25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及应用，通过复习一元一次方程的定义和判断实例搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知，形成清晰的知识脉络。 其亮点在于以矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等实际问题驱动探究，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过定义辨析、典例解析和分层针对训练发展推理意识，归纳总结系统梳理知识，既提升学生的应用意识和解题能力，也为教师提供清晰的教学路径。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 学习目标 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数. 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. 重点：一元二次方程的概念及其一般形式 难点：解决有关问题 复习导入 判断下列式子是否是一元一次方程： 一元一次方程 1、只有一个未知数 2、未知数的指数是一次 3、方程的两边都是整式 探究新知 知识点1 一元二次方程的定义 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 设切去的正方形的边长是x cm，得 (100－2x)(50－2x)＝3 600. 整理化简，得x2－75x＋350=0 探究新知 知识点1 一元二次方程的定义 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应该邀请多少个队参赛？ 设应邀请x个队参赛，得 整理化简，得 探究新知 知识点1 一元二次方程的定义 思考：方程 x2－75x+350=0， 有什么共同点？ 1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是2次 3、等号的两边都是整式 可以发现 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程． 典例解析 题型1 一元二次方程的识别 例1 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2； ③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 A 一元二次方程的识别方法： ①整式方程，②只含一个未知数； ③未知数的最高次数是2. 探究新知 知识点2 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫作一元二次方程的一般形式 . 为什么规定a≠0，b，c可以为0吗？ a x²+b x+ c =0 二次项系数 一次项系数 a≠0 二次项 一次项 常数项 指出方程各项的系数时要带上前面的符号. 典例解析 题型2 化为一般形式 例2 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 和常数项． 去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8， 常数项为－10. 解： 针对训练 1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)5x2－1＝4x； (2)4x2＝81； (3)4x(x＋2)＝25； (4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3. 解：(1)5x2－4x－1＝0 (2)4x2－81＝0 (3)4x2＋8x－25＝0 (4)3x2－7x＋1＝0 针对训练 2.(1)若方程(a-1)-ax=2是关于x的一元二次方程,则a的值为　　 ; -1 (2)若关于x的方程(k-1)x|k|+1+6x-7=0是一元二次方程,则k=　 　; -1 3.(1)若关于x的一元二次方程(m+2)x2+3x+3(m2-4)=0的常数项为0,则m的值为　　 . (2)关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m2-1)x+3=0的一次项系数是0,则m 的值是 . 2 -1 探究新知 知识点3 一元二次方程的解(根) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 典例解析 例3 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3 当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根. 解： 题型3 解的意义 针对训练 4.(1)已知关于x的一元二次方程kx2-(k-2)x+4=0的一个根是2,则k的值是 (　 　) A.2 B.-2 C.4 D.-4 (2)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0,则a=　 　; (3)若a是方程x2+x-1=0的一个根,则代数式2026-2a2-2a的值为　　 . D -1 2 024 典例解析 题型4 实际问题 例4 为了迎接新年的到来,初三年级举行了足球邀请赛,规定参赛的每两个队之间比赛一场,共安排了66场比赛,设初三年级共有x个队参赛,则下列方程正确的是 (　 　) A.12x(x+1)=66 B.12x(x-1)=66 C.x(x+1)=66 D.x(x-1)=66 B 针对训练 5.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记载了这样一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长一十二步,问阔及长各几步?”译文:“一个矩形田地的面积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽各是多少步?”若设矩形田地的长为x步,则可列方程为　 　,化为一般形式为 . x(x-12)=864 x2-12x-864=0 针对训练 6.如图所示,现有一块矩形铁皮,其长是宽的2倍,在铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形,做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是480 cm3,设矩形的宽为x cm,则可列方程为　 　. 4(2x-8)(x-8)=480 针对训练 7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； (3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 解：4x2=25，化成一般形式为4x2-25=0. 解：x(x-2)=100，化成一般形式为x2-2x-100=0. 解：x=(1-x)2，化成一般形式为x2-3x+1=0. 归纳总结 作业布置 课堂作业:P4习题25.1的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $