21.3　实践与探索 课件 2026——2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决图形面积问题”，通过知识回顾（一元二次方程解法、列一元一次方程解应用题步骤）衔接新知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生将实际问题转化为数学问题。 其亮点在于以数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识）为核心，如问题1通过图形平移将不规则图形转化为规则矩形列方程，问题2结合表格分析底面积与侧面积关系渗透函数思想。归纳总结面积问题类型（彩条/小路、围挡、动点），帮助学生形成解题模型。学生能提升抽象能力和应用意识，教师可借助结构化流程与典型例题高效教学。

21.3 第1课时 用一元二次方程解决图形面积问题 随堂演练 获取新知 例题讲解 第21章 一元二次方程 课堂小结 知识回顾 知识回顾 一元二次方程都有哪些解法? 这节课我们要尝试应用列一元一次方程解应用题的步骤列一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程，从而解决一些实际问题. ①审题;②设未知数;③找等量关系;④列方程;⑤解方程;⑥作答 直解接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 列一元一次方程解应用题都有哪些步骤? 胡123 (胡123) - 通过复习旧知识为继续学习一元二次方程的应用做好铺垫;同时以一元一次方程解题步骤引入新课,为本课时建立一元二次方程的数学模型解实际问题打下基础,降低了本课时的学习的难度,学生易于理解和掌握. 获取新知 在应用一元二次方程解决实际问题时,与应用一元一次方程一样： ① 要注意分析题意,找出等量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决. ② 求得方程的根之后,要注意检验是否符合题意,最后得到实际问题的解答. 几何图形面积问题 问题1 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 20 32 x x 分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图，不难发现小道的占地面积与位置无关．设小道宽为x m，则两条小道的面积分别为 32x m2和20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为x2 m2，根据题意，得 请完成本题的解答 32×20－32x－20x＋x2＝540. 方法一 如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持改变？在这样的设想下，所列方程是否符合题目要求？处理问题是否方便些？ x 20 x 32 方法二 依题意得：（32-x）(20-x)=540. 利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使图形变成规则的，则列方程就容易些. 这种问题变形可以让学生更利于理解，重点推荐。让学生掌握做题技巧会事半功倍，因此在这里老师要强调做题的方法。 5 整理，得x2-52x+100=0． 解得x1=2，x2=50. 解：设小道宽为x m， （32-x）(20-x)=540. 依题意得： 检验：当x1＝2时，长为32－x＝30 m，宽为20－x＝18 m，符合题意，所以能取x＝2． 当x2＝50时，长为32－x＝-18 m，宽为20－x＝-30 m，不符合题意，舍去. 答：小道宽为2 m. 例1 如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽． 解：设花圃四周绿地的宽为x m， 依题意，得：（8-2x）（6-2x）= ×8×6， 整理，得：x2-7x+6=0， 解得：x1=1，x2=6（不合题意，舍去）． 答：花圃四周绿地的宽为1 m． 例题讲解 几何图形与一元二次方程问题主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 归纳总结 问题2 小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子． (1)如果要求长方体的底面积为81 cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？ 长方体底面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4 正方形边长(cm) 长方体侧面积(cm2) 获取新知 9 Administrator (authorId_606628886) - 通过此问题培养学生观察、分析和合情推理的能力，并且注重学生对探索过程的参与和体验，而对于二次函数表达式不要过多介绍，只需要让学生通过代数式的大小感受到最大值是存在的，并能找出最大值的近似值或范围即可. (1)如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？ 解：（1）设剪去的正方形的边长为x cm， 根据题意，得(10-2x)2=81 解得 x1=0.5，x2=9.5（不合题意，舍去） 答：剪去的正方形的边长为0.5 cm. (2)如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？ 长方体底面积(cm2) 81 64 49 36 25 16 9 4 正方形边长(cm) 长方体侧面积(cm2) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 18 32 42 48 50 48 42 32 解：（2）设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意，得长方体的侧面积=4x(10-2x)=-8(x-2.5)2+50（0＜x＜5）. 随着底面积的减小，正方形的边长在变大，侧面积先增大，后减小. Administrator (authorId_606628886) - 因为还未学习二次函数，故这里只需让学生直观了解到长方体的侧面积存在最大值即可. 随堂演练 1. 某校准备修建一个面积为180 m2的矩形活动场地，它的长比宽多11 m，设场地的宽为x m，则可列方程为(　　) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 C 2. 公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(　　) A. (x+1)(x+2)=18 B. x2-3x+16=0 C. (x-1)(x-2)=18 D. x2+3x+16=0 C 3.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门.当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m2? 解:设矩形猪舍垂直于住房墙的一边的长为x m,可以得出 平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,由题意得x(25-2x+1)=80, 化简,得x2-13x+40=0, 解得x1=5,x2=8. 当x=5时,26-2x=16(m)>12 m(舍去); 当x=8时,26-2x=10(m)<12 m. 答:当所围矩形猪舍的长为10m、宽为8 m时,猪舍面积为80m2. 4. 如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ 根据题意得AP= x cm,PC=(6-x)cm,CQ=2x cm,则 解：设出发x s后可使△PCQ的面积为9 cm². 解得 x1=x2=3. 答：点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm². 课堂小结 用一元二次方程解决几何图形面积问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系. 类 型 彩条/小路宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程 围挡问题 动点问题 $21.3 第2课时 用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 例题讲解 获取新知 知识回顾 第21章 一元二次方程 随堂演练 课堂小结 知识回顾 要注意分析题意,找出等量关系,列出方程,把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的根之后,要注意检验是否符合题意,最后得到实际问题的解答. 列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？ 获取新知 某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 60 000 kg，第二年的产量为____________ kg，第三年的产量为______________ kg． 60000(1 + x) 某糖厂 2024年食糖产量为 a 吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么预计 2025 年的产量将是_________吨，2026年的产量将是__________吨． a(1-x) 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 变化后的量 = 变化前的量× 两年后： 60000(1 + x)2 a(1-x)2 知识点1 平均变化率问题 若平均增长(或降低)的百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 变化率问题的等量关系： 问题1 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元. 已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 分析:若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的(1-x)倍，即56(1-x)元，第二次降价后的零售价为56(1-x) 2倍. 解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得 56(1-x)2=31.5. 解这个方程，得 x1=0.25，x2=1.75. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意.经检验，x1=0.25=25%符合本题要求. 答：每次降价的百分率为25%. 胡123 (胡123) - 该探究是平均增长率或下降率问题,是中考中重要考点,在这个环节上以小问题的形式呈现,教师引导分析的同时,小组进行合作交流,充分思考和讨论,加深学生对增长率问题的理解,提高学生解决实际问题的能力. 例1 某省准备引进新技术来提高秸秆的合理使用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）. 今年的使用率×（1+年平均增长率）²=后年的使用率 例题讲解 分析 ：问题中涉及的等量关系： 解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，根据等量关系列出方程40%(1+x)²=90%. 整理，得 (1+x)²=2.25. 解得 x1=0.5=50%，x2=-2.5(不合题意，舍去). 答：这两年秸秆使用率的年平均增长率为50%. 变化率问题注意事项： 增长时，变化率没有限制， 降低时，变化率要小于1. Administrator (A) - 在这里要给学生强调下降率不可为负，且不大于1. 问题2 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 1.你是如何理解”翻一番“的？ （翻一番，即为原产值的2倍，若设原产值为1，那么两年后的产值就是2） 2.你是如何理解“平均年增长率”的？ （“平均年增长率”指的是每一年产值增长的百分数是一个相同的值.即每年产值按同样的百分数增加） 探究 Administrator (A) - 问题2的关键是对原产值的设定.为了便于理解，这里设定原产值为1个单位，根据学生情况，也可以将原产值设定为a，a是辅助未知数，不用也不能求出a的值. 因为增长率不能为负数,所以增长率应为41.4%. 解：设平均年增长率应为x,依题意，得 答：这两年中产值的平均年增长率约为41.4%. 问题3 百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就会减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品利润为[(50+x)－40]元， 因为每涨价1元，其销售量会减少10个，则每涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个， 根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000. 获取新知 知识点2 销售问题 解：设每个商品涨价x元，则每个商品利润为[(50+x)－40]元，销售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时,50+x =60，500－10x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元. 若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个. 这种涨降价问题的取值范围是怎样的呢？ 一元二次方程解决利润问题的典型例题。 10 列一元二次方程解“每每问题”的五个步骤． ①设每件商品涨价（降价）x元（有时设新的定价为未知数）； ②用含x的代数式表示每件商品的利润P； ③用含x的代数式表示涨价（降价）后商品的销售量Q； ④根据“每件商品的利润×销售量=销售利润”，得P·Q＝总利润； ⑤解方程，取舍，作答． 例2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ （售价-进价）×销售量=利润. 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 例题讲解 （x-21)(350-10x）=400. 解得 x1=25, x2=31. 检验：21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元， 所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25. 答：该商店需要卖出100件商品，每件商品的售价是25元. 从而卖出350-10x=350-10×25=100（件）. 解： 该每件商品的售价是x元. 则 1.审题,找出问题中的等量关系 2.根据题意，设未知数 3.把等量关系转换成一元二次方程 4.选取适当的方法解方程 5.根据题意对求出的根进行检验 6.写出答案 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 设 审 列 解 验 答 归纳总结 Administrator (A) - 在利用方程解决问题时，教师要注意强调结果一定要检验方程的根是否正确是否符合实际。 随堂演练 1. 某公司最近的各项经营中，一季度的营业额为200万元，一季度、二季度、三季度的营业额共计950万元，如果平均每季度营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%． 200+200(1+x) +200(1+x)2=950. 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 2.电商平台发现：某款手机平均每天可售出20台，每台盈利400元.为了迎接“双十一”，平台决定采取适当的降价措施，扩大销售量来增加盈利，并尽快占领市场.经市场调查发现：如果每台手机每降低5元，那么平均每天就可多售出1台.如果想要平均每天通过销售这款手机盈利12000元，那么每台手机应降价多少元？ 解:设每台手机降价x元，则每台手机的利润是(400-x)元. 因为每台手机降价5元，那么平均每天就可多售出1台，则每天售出(20+ )台，根据总利润，列出方程得 (400-x)(20+ )=12000， 化简得 x2-300x+20000=0， 解得 x1=100，x2=200， 因为要尽快占领市场，所以x=200，每台手机要降价200元. 通过这道题目，要再次跟学生传递以下观点：解一元二次方程的结果既要符合实际意义，又要与题目要符合。 Administrator (A) - 通过这道题目，要再次跟学生传递以下观点：解一元二次方程的结果既要符合实际意义，又要与题目要符合。 课堂小结 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 列方程解应用题的一般步骤是: $