21.3实践与探究 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实践应用，涵盖折叠裁剪、产值增长等实际问题。通过回顾解题步骤并强调易忽略的“检验”环节，搭建旧知与新知的连接支架，引导学生从实际情境中抽象等量关系。 其亮点在于以问题链驱动探究，如折叠问题中通过表格观察侧面积变化，渗透函数思想，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识）。小结提炼关键方法，助学生系统掌握，教师可依托结构化资源提升教学效率，学生能增强应用能力与模型意识。

第二十一章 一元二次方程 21.3实践与探究 01 教学目标 能把折叠几何问题、产值增长、销售利润实际情境转化为一元二次方程模型，挖掘复杂情境下等量关系。 01 结合折纸图形，想象折叠前后边长变化，理解裁剪、折叠之后长方体底面、侧面积的表达式。 02 通过填写表格，观察自变量与因变量变化规律，感受变量之间的联系，初步渗透函数思想，提升处理复杂应用题的能力。 03 02 新知导入 【思考】 列一元二次方程解实际应用题的一般步骤是什么？ ①审：读懂题意，找等量关系；②设：合理设未知数； ③列：根据等量关系列一元二次方程； ④解：选用合适方法解方程； ⑤验：检验根是否满足方程，同时检验是否符合现实意义，舍去不合理根； ⑥答：写出完整作答。 02 新知导入 【思考】 列一元二次方程解实际应用题的步骤中，最容易忽略哪一步？ 最容易忽略检验这一步。 因为不光要检验是不是方程的解，更要检验根符不符合现实生活，把不符合题意的根舍去，这是一元二次方程应用题和一元一次方程应用题最大的区别 03 新知探究 【问题3】小明把一张边长为10dm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子，如图所示. 03 新知探究 (1)如果要求长方体的底面积为81dm2，那么剪去的正方形边长为多少? 分析：设剪去的正方形边长为 x dm。由图可知，折叠成的长方体底面是一个正方形，其边长等于原正方形边长减去两个剪去正方形的边长，即 (10-2x)dm。 03 新知探究 (1)如果要求长方体的底面积为81dm2，那么剪去的正方形边长为多少? 根据题意“长方体的底面积为81dm2”，利用正方形面积公式列出方程：(10-2x)2=81 03 新知探究 (1)如果要求长方体的底面积为81dm2，那么剪去的正方形边长为多少? 解：设剪去的正方形边长为xdm。 根据题意，得(10-2x)2= 81， 解得：10-2x=9或10-2x=-9， 解得 x1= 0.5，x2=9.5， 因为2x<10，即x<5，所以x=9.5不合题意，舍去。 答：剪去的正方形边长为0.5dm。 03 新知探究 (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化?折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化? 0.5 18 1 32 1.5 42 2 48 2.5 50 3 48 3.5 42 4 32 03 新知探究 (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化?折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化? 观察表格数据：剪去的正方形边长随着底面积从81减小到9，边长从0.5逐渐增大到3.5，侧面积从18增加到50，然后又减小到42。 结论：随着底面积减小，剪去的正方形边长逐渐增大；侧面积先增大后减小。 03 新知探究 【探索】在你观察到的变化中，你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况?先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，看看与你的感觉是否一致. 解：折叠而成的长方体的侧面积会有最大的情况。 设剪去的正方形边长为x厘米，侧面积为S平方厘米。 则S=4(10-2x)2=-8.2+40x。 03 新知探究 【探索】在你观察到的变化中，你认为折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况?先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，看看与你的感觉是否一致. 这是一个开口向下的二次函数，有最大值。 当x=2.5时，S有最大值。 最大值为S=-8×2.52+40×2.5=-50+100 =50. 这与表格中观察到的数据(当边长为2.5时，侧面积为50)是一致的。 03 新知探究 【问题4】某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的年平均增长率应为多少? 【分析】翻一番，即为原产值的2倍. 若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位. 03 新知探究 【问题4】某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的年平均增长率应为多少? ①设定未知数，梳理产值变化规律 设工厂原来的产值为单位1，这两年中产值的平均年增长率为x。 第一年结束后的产值为：1×(1+x)=1+x， 第二年是在第一年产值的基础上增长，因此两年后产值为：（1+x)×(1+x)=(1+x)2 03 新知探究 【问题4】某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的年平均增长率应为多少? ②根据题意列方程 两年后产值翻一番，即两年后产值为原来产值的2倍， 根据等量关系可得方程：(1+x)2=2， 对等式两边同时开平方，得：1+x= 或1+x= 分别计算两个解： 03 新知探究 【问题4】某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的年平均增长率应为多少? ③根据实际意义取舍根 因为增长率为正数， 不符合实际情况，因此舍去该解。 因为 代入得：x= ≈ 1.414-1，x= 0.414， x=41.4% 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的边框，制成一幅面积是4000cm2的挂图，设边框的宽为x cm，可列方程为( ) . A.(70+2x)(40+2x)=4 000 B.(70+2x)(40-2x)=4 000 C.(70-2x)(40+2x)=4 000 D.(70-2x)(40-2x)=4 000 A 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800cm2，则截去小正方形的边长为( ). A.8 cm B.10 cm C.6 cm D.7 cm B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 安阳市滑县道口镇特产道口烧鸡非常有名，某超市道口烧鸡供不应求，经过两次涨价，由每千克16元上涨到每千克25元．若两次涨价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为(　　). A. 16(1＋x)2＝25 B. 16(1－x)2＝25 C. 16(1+x2)=25 D. 16(1+2x)=25 A 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 河南是著名的“茶乡”之一，信阳毛尖产业十分兴旺．据了解，某品牌信阳毛尖3月份销售额为50万元，此后每月销售额按相同的增长率增长，3～5月份累计销售收入为200万元．设销售额的增长率为x，则可列方程为___________________________________． 50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝200 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是(　　). A．x2＋130x－1 400＝0 B．x2－65x－350＝0 C．x2－130x－1 400＝0 D．x2＋65x－350＝0 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.某商店以每件25元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%，若每件商品的售价为a元，则可卖出(400－10a)件．若商店计划盈利500元，则每件商品应定价为(　　). A．30元 B．32.5元 C．30元或35元 D．35元 A 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成. 若AF=8m，AE=4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 解：设边BC的长度为xm. ∵矩形周长为28+8+4=40(m)， ∴CD=( 20-x )m. 由题意知，x( 20-x )=75，整理，得x2-20x+75=0， 解得x1=5，x2=15. 又∵AF=8m，∴x= 15. 答：花圃边BC的长度为15m. 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 1. 折叠裁剪问题：四周剪正方形，底面长宽都减去2x，注意自变量实际取值范围； 2. 增长率拓展：“翻一番” 代表 2 倍，无具体基数可以设单位 1； 3. 表格探究感受变量变化，初步体会函数； 4. 实际问题必须检验根，舍去不符合现实的解。 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出的方程是(　　). A．a(1＋x)2＝3a B．a(1＋2x)2＝3a C．a(1＋2x)(1＋3x)＝3a D．a(1＋x)(1＋2x)＝3a D 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形铁片，余下部分的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是( ). A. 96cm2 C. 54cm2 B. 64cm2 D. 52cm2 B 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.为了减轻百姓医疗负担，河南某制药厂将一种本地特色中草药的价格逐年降低．前年这种药物每盒的价格为200元，今年该种药物每盒的价格为98元．求前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率； 解：设前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率为x， 根据题意，得200(1－x)2＝98， 解得x1＝0.3＝30%，x2＝1.7(不符合题意，舍去)． 答：前年到今年这种药物每盒的价格的年平均下降率为30%. 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为( ) A. (30-2x)(40-x)=600 B. (30-x)(40-x)=600 C. (30-x)(40-2x)=600 D. (30-2x)(40-2x)=600 D 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.商场销售某种商品，每件的进价为200元，每件的售价为250元，平均每天售出30件，经调查发现：当每件商品售价每降低1元时，平均每天可多售出2件．为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2 100元？ 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.解：设每件商品降价x元，则现在每件的利润是(250－x－200)元，平均每天售出的数量是(30＋2x)件， 根据题意，得(250－x－200)(30＋2x)＝2 100， 解得x1＝20，x2＝15，因为要让顾客得到更多的实惠， 所以x＝20，即每件商品降价20元． $