为线段；若，轨迹不存在。 双曲线的定义：面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数()； 若无绝对值表示的只是双曲线的一支； 若的点的轨迹为以为顶点的射线；当定长()时，轨迹不存在。 抛物线的定义：平面内与一个定点与一条定直线距离相等的点的轨迹叫作抛物线。 若定点在定直线上，轨迹退化为过该点且垂直于定直线的直线。 同时在根据题目条件书写方程时应注意变量的范围，如斜率必须存在，双曲线的一支等。 例1．方程表示的曲线是（    ） A．两条平行线 B．一个直线和一条射线 C．两条射线 D．一条直线 【答案】D 【解析】分别考虑与的关系，由此确定出曲线的形状. 【详解】因为 ，所以或， 此时无解，所以曲线表示一条直线：， 故选：D. 例2．到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【分析】由题意直接得轨迹为两条射线． 【详解】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6， 而|F1F2|＝6， ∴满足条件的点的轨迹为两条射线． 故选B． 例3在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B．． 变式1-1．如果动点满足，则点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】D 【详解】方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3， 即， 所以点M的轨迹是线段． 故选：D 变式1-2．动点为椭圆第一象限的点，且椭圆顶点的一点，为椭圆的左右焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（    ） A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．直线 【答案】D 【分析】根据圆的切线长相等，结合椭圆的定义可得，从而得出点与点重合，进而得到答案. 【详解】如图，设切点分别为 . 由切线长相等，得. 由椭圆的定义，得， 即，也即，故点与点重合， 所以点的横坐标是，即点的轨迹是一条直线 (除去点). 故选：D. 变式1-3．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E,点E的轨迹方程为_________________ 【解析】因为|AD|=|AC|,EB//AC,所以∠EBD=∠ACD=∠ADC, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4,由椭圆的定义可知，点E的轨迹是以A(-1,0),B(1,0)为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左,右顶点除外）， 其方程为： 易错02 焦点位置不确定导致漏解 在处理圆锥曲线问题时，焦点位置的不确定性通常是导致漏解现象的关键要素。例如，在椭圆与双曲线的标准方程中，焦点位置的不同会使方程形式存在差异。当给定圆锥曲线的相关条件，但未明确焦点位置时，若仅按照一种情形进行求解，极有可能忽略其他潜在的解。 以椭圆为例，其标准方程具有焦点位于x轴上的形式以及焦点位于y轴上的形式 。不明确焦点位置则应该用统一方程。若题目仅给出椭圆的部分性质，如离心率、某点坐标等，而未明确焦点位置，则需分别针对这两种情形展开探讨。就双曲线而言，其标准方程包含焦点在x轴上的）和焦点在y轴上的。不明确焦点位置则应该用统一方程。 同样，当焦点位置不明确时，不能主观认定焦点位于某一坐标轴上，而应全面考虑各种可能性，分别列出方程并求解，这样才能避免因焦点位置不确定而产生的漏解问题。 例1．若双曲线的焦距为，则等于 A．或 B． C． D． 【答案】A 【详解】焦距为，则c2=4， 若焦点在x轴时，a2=3-m>0，b2=1-m>0，则c2=4-2m=4，解得m=0； 若然点在y轴时，a2=m-1>0，b2=m-3>0，则c2=2m-4=4，解得m=4， 综上可得：等于或 本题选择A选项. 例2．求经过两点(2，)，椭圆的标准方程。 【答案】（1）；【分析】（1）分类讨论焦点在x轴上、焦点在y轴上，将点坐标代入椭圆方程联立求解或者设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1，待定系数求解，即得解； 【详解】（1）方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)． 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为. 若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 (a>b>0)． 由已知条件得解得     则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为. 方法二　(待定系数法)设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 将两点(2，)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为 变式2-1．已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】又题意可知，，解得， 故的取值范围是． 故答案为： 变式2-2．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 【答案】当0＜m＜4，长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0,)； 当，椭圆的长轴长和短轴长分别是，4，焦点坐标为，顶点坐标为. 【分析】转化椭圆方程为，分0＜m＜4，两种情况讨论，结合e＝以及表示出，即得解 【详解】椭圆方程可化为. （1）当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2，焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0,)，B2(0，)． （2）当时，a＝，b＝2，c＝， ∴e＝， ∴m＝，∴b＝2，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是，4，焦点坐标为，顶点坐标为. 易错03 椭圆与双曲线标准方程中混淆： 双曲线中关系为c²=a²+b²，与椭圆c²=a²-b²混淆。在解题进程中，若无法精准区分这两种不同的关系，则易引发错误。例如，在求解双曲线的相关参数时，若错误运用椭圆的c²=a²-b²关系，将致使计算所得的值出现偏差，进而对双曲线的渐近线方程、离心率等关键信息的求解产生影响。在椭圆与双曲线共同出现的问题中，参数之间的关系更应该尤为注意。 例1．与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据椭圆的性质求出椭圆的焦点，然后根据双曲线和渐近线的相关性质确定双曲线的标准方程即可. 【详解】 因为曲线为椭圆，焦点在轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线， 可设所求双曲线为，化为标准方程：， 则，解得，所求双曲线为． 故选： 例2．若，则方程与所表示的曲线可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】即为直线，即为曲线，，再逐项判断即可． 【详解】即为直线，即为曲线，. 对于A选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示圆或椭圆，A选项错误； 对于B选项，由直线方程可知，，，则曲线，不存在，B选项错误； 对于C选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确； 对于D选项，由直线方程可知，，，则曲线，表示焦点在轴上的双曲线，D选项错误. 故选：C. 例3．若椭圆与双曲线有公共的焦点，，点是两条曲线的交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1，由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2，运用余弦定理和离心率公式，计算即可得e1的值． 【详解】解：不妨设P在第一象限， 再设PF1＝s，PF2＝t，由椭圆的定义可得s+t＝2a1， 由双曲线的定义可得s﹣t＝2a2， 解得s＝a1+a2，t＝a1﹣a2， 由∠F1PF2， 可得． ∴，由e1e2＝1，即， 得：，解得：（舍），或， 即． 故选B． 变式3-1．3．椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出椭圆离心率，即可得双曲线的离心率，再求出即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆的离心率为，则， 依题意，双曲线的离心率为，而， 于是得，解得：， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 变式3-2记椭圆：，双曲线：的离心率分别为，，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由椭圆和双曲线离心率计算公式即可求解. 【详解】由题意知，， 因为， 所以， 即，解得. 故选：B 变式3-3．（多选）．已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 易错04 长度和差最值转换问题： 在圆锥曲线长度和差最值问题中，若用代数式表示最值往往比较复杂，这时将题目中的线段转化至焦点相关最值，利用几何方法进行解题会极大的简化题目运算量。 例如，在椭圆中，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为定值。当遇到求椭圆上一点到某一定点与到椭圆一焦点距离之和的最小值问题时，可利用椭圆定义将其转化为到椭圆另一焦点距离的问题。在双曲线中，同样可利用双曲线的定义进行线段的转化。若求抛物线上一点到某一定点与到抛物线准线距离之和的最小值问题，可根据抛物线定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，进而利用几何方法求解。 例1．已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的性质结合抛物线的定义求解即可． 【详解】抛物线焦点，准线，设点到准线的距离为，点到准线的距离为 ． 故选：B 例2（多选）．已知抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且，直线过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（    ） A．若直线的斜率为，则 B．的最小值为 C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为，则点M的横坐标为 D．若点，则周长的最小值为 【答案】BC 【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN坐标联立进行求解当时，，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后进行判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合的周长为进而进行判断选项D即可． 【详解】解：由题意得点在抛物线C：上， 所以，解得，所以C：，则， 设直线：，与联立得， 设，，所以，， 所以， 当时，，故A项错误； ，则， 当且仅当，时等号成立， 故B项正确； 如图，过点M作准线的垂线，垂足为，交y轴于， 取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线， 垂足为，则，是梯形的中位线， 由抛物线的定义可得， 所以， 所以以MF为直径的圆与y轴相切， 所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为， 又D为MF的中点，所以点M的纵坐标为， 又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为， 故C项正确； 过G作GH垂直于准线，垂足为H， 所以的周长为， 当且仅当点M的坐标为时取等号， 故D项错误． 故选:BC． 变式4-1．已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【分析】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【详解】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是， 变式4-2．已知一动圆C与圆外切，与圆内切， (1)求动圆圆心C的轨迹方程. (2)设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得圆和的圆心坐标和半径，根据题意，得到，，进而得到，结合椭圆的定义，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，转化为,结合三角形边的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，与圆相内切，则，， 两式相加，可得 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以椭圆的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的方程为，可得左焦点，且， 又由椭圆的定义，可得，即， 所以, 如图所示，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 易错05 直线与曲线的位置关系 判断直线与椭圆的位置关系时，常将直线与椭圆的方程联立，消元后，得到一个一元二次方程，利用判别式求解：⇔直线与椭圆相交；⇔直线与椭圆相切；⇔直线与椭圆相离． 也需要注意题目中几何条件的应用，如在椭圆中，直线过椭圆内一点，则直线必定为相交关系。直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，但只有一个交点:如果直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，也只有一个交点. 例1．若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 例2．直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线恒过点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可， 即 ，解可得且， 故实数m的取值范围为. 故选：C． 例3．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的的所有取值为或， 故答案为：或. 变式5-1．（多选）若直线与抛物线只有1个公共点，则的焦点的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时，直线与只有一个公共点，满足题意，此时的坐标为； 当时，联立方程组，整理得， 由，解得或（舍去），此时对应的的坐标为. 故选：BC. 变式5-2．已知双曲线经过点，且其渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）结合题意可得：点在渐近线的上方， 双曲线要经过此点，则焦点在轴上，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，所以， 因为双曲线经过点，所以， 所以，解得，所以双曲线的标准方程为. （2）结合（1）问：联立，可得， 当时，即，此时与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意； 当时，即，要使直线与双曲线至少有一个交点， 则，解得或,且. 综上所述: 实数的取值范围为. 易错06 点差法解决中点弦问题时忽略直线的成立条件 设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 需要注意的时用点差法求直线方程时，前提默认了直线与曲线相交，而在实际情况中，存在不相交的可能，所以在求出直线方程后，应利用判别式判断直线与曲线是否存在交点。 例1．过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为 ． 【答案】/ 【详解】依题意，，所以直线的方程为， 由消去并整理得， 由弦AB的中点为，得，解得， 由可得上述关于的一元二次方程，    所以椭圆E的离心率为. 故答案为： 例2．已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【详解】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 例3．如图1、2，已知圆方程为，点．M是圆上动点，线段的垂直平分线交直线于点．    (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点是否存在一条直线，使得直线与曲线交于两点，且是线段中点． 【答案】(1) (2)不存在这样的直线 【详解】（1） 由中垂线性质知， 所以 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线 设此双曲线方程为，则 所以点的轨迹方程为． （2） 设可得 两式相减得 由题意，所以 直线方程为， 由，得 ∵．∴不存在这样的直线． 变式6-1已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 变式6-2（多选）．设是双曲线上的两点，下列四个点中，可以作为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】当直线的斜率不存在时，由双曲线的对称性，则中点的纵坐标为，不合题意； 斜率存在时，设且中点坐枟为，将A,B代入， 可得: ，两式相减可得：， 设直线的斜率存在，整理可得. 对于A，，直线， 化简可得，代入可得， 整理可得，显然方程无解，故A错误； 对于B，，直线， 化简可得，代入可得， ，， .由， ，故B正确； 对于C，，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故C正确； 对于，直线， 化简可得，代入可得， ，， ，， ，故D正确. 故选：BCD. 变式6-3．已知椭圆的一个顶点为，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在实数m，使直线与椭圆有两个不同的交点M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）椭圆的一个顶点为得 椭圆上任一点到两个焦点的距离之和得即 所以椭圆的方程为 （2）设直线l与椭圆C两个不同的交点 ∵ 所以，点A在线段的中垂线，下面求的方程 联立方程去y，可得 由，解得 设的中点为，有 则的方程为即 由于点A在直线的中垂线上，解得 又∵ 所以不存在实数m满足题意． 一、单选题 1．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的短轴长为4，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知：且，这样可以求出的取值范围. 【详解】依题意得， 且，故选A. 【点睛】本题考查了根据椭圆焦点的位置求参问题，考查了解不等式的能力. 2．若双曲线的两条渐近线与椭圆：的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正六边形的性质和椭圆的定义及离心率公式即可求解. 【详解】由题意知，双曲线的一条渐近线是，则它与椭圆在第一象限的交点记为A， 椭圆的左右焦点记为F1、F2，则根据正六边形的性质知是直角三角形，且 设，所以. 由椭圆的定义，得出， 所以椭圆的离心率． 故选:B． 3．如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断. 【详解】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 4．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分不存在与存在两种情况讨论，当存在时，将直线与方程联立，分析即得解 【详解】当直线的斜率不存在时，直线符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得． 当时，符合题意；当时，由，可得， 即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条． 故选：C 5．已知曲线C的方程为，则“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立， 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足， 即，，满足，即必要性成立， 即“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题. 6．如图，在同一平面内，A，B为两个不同的定点，圆A和圆B的半径都为r，射线AB交圆A于点P，过P作圆A的切线l，当r（）变化时，l与圆B的公共点的轨迹是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义得动点轨迹为抛物线． 【详解】设切线与圆的公共点，过作直线的垂线，过作，垂足为，连， 则， 所以，即动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，且定点不在定直线上， 根据抛物线定义知，动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选D． 7．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】先根据抛物线的定义将焦点弦长问题转化为中点到准线距离的两倍，进而用中点横坐标表示，设直线AB的方程为：(m为常数),与抛物线方程联立消去,得到关于y的一元二次方程，利用中点公式和韦达定理求得m的值，进而得到中点的横坐标，从而求得线段AB的长度. 【详解】抛物线的焦点坐标F(1,0),准线方程,     设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线，垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线，, ∵直线AB过抛物线的焦点F,∴可设直线AB的方程为：(m为常数), 代入抛物线的方程消去x并整理得：, 设A,B的纵坐标分别为,线段AB中点, 则,, ∴直线AB的方程为,, ， 故选：C. 8（多选）．已知抛物线的焦点为，准线过点，是抛物线上的动点，则（   ） A． B．当时，的最小值为 C．点到直线的距离的最小值为2 D．当时，直线ON的斜率的最大值为 【答案】ABD 【分析】对选项A，可根据抛物线的定义计算出的值判断其正确，对BCD选项，可根据抛物线的方程设抛物线上任意一点的坐标为，将几何问题转化为代数问题进行计算求解. 【详解】根据抛物线的定义，的准线为， 由题意准线过，可求出，抛物线的方程为，选项A正确； 对于选项B，C，D，可设抛物线上的点的动点为， 对于B选项，当时，； 当时， 当且仅当时，等号成立.选项B正确； 对于C选项，直线与抛物线的位置关系如下图所示：   到直线的距离， 当时，.选项C错误； 对于D选项，可根据向量共线作出示意图：    根据定义求出抛物线的焦点，由得， 当时，； 当时，， 当且仅当时，等号成立.选项D正确. 故选：ABD 9（多选）．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则曲线表示两条直线 B．若，则曲线是双曲线 C．若，则曲线是椭圆 D．若，则曲线的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据四种曲线的定义可得结果 【详解】A选项：由题意，曲线，若，则， 此时曲线，表示两条直线，A选项正确； B选项：若，又，则，曲线，可化为，此为双曲线方程，B选项正确； C选项：若，取，则曲线表示圆，C选项错误； D选项：若，又，所以，则为，则为等轴双曲线，其离心率为，D选项正确. 故选：ABD. 10．已知椭圆，左，右焦点分别为，，点是上的动点，点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．的最大值为10 C．的最小值为5 D．被点平分的弦所在直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆标准方程可得选项A正确；结合椭圆的定义转化求最值可得选项B正确，选项C错误；利用点差法可得选项D正确. 【详解】    A.由题意得，，，故椭圆的离心率，A正确. B.由A得，，∴. 由椭圆定义得，， ∴，B正确. C.，C错误. D.由可知点在椭圆内部，设过点的直线与椭圆相交于点，， ∴，两式相减，得， ∵弦被点平分，∴，， ∴，即直线的斜率为，D正确. 故选：ABD. 2、 填空题 11．若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】本题首先根据“方程表示焦点在x轴上的双曲线”可得出两分母的符号，然后通过计算即可得出m的范围． 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以，解得，故答案为． 12．在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设点， 由已知得，整理得， 所以点P的轨迹方程为． 故答案为：. 13．过双曲线的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有 条． 【答案】1 【解析】求得过右焦点的通径，得到交点都在右支上的弦长最小值，根据方程求得实轴长得到交点在两支上的弦长最小值，由此可以作出判定. 【详解】依题意得右焦点，所以过F且垂直x轴的直线是，代入，得，所以此时弦长为; 当不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两个交点，则弦长一定比长．因为两顶点间距离为， 即左右两支上的点的最短距离是， 所以如果交于两支的话，弦长不可能为，故只有一条． 故答案为：1. 14．在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上， 【答案】 【详解】由题意椭圆中． 故是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得 15．若常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则实数a的值为 ． 【答案】3或. 【详解】由椭圆，可得椭圆， 当时，表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，即， 当时，表示焦点在y轴上的椭圆， ∴，即， 综上，实数a的值为3或. 故答案为：3或. 16．“”是“方程表示的曲线为抛物线”的 条件. 【答案】充分不必要 【详解】由题意可知，若方程表示的曲线为抛物线，则. 所以“”是“方程表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件， 三、解答题 17．已知动点满足：(其中). （1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程； （2）当时，若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1）利用两点间的距离公式识别已知条件为M到定点的距离之和等于定值，结合椭圆的定义判定当时，M的轨迹为椭圆，并写出标准方程；当时，为线段,并写出方程；无轨迹. （2）根据椭圆的标准方程，利用点差法求得以为中点的直线的斜率，进而得到方程. 【详解】（1）当时，；当时，；当时无轨迹. （2）当时，轨迹的方程是：，设点则 作差得，除以得，代入中点坐标，则，直线的方程是. 【点睛】本题考查椭圆的定义与标准方程，中点弦问题，识别已知条件，转化为动点到两定点的距离之和等于定值是关键，求解中点弦问题是，利用代点平方差方法求斜率是常用的方法. 18．已知椭圆内有一点P(1，1)，F为右焦点，椭圆上的点M. （1）求的最大值； （2）求的最大值； （3）求使得的值最小时点M的坐标. 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1）利用数形结合，根据三点共线分析的最大值；（2）利用椭圆的定义转化，求的最大值；（3）利用椭圆的第二定义，转化，再利用数形结合分析得到最小值，以及取得最小值时的点的坐标. 【详解】（1），所以，即 当点三点不共线时，，如图当三点共线时，，即，所以的最大值是，    （2）设椭圆的左焦点，根据椭圆定义可知， 即，如图，当三点共线时，等号成立， ，所以的最大值是.    （3）椭圆的右准线，设椭圆上的点到右准线的距离为，因为，所以， ，如图，的最小值是点到直线的距离，即    所以的最小值是，此时点的纵坐标是1，代入椭圆方程可得，所以的值最小时点M的坐标 . 19．已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. 19．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切． (1)求圆心的轨迹方程； (2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1） ∵圆M与圆外切，且圆M与圆内切， ∴，， ∴， ∴点M的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， ∴点M的轨迹方程是； （2）法一：设被点平分的弦所在的直线方程为， 代入双曲线方， 得， ∴， 解得． 设弦的两端点为，， 则． ∵点是弦的中点， ∴，∴． 故双曲线上不存在被点平分的弦． 法二：设双曲线上存在被点B平分的弦，且点，， 则，， 且， 由①②得， ∴， ∴直线的方程为，即． 由消去y，得． 又，∴直线与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B平分的弦． 21．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题设可知，解得 则：． （2）设点M的横坐标为 当直线斜率不存在时，则直线： 易知点到轴的距离为﹔ 当直线斜率存在时，设：，，， 联立，整理得， ， 整理得 联立，整理得， 则，则，即 则，即 ∴此时点到轴的距离大于2； 综上所述，点到轴的最小距离为2． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $