第四章几何图形初步（6考点+8易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学第四章“几何图形初步”知识清单系统涵盖几何图形分类、点线面体关系、直线射线线段性质及角的定义、度量、余角补角等核心内容，搭建从概念认知到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“知识点表格对比+易错点分类解析”构建知识体系，如直线射线线段的定义、表示及特点用表格清晰呈现，8类易错点（如表示方法错误、点位置分类讨论漏解）配对点训练，培养学生几何直观与推理意识。实用设计助力学生自主梳理知识，教师可据此精准突破教学重难点。

第四章 几何图形初步 知识点一：几何图形： 我们周围的物体形态各异、多姿多彩.如果只研究它们的形状、大小和位置，而不涉及其他性质，就得到各种几何图形,．几何图形分为 _____ 和 ______ ． 1. 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是________ ． 2. .平面图形的概念 几何图形中，像直线、角、三角形、圆等，它们上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫作平面图形; 3.点、线、面、体： 体与体相交成 面 ，面与面相交成____ ，线与线相交成 ____ ．或点动成 ____ ，线动成____，面动成 体 ．点、线、面、体组成几何图形．其中点是最基本的图形 . 知识点二：直线、射线与线段： 名称 定义 图示 表示方法 特点 直线 可以朝两边无限延伸  的线叫做直线． ①一个小写字母表示：直线l②两个大写字母表示：直线AB ①无限延伸②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点． ①用一个小写字母表示：射线l②用含端点的两个大写字母表示：射线AB（端点必须在前） ①朝一端无限延伸②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较 线段 直线上两点及两点间的部分 ①用一个小写字母表示：线段a②用表示端点的两个大写字母表示：线段AB或线段BA ①无法延伸②两个端点 ③有长度，可度量，可比较 1：直线的基本性质： （1） 基本事实：   经过两点有1条直线且只有1条直线．简单说成两点确定一条直线．经过一点有无数条直线． （2）点与直线的位置关系： 如图，点B在直线m上或直线m过点B，点A不在直线m上或直线m不过点A． （3）两直线相交：   当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点． 2 线段与线段的性质 （1） 基本事实：两点之间的所有连线中线段最短 （2）线段中点 点C在线段AB上且 把一条线段分成两条相等的线段的点 叫作线段的中点 此时 或AB=2AC=2BC （3）两点之间的距离 ：两点之间线段的长度 叫作这两点之间的距离 知识点三：角： 名称 定义 图示 各部分名称 角 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 1.角的顶点：端点即为角的顶点．2.角的边：射线即为角的边． 动态定义：把一条射线沿着它的端点旋转而形成的图形． 特别提示：平角不是一条直线，而是两条射线在同一直线上． 周角不是一条射线，而是两条射线重合． 知识点四：角的表示方法： 名称 图示 表示方法 角 表示方法1：用表示顶点的大写字母表示．即∠O（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：用三个大写字母表示．即∠BOC等表示方法3：用希腊字母或阿拉伯数字表示．即∠1或∠β （这三种方法适用于任意角） 知识点五：角的度量与换算： 1.角的单位： 度：“°”；分：“”；秒：“” 把周角360份等分，平均一份就是1度，记作：1°，把1°角60份等分，其中一份就是1分，记作：1′，把1′角按60份等分，其中一份就是1秒，记作：1″． 2.角度的换算： 1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2直角，1直角＝90°．1°＝60′， 1′＝60″． 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足1′的部分化成秒． 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可． 3. 角的度量： （1）.测量方法： 把量角器的中心与角的顶点重合，其中一条0刻度线与角的其中一条边重合，另一条边所在刻度即为角的度数． 注意：一定要从重合的0刻度线开始读起． （2）.角的大小比较： 方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小． 方法2：度量法：直接用量角器度量比较． 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关． （3）.角的等分线： ①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成______的两个角的射线叫做这个角的平分线．如图： 若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线．反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB． ②角的三等分线：把角平均分成相等的三份． ③角的四等分线：把角平均分成相等的四份． 以此类推． （4）.角的和、差、倍、分与角的计算： 角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算． 知识点六：余角和补角： 1.定义： 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余．即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角． 如果两个角的和等于180°，则这两个角互补．即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角． 2.余角和补角的性质： 同角的余角相等．即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则∠1＝∠3． 同角的补角相等．即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则∠1＝∠3． 等角的余角相等．即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则∠3＝∠4． 等角的补角相等．即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则∠3＝∠4． 一个角的补角比这个角的余角大90°． 易错点1 直线 射线 线段表示方法类错误 易错提醒 这类错误常见错型主要有三类：第一类是射线的表示错误，射线表示规则要求将端点字母写在首位，很多同学会颠倒端点与射线上另一点的顺序，误将端点在A、经过点B的射线AB写成射线BA，而二者表示的是完全不同的两条射线，直接导致结果错误。第二类是线段、直线、射线三种图形的表示规则混淆，部分同学会错误地只用一个端点字母表示射线，或是未区分不同表示方法的应用场景，书写完全不符合几何规范要求。第三类是同一图中存在多条直线或多条线段时，未给不同图形标注不同字母，或是混淆不同字母对应的图形，导致整个解题过程指代混乱。 特别注意：绘制图形或书写图形名称时，要牢记三种图形的表示规则：射线必须将端点字母放在第一个位置，严格遵守顺序要求；表示任意图形都要保证指代清晰，不可混淆不同图形的表示要求，解题过程中图形标注要清晰明确，从根源上避免这类低级规范错误。 【对点训练】1．下列说法错误的是（    ） A．直线和直线表示同一条直线 B．射线和射线表示同一条射线 C．线段和线段表示同一条线段 D．延长线段和延长线段的含义不同 易错点2 直线 射线 线段计数类错误 易错提醒 常见错因主要分为两类：一是计数逻辑混乱，既没有按照固定顺序逐一排查，也没有熟练掌握计数规律，要么重复统计同一条图形，要么漏算符合条件的图形；二是概念理解不透彻，计数时混淆不同图形的定义限制，比如统计射线数量时，会错误地给每个端点都分配2条射线，忽略端点处于整条图形边界时，仅能向外延伸出1条有效射线，直接导致计数结果偏大。 特别注意：计数时要先明确不同图形的定义要求，再按照从左到右、从上到下的固定顺序逐一计数，避免重复和遗漏；若直线上共有n个端点，可直接用公式n(n-1)计算线段总数，计算射线数量时，先判断每个端点的延伸方向，再统计有效射线的数量，就能从根源上规避这类错误。 【对点训练】2．如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 易错点3 直线 射线 线段 概念理解类错误 易错提醒 常见错因主要集中在几个方面：一是混淆三种图形的延伸特征，不少同学会错误认为“直线可以延长，射线不能延长”，实际上直线本身两端已经无限延伸，不存在延长的说法，射线仅能沿端点向外的方向无限延伸，只能反向延长，仅线段可向两端延长，对延伸性的概念理解错误往往会直接影响判断题的判断结果。二是记错端点数量特征，误记射线有2个端点、直线有1个端点，混淆三者的边界特征。三是射线的同异判断错误，很多同学会误将端点相同、方向不同的两条射线判定为同一条射线，或是忽略射线必须端点相同且延伸方向相同才是同一条射线的判定规则，造成判断错误。 特别注意：牢记三种图形的核心特征：直线无端点、两端无限延伸，射线1个端点、一端无限延伸，线段2个端点、不可延伸；判断同一条射线时必须同时满足“端点相同”“延伸方向相同”两个条件，任意一个条件不满足都不是同一条射线。 【对点训练】3．下列说法正确的是（   ） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线 C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短 易错点4 求线段长时，点的位置不明确忽视分类讨论出错 易错提醒 这类题型往往只给出线段长度和动点的距离条件，不会明确给出点的具体位置，很多同学会默认点一定落在两个固定端点之间，只计算出一种结果，就会遗漏点落在端点外侧的情况。 解题时，若题干未给出明确图形，一定要先根据描述画出所有符合条件的位置示意图，再针对每一种位置分类讨论，分别计算出对应的线段长度，整理得到所有可能的结果后再作答。（如已知线段AB长XX，BC长XX，求AC的长），只考虑点C在线段AB上的情况，遗漏点C落在线段AB延长线上的可能性，最终得到不完整的答案 【对点训练】4．已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=8cm，BC=5cm，那么点A与点C之间的距离是 ． 易错点5 角的概念辨析类错误 易错提醒 很多同学辨析角的概念时，最容易犯的错误就是混淆平角和直线、周角和射线，仅从外形判断，将平角等同于直线，周角等同于射线，忽略了角的构成要素——角必须是由有公共端点的两条射线组成的图形，平角和周角都满足角的定义，和直线、射线有着本质区别。 解题辨析时，首先要牢记角的核心定义，所有判断都要紧扣“一个公共顶点、两条射线边”这两个构成要素，不能只根据外形特征混淆概念。其次，遇到不同概念的辨析问题，要主动对比不同概念的本质区别，可以在图中标注出每个图形的顶点和边，确认其是否符合角的定义后再下结论，避免凭直观感受判断出错。 【对点训练】5．下列说法中，正确的个数是（    ） （1）两条射线所组成的图形叫做角； （2）角是有公共端点的两条射线； （3）角的大小与边的长短无关； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角； （5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A．1 B．2 C．3 D．4 易错点6 角的表示方法类错误 易错提醒 多个角共顶点时，错用单个顶点字母来表示其中一个角，造成指代混淆；使用三个大写字母表示角时，常把顶点字母写错位置，没有放在中间。 【对点训练】6．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 易错点7 角位置不确定漏解 易错提醒 涉及到两个角有公共顶点、一边重合，求第三个角度数的题型时，忽略射线位置不确定的情况，只考虑射线在已知角内部的一种位置，遗漏了射线在已知角外部的情形，导致答案不完整。 【对点训练】7．已知射线，由点引射线，，，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 易错点8 方位角判断错误 易错提醒 常见错误主要有三类：一是描述方位时混淆方位角的表述规则，误将“北偏东/西XX°”“南偏东/西XX°”错写为“东偏北/西XX°”“西偏南/北XX°”，二是确定相对方位时，容易弄错观测点，将“A地在B地的什么方位”错判断为“B地在A地的什么方位”，三是计算方位角对应的偏转角度时，忽略方向线之间的垂直关系，算错角度大小。 特别注意：解决方位角问题时，第一步先明确观测点，再遵循“先南北、后东西”的标准表述规则描述方向，计算角度时结合90°的直角关系推导验证，就能有效避免出错。 【对点训练】8．．如图所示，若，，则射线表示的方向为（    ）    A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 一、单选题 1．下列说法不正确的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是同一条射线 D．线段与线段是同一条线段 2．如图，下列说法正确的是（    ）    A． B．图中只有两个角，即和 C．与表示同一个角 D．与表示同一个角 3．如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 5．如果A、B、C三点在同一直线上,且线段AB=8cm,BC=6cm,若M、N分别为AB、BC的中点,那么M、N两点之间的距离为（  ） A．7cm B．1cm C．7cm或1cm D．无法确定 二、填空题 6．有下列说法：①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一射线；④用一个放大10倍的放大镜去看一个角，这个角的度数不变；⑤120.5°＝120°50′，其中错误的有 （填序号即可）． 7．．将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表： 8往返于甲、乙两地的列车，中途需要停靠4个车站，如果每两站的路程都不相同，则这两地之间有 种不同的票价． 9．已知与互补，且平分平分，则 ． 10．已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长为 ． 三、解答题 11．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏东60°方向上，此时，若客轮在它北偏西70°，海岛在它南偏西25°方向上． (1)分别画出表示客轮和海岛方向的射线； (2)通过计算说明与的关系． 12．写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）． 13．如图，如果直线l上依次有3个点A、B、C，那么 （1）在直线l上共有多少射线？多少条线段？ （2）在直线l上增加一个点，共增加了多少条射线？多少条线段？ （3）如果在直线l上增加到n个点，则共有多少条射线？多少条线段？ 14．已知，点是射线上的点，线段，，点是线段的中点． （1）如图1，若点在线段上，当，时，求线段的长； （2）如图2，若点在线段的延长线上，当时，求线段的长；（用含的式子表示） （3）若点在射线上，请直接写出线段的长______________．（用含和的式子表示） 15．已知是直线上的一点，是直角，平分．    (1)在图1中，若，求的度数； (2)在图1中，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，且保持射线在直线上方，在整个旋转过程中，当的度数是多少时，？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 几何图形初步 知识点一：几何图形： 我们周围的物体形态各异、多姿多彩.如果只研究它们的形状、大小和位置，而不涉及其他性质，就得到各种几何图形,．几何图形分为 立体图形 和 平面图形 ． 1. 立体图形的概念： 有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是 立体图形 ． 2. .平面图形的概念 几何图形中，像直线、角、三角形、圆等，它们上面的各点都在同一个平面内，这样的图形叫作平面图形; 3.点、线、面、体： 体与体相交成 面 ，面与面相交成 线 ，线与线相交成 点 ．或点动成 线 ，线动成 面 ，面动成 体 ．点、线、面、体组成几何图形．其中点是最基本的图形 . 知识点二：直线、射线与线段： 名称 定义 图示 表示方法 特点 直线 可以朝两边无限延伸  的线叫做直线． ①一个小写字母表示：直线l②两个大写字母表示：直线AB ①无限延伸②没有端点 ③无长度，无法度量，无法比较 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点． ①用一个小写字母表示：射线l②用含端点的两个大写字母表示：射线AB（端点必须在前） ①朝一端无限延伸②有一个端点 ③有方向 ④无长短，无法度量，无法比较 线段 直线上两点及两点间的部分 ①用一个小写字母表示：线段a②用表示端点的两个大写字母表示：线段AB或线段BA ①无法延伸②两个端点 ③有长度，可度量，可比较 1：直线的基本性质： （1） 基本事实：   经过两点有1条直线且只有1条直线．简单说成两点确定一条直线．经过一点有无数条直线． （2）点与直线的位置关系： 如图，点B在直线m上或直线m过点B，点A不在直线m上或直线m不过点A． （3）两直线相交：   当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点． 2 线段与线段的性质 （1） 基本事实：两点之间的所有连线中线段最短 （2）线段中点 点C在线段AB上且 把一条线段分成两条相等的线段的点 叫作线段的中点 此时 或AB=2AC=2BC （3）两点之间的距离 ：两点之间线段的长度 叫作这两点之间的距离 知识点三：角： 名称 定义 图示 各部分名称 角 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 1.角的顶点：端点即为角的顶点．2.角的边：射线即为角的边． 动态定义：把一条射线沿着它的端点旋转而形成的图形． 特别提示：平角不是一条直线，而是两条射线在同一直线上． 周角不是一条射线，而是两条射线重合． 知识点四：角的表示方法： 名称 图示 表示方法 角 表示方法1：用表示顶点的大写字母表示．即∠O（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：用三个大写字母表示．即∠BOC等表示方法3：用希腊字母或阿拉伯数字表示．即∠1或∠β （这三种方法适用于任意角） 知识点五：角的度量与换算： 1.角的单位： 度：“°”；分：“”；秒：“” 把周角360份等分，平均一份就是1度，记作：1°，把1°角60份等分，其中一份就是1分，记作：1′，把1′角按60份等分，其中一份就是1秒，记作：1″． 2.角度的换算： 1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2直角，1直角＝90°．1°＝60′， 1′＝60″． 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足1′的部分化成秒． 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可． 3. 角的度量： （1）.测量方法： 把量角器的中心与角的顶点重合，其中一条0刻度线与角的其中一条边重合，另一条边所在刻度即为角的度数． 注意：一定要从重合的0刻度线开始读起． （2）.角的大小比较： 方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小． 方法2：度量法：直接用量角器度量比较． 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关． （3）.角的等分线： ①角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．如图： 若∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，则OC是角∠AOB的平分线．反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB． ②角的三等分线：把角平均分成相等的三份． ③角的四等分线：把角平均分成相等的四份． 以此类推． （4）.角的和、差、倍、分与角的计算： 角的和、差、倍、分与角的计算就是角度的和、差、倍、分与角度的计算． 知识点六：余角和补角： 1.定义： 如果两个角的和等于90°，则这两个角互余．即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角． 如果两个角的和等于180°，则这两个角互补．即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角． 2.余角和补角的性质： 同角的余角相等．即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则∠1＝∠3． 同角的补角相等．即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则∠1＝∠3． 等角的余角相等．即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则∠3＝∠4． 等角的补角相等．即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则∠3＝∠4． 一个角的补角比这个角的余角大90°． 易错点1 直线 射线 线段表示方法类错误 易错提醒 这类错误常见错型主要有三类：第一类是射线的表示错误，射线表示规则要求将端点字母写在首位，很多同学会颠倒端点与射线上另一点的顺序，误将端点在A、经过点B的射线AB写成射线BA，而二者表示的是完全不同的两条射线，直接导致结果错误。第二类是线段、直线、射线三种图形的表示规则混淆，部分同学会错误地只用一个端点字母表示射线，或是未区分不同表示方法的应用场景，书写完全不符合几何规范要求。第三类是同一图中存在多条直线或多条线段时，未给不同图形标注不同字母，或是混淆不同字母对应的图形，导致整个解题过程指代混乱。 特别注意：绘制图形或书写图形名称时，要牢记三种图形的表示规则：射线必须将端点字母放在第一个位置，严格遵守顺序要求；表示任意图形都要保证指代清晰，不可混淆不同图形的表示要求，解题过程中图形标注要清晰明确，从根源上避免这类低级规范错误。 【对点训练】1．下列说法错误的是（    ） A．直线和直线表示同一条直线 B．射线和射线表示同一条射线 C．线段和线段表示同一条线段 D．延长线段和延长线段的含义不同 【答案】B 【分析】根据直线、线段以及射线的概念来解答即可． 【详解】解：A、直线和直线表示同一条直线，正确，不符合题意； B、射线和射线的端点不同，是两条射线，选项错误，符合题意； C、线段和线段表示同一条线段，正确，不符合题意； D、延长线段和延长线段的含义不同，正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查直线、射线和线段的概念及表示方法：直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹，向两个方向无限延伸；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点；直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可向一方无限延伸． 易错点2 直线 射线 线段计数类错误 易错提醒 常见错因主要分为两类：一是计数逻辑混乱，既没有按照固定顺序逐一排查，也没有熟练掌握计数规律，要么重复统计同一条图形，要么漏算符合条件的图形；二是概念理解不透彻，计数时混淆不同图形的定义限制，比如统计射线数量时，会错误地给每个端点都分配2条射线，忽略端点处于整条图形边界时，仅能向外延伸出1条有效射线，直接导致计数结果偏大。 特别注意：计数时要先明确不同图形的定义要求，再按照从左到右、从上到下的固定顺序逐一计数，避免重复和遗漏；若直线上共有n个端点，可直接用公式n(n-1)计算线段总数，计算射线数量时，先判断每个端点的延伸方向，再统计有效射线的数量，就能从根源上规避这类错误。 【对点训练】2．如图，点、、是直线上的三个点，则图中共有直线、线段、射线条数分别是（    ） A．1，2，3 B．3，3，3 C．1，3，6 D．3，2，6 【答案】C 【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可． 【详解】解：根据两点确定一条直线，知道图中只有1条直线， 图中的线段有，，，共3条， 以点、、分别为端点的射线，共6条， 故选：C 【点睛】本题考查了直线的性质，直线、射线、线段，在数线段的时候，按照顺序数，要做到不重不漏． 易错点3 直线 射线 线段 概念理解类错误 易错提醒 常见错因主要集中在几个方面：一是混淆三种图形的延伸特征，不少同学会错误认为“直线可以延长，射线不能延长”，实际上直线本身两端已经无限延伸，不存在延长的说法，射线仅能沿端点向外的方向无限延伸，只能反向延长，仅线段可向两端延长，对延伸性的概念理解错误往往会直接影响判断题的判断结果。二是记错端点数量特征，误记射线有2个端点、直线有1个端点，混淆三者的边界特征。三是射线的同异判断错误，很多同学会误将端点相同、方向不同的两条射线判定为同一条射线，或是忽略射线必须端点相同且延伸方向相同才是同一条射线的判定规则，造成判断错误。 特别注意：牢记三种图形的核心特征：直线无端点、两端无限延伸，射线1个端点、一端无限延伸，线段2个端点、不可延伸；判断同一条射线时必须同时满足“端点相同”“延伸方向相同”两个条件，任意一个条件不满足都不是同一条射线。 【对点训练】3．下列说法正确的是（   ） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点P只能作一条直线 C．射线AB和射线BA表示同一条射线 D．射线a比直线b短 【答案】A 【分析】根据直线和射线的表示方法，和过一点可以做无数条直线，依次判断A、C、B，再利用射线与直线不能进行长短的比较判断D即可． 【详解】解：A、直线可以用两个大写字母来表示，且直线没有方向，所以AB和BA是表示同一条直线；故A正确． B、过一点P可以作无数条直线；故B错误． C、射线AB和射线BA，端点不同，方向相反，故射线AB和射线BA表示不同的射线；故C错误． D、射线和直线不能进行长短的比较；故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线，射线的表示方法以及射线和直线的性质，关键是要能够区分直线与射线的不同点． 易错点4 求线段长时，点的位置不明确忽视分类讨论出错 易错提醒 这类题型往往只给出线段长度和动点的距离条件，不会明确给出点的具体位置，很多同学会默认点一定落在两个固定端点之间，只计算出一种结果，就会遗漏点落在端点外侧的情况。 解题时，若题干未给出明确图形，一定要先根据描述画出所有符合条件的位置示意图，再针对每一种位置分类讨论，分别计算出对应的线段长度，整理得到所有可能的结果后再作答。（如已知线段AB长XX，BC长XX，求AC的长），只考虑点C在线段AB上的情况，遗漏点C落在线段AB延长线上的可能性，最终得到不完整的答案 【对点训练】4．已知点A、B、C都是直线l上的点，且AB=8cm，BC=5cm，那么点A与点C之间的距离是 ． 【答案】3或13cm 【分析】根据本题已知条件, 要求学生分情况讨论A, B, C三点的位置关系, 即点B在线段AC上, 点C在线段AB上. 【详解】解: 根据A, B, C三点在同一直线上对应的位置不同，可分两种情况计算. 如图所示，点B在线段AC上，根据题意，AC=AB+BC=8+5=13cm; 如图所示，点C在线段AB上, AC=AB-BC=8-5=3cm. 故答案为:3或13cm 【点睛】本题考查了两点之间的距离, 本题可以利用画图进行求解, 本题渗透了分类讨论的思想, 体现了思维的严密性, 在今后解决类似的问题时, 要防止漏解. 易错点5 角的概念辨析类错误 易错提醒 很多同学辨析角的概念时，最容易犯的错误就是混淆平角和直线、周角和射线，仅从外形判断，将平角等同于直线，周角等同于射线，忽略了角的构成要素——角必须是由有公共端点的两条射线组成的图形，平角和周角都满足角的定义，和直线、射线有着本质区别。 解题辨析时，首先要牢记角的核心定义，所有判断都要紧扣“一个公共顶点、两条射线边”这两个构成要素，不能只根据外形特征混淆概念。其次，遇到不同概念的辨析问题，要主动对比不同概念的本质区别，可以在图中标注出每个图形的顶点和边，确认其是否符合角的定义后再下结论，避免凭直观感受判断出错。 【对点训练】5．下列说法中，正确的个数是（    ） （1）两条射线所组成的图形叫做角； （2）角是有公共端点的两条射线； （3）角的大小与边的长短无关； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角； （5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角的定义及性质逐项判断即可． 【详解】（1）有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，故（1）错误； （2）角是有公共端点的两条射线组成的图形，故（2）错误； （3）角的大小与边的长短无关，说法正确； （4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角，说法正确； （5）有一个公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故（5）错误． 即正确的个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的定义及性质，紧扣角的定义即可作答．角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着它的端点从一个位置旋转至另一个位置所形成的图形． 易错点6 角的表示方法类错误 易错提醒 多个角共顶点时，错用单个顶点字母来表示其中一个角，造成指代混淆；使用三个大写字母表示角时，常把顶点字母写错位置，没有放在中间。 【对点训练】6．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的表示方法分别进行分析即可． 【详解】、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误； 、能用，，表示同一个角，故此选项正确； 故选：． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 易错点7 角位置不确定漏解 易错提醒 涉及到两个角有公共顶点、一边重合，求第三个角度数的题型时，忽略射线位置不确定的情况，只考虑射线在已知角内部的一种位置，遗漏了射线在已知角外部的情形，导致答案不完整。 【对点训练】7．已知射线，由点引射线，，，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于三条射线OA、OB、OC的位置不能确定，求解时应分类讨论，防止漏解； 分射线OC在∠AOB内部与外部，分别得出角之间的关系：∠AOC=∠AOB-∠BOC与∠AOC=∠AOB+∠BOC，进而求解即可. 【详解】如图 若射线OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠AOB-∠BOC=72°-36°=36°； 若射线OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=72°+36°=108°. 故选D. 【点睛】本题考查了角的运算问题，分情况找到角之间的关系是解题的关键. 易错点8 方位角判断错误 易错提醒 常见错误主要有三类：一是描述方位时混淆方位角的表述规则，误将“北偏东/西XX°”“南偏东/西XX°”错写为“东偏北/西XX°”“西偏南/北XX°”，二是确定相对方位时，容易弄错观测点，将“A地在B地的什么方位”错判断为“B地在A地的什么方位”，三是计算方位角对应的偏转角度时，忽略方向线之间的垂直关系，算错角度大小。 特别注意：解决方位角问题时，第一步先明确观测点，再遵循“先南北、后东西”的标准表述规则描述方向，计算角度时结合90°的直角关系推导验证，就能有效避免出错。 【对点训练】8．．如图所示，若，，则射线表示的方向为（    ）    A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】C 【分析】利用平角定义可得，然后利用角的和差关系求出的度数，即可解答． 【详解】如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴射线表示的方向为南偏东， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 一、单选题 1．下列说法不正确的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是同一条射线 D．线段与线段是同一条线段 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解A、直线与直线是同一条直线，选项正确，不符合题意； B、射线与射线不是同一条射线，选项错误，符合题意； C、射线与射线是同一条射线，选项正确，不符合题意； D、线段与线段是同一条线段，选项正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查直线，射线，线段的表示方法．熟练掌握射线的端点不同，射线不同，是解题的关键． 2．如图，下列说法正确的是（    ）    A． B．图中只有两个角，即和 C．与表示同一个角 D．与表示同一个角 【答案】D 【分析】根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时这个角可以用顶点字母来表示，由此可得结论． 【详解】解∶ A．与不一定相等，该选项原说法错误，故符合题意； B．图中有三个角，分别为、和，该选项原说法错误，故不符合题意； C．与表示同一个角，该选项原说法错误，故不符合题意； D．与表示同一个角，该选项正确，符合题意． 故选∶D． 【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键． 3．如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（　　）种． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D， E表示，数出利用上述五点为端点的线段条数即可． 【详解】解：设泰山−−济南−−淄博−−潍坊−−青岛五站分别用A，B，C，D， E表示，则共有线段：、、、、、、、、、，共10条，， ∴要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、线段、射线，要注意单程票，切记理解成往返车票而出错 4．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、能用∠1，表示，不能用表示，故选项不合题意； B、能用∠1，表示，不能用表示同一个角，故选项不合题意； C、能用∠1，，表示同一个角，故选项符合题意； D、∠1和表示不同的角，故选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用． 5．如果A、B、C三点在同一直线上,且线段AB=8cm,BC=6cm,若M、N分别为AB、BC的中点,那么M、N两点之间的距离为（  ） A．7cm B．1cm C．7cm或1cm D．无法确定 【答案】C 【分析】分点B在线段AC上和点C在线段AB上两种情况,根据线段中点的性质进行计算即可. 【详解】 如图1, 当点B在线段AC上时, AB＝8cm, BC＝6cm ,M,N分别为AB,BC的中点, , , 如图2, 当点C在线段AB上时, AB＝8cm, BC＝4cm ,M,N分别为AB,BC的中点, , , 所以C选项是正确的. 【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算,掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键. 二、填空题 6．有下列说法：①平角是一条直线；②射线是直线的一半；③射线AB与射线BA表示同一射线；④用一个放大10倍的放大镜去看一个角，这个角的度数不变；⑤120.5°＝120°50′，其中错误的有 （填序号即可）． 【答案】①②③⑤． 【分析】根据角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，角的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的角度有关，度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，以及射线的性质可进行判断． 【详解】解：①平角是有公共端点是两条射线组成的图形，题干的说法错误； ②射线与直线无法比较，题干的说法错误； ③射线AB与射线BA不表示同一条射线，题干的说法错误； ④用一个放大10倍的放大镜去看一个角，这个角的度数不变是正确的； ⑤120.5°＝120°30′，题干的说法错误． 故答案为①②③⑤． 【点睛】本题考查角度的相关概念，熟记基本概念是判断的关键. 7．．将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表： 【答案】 【分析】根据角的表示方法分析即可，角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．是同一个角必须满足顶点相同，角的两边必须分别是指同一条射线． 【详解】可以表示为， 可以表示为， 可以表示为， 可以表示为， 可以表示为， 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了角的表示方法，理解角的表示方法是解题的关键． 8往返于甲、乙两地的列车，中途需要停靠4个车站，如果每两站的路程都不相同，则这两地之间有 种不同的票价． 【答案】15 【分析】求出线段的条数，即可得到不同票价． 【详解】解：如图： 根据线段的定义：可知图中共有线段有AC，AD，AE，AF，AB，CD、CE，CF、CB、DE，DF、DB、EF，EB，FB共15条，有15种不同的票价； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了线段，运用数学知识解决生活中的问题．解题的关键是需要掌握正确数线段的方法． 9．已知与互补，且平分平分，则 ． 【答案】或 【分析】如图1，图2，根据补角的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结果． 【详解】解：如图1，∵与互补， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴；    如图2，∵与互补， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，作出图形、正确分类是解题的关键． 10．已知线段AB=6，在直线AB上取一点P，恰好使AP=2PB，点Q为PB的中点，则线段AQ的长为 ． 【答案】5或9 【分析】根据中点的定义可得PQ=QB，根据AP=2PB，求出PB=AB，然后求出PQ的长度，即可求出AQ的长度． 【详解】解：如图1所示， ∵AP=2PB，AB=6， ∴PB=AB=×6=2，AP=AB=×6=4； ∵点Q为PB的中点， ∴PQ=QB=PB=×2=1； ∴AQ=AP+PQ=4+1=5． 如图2所示，∵AP=2PB，AB=6， ∴AB=BP=6， ∵点Q为PB的中点， ∴BQ=3， ∴AQ=AB+BQ=6+3=9． 故AQ的长度为5或9． 故答案为：5或9． 【点睛】本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意分类思想的运用． 三、解答题 11．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它南偏东60°方向上，此时，若客轮在它北偏西70°，海岛在它南偏西25°方向上． (1)分别画出表示客轮和海岛方向的射线； (2)通过计算说明与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)相等，理由见解析 【分析】（1）根据方向角的度数，可得答案； （2）根据已知角，求出与的度数即可． 【详解】（1）解：如图，射线和为所求作的射线． （2）相等，由已知，，， ∴． 【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，方向角，利用角的和差关系得出与度数是解题关键． 12．写出图中符合下列条件的角． (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点为顶点的角； (3)图中所有小于平角的角（可用简便方法表示）． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据角的表示方法进行求解即可； （2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）根据角的表示方法进行求解即可． 【详解】（1）解：能用一个大写字母表示的角为 （2）解：由题意得，以点为顶点的角有； （3）解：由题意得，图中所有小于平角的角有，． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． 13．如图，如果直线l上依次有3个点A、B、C，那么 （1）在直线l上共有多少射线？多少条线段？ （2）在直线l上增加一个点，共增加了多少条射线？多少条线段？ （3）如果在直线l上增加到n个点，则共有多少条射线？多少条线段？ 【答案】（1）6，3；（2）2，3；（3）共有2n条射线，线段的总条数是条． 【分析】（1）一个直线上的每一个点对应两条射线，可求出射线的条数，分别以A、B为起点可查找出线段的条数． （2）根据分析（1）可得出答案． （3）根据（1）（2）可得出增加一个点后增加的射线条数及线段条数，由特殊到一般总结即可得出答案． 【详解】解：（1）以A，B，C为端点的射线各自有2条，因而共有射线6条， 线段有：AB，AC，BC，共有线段3条． （2）由分析得：增加一个点增加2条射线，增加3条线段． （3）由分析（1）可得共有2n条射线，线段的总条数是条． 14．已知，点是射线上的点，线段，，点是线段的中点． （1）如图1，若点在线段上，当，时，求线段的长； （2）如图2，若点在线段的延长线上，当时，求线段的长；（用含的式子表示） （3）若点在射线上，请直接写出线段的长______________．（用含和的式子表示） 【答案】（1）1；（2）；（3）或． 【分析】（1）根据题意求得AB与BD的长，利用线段间数量关系求得AD的长，然后根据线段的中点定义求解CD的长； （2）解析思路同第（1）问； （3）利用第（1）（2）问的解题思路，分点D在线段AB和线段AB的延长线上两种情况讨论解答． 【详解】解：（1）当，时， ，． ． 点是线段的中点， ． （2）当时， ，． ． 点是线段的中点， ． （3）①当点D在线段AB上时 ，． ． 点是线段的中点， ． ②当点D在线段AB的延长线上时 ，． ． 点是线段的中点， ． 综上，线段CD的长为：或． 【点睛】本题考查线段中点的定义及线段间的数量关系计算，利用数形结合思想分类讨论解题是关键． 15．已知是直线上的一点，是直角，平分．    (1)在图1中，若，求的度数； (2)在图1中，若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，且保持射线在直线上方，在整个旋转过程中，当的度数是多少时，？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可； （2）利用平角的定义，以及角平分线平分角进行求解即可； （3）分点在直线上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）同法（1）可得：， 即：； （3）设，则， ∵平分， ∴， ①当点在直线上方时：    ， ∵， ∴， 解得：； ②当点在直线下方时：    ， ∵， ∴， 解得：； 综上：当的度数是或时，． 【点睛】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的计算．正确的识图，理清角之间的和，差，倍数关系，是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $