3.1.1 函数及其表示方法教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的集合-对应定义、定义域与值域、三种表示方法及分段函数等核心知识点。通过物体下落高度（有解析式）与学号身高对应表（无解析式）实例引发认知冲突，衔接初中变量定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料以情境导入激发探究欲，通过问题链引导学生建构函数定义，培养数学抽象与逻辑推理素养。结合出租车计费等实例引入分段函数，发展数学建模与应用意识。助力学生深化概念理解，为教师提供清晰教学路径与互动策略。

教学设计-2026-2027学年 数学 人教B版 3.1.1 函数及其表示方法 必修第一册 高一 一、教学设计 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 教材版本 人教B版 册次 必修第一册 课题 函数及其表示方法 章节 第三章 函数 3.1函数的概念与性质 课时 1课时 课型 新授课 二、教材分析 本节课位于人教B版必修第一册第三章3.1节，是在初中变量观点的函数定义基础上，将函数概念提升到集合与对应的高度来认识。教材通过实例引导学生发现变量观点的局限性，进而引入集合-对应观点下的函数定义，并依次介绍定义域、值域、函数值等核心概念。随后教材系统呈现了解析法、列表法、图象法三种表示方法，并引入分段函数与取整函数等典型模型。这一内容既是对初中学过的正比例、反比例、一次函数、二次函数等知识的系统升华，也为后续研究函数的单调性、奇偶性等性质以及指数函数、对数函数等具体函数模型奠定理论基础，在高中数学课程体系中起着承前启后的关键作用。 三、学情分析 高一学生在初中阶段已经学习了函数的变量定义，熟悉一次函数、二次函数等具体函数的图象与性质，具备了一定的数形结合意识。但初中阶段的函数定义侧重于变量间的依赖关系，学生对抽象符号f(x)的理解尚浅，容易将f(x)误解为f与x的乘积，对定义域、值域作为集合的本质认识不够深刻。此外，从变量观点过渡到集合-对应观点需要较高的抽象思维水平，部分学生在判断两个函数是否为同一个函数时，容易只关注解析式形式而忽略定义域的一致性，这是本节课教学需要重点突破的障碍。 四、课程标准及目标分析 1. 知识与技能目标：理解函数的集合-对应定义，能识别定义域、值域与对应关系三个核心要素，初步形成数学抽象与逻辑推理素养；掌握解析法、列表法、图象法三种表示方法，能根据实际情境合理选择表示方式，提升数学建模与直观想象能力。 2. 过程与方法目标：通过从变量观点到对应关系观点的认知跃迁，体会数学概念发展的逻辑必然性，在判定同一个函数和求解定义域的过程中养成严谨求实的数学思维习惯。 五、教学重难点 教学重点：函数的集合-对应定义，定义域与值域的求法，三种表示方法，分段函数的概念理解。 教学难点：从变量观点到对应关系观点的认知过渡，同一个函数的判定方法，抽象符号f(x)的理解与应用。 六、教学环境与工具 1、网络多媒体教室：配备交互式一体机与师生投屏系统，支持课堂即时展示学生书写成果与动态演示过程。 2、几何画板软件、投屏软件：利用几何画板动态绘制函数图象，帮助学生直观感知对应关系与图象形态之间的联系；投屏软件用于实时展示学生练习与讨论结果，增强课堂互动反馈。 七、教学过程 环节1：情境导入，引发认知冲突 教师活动 学生活动 设计意图 出示两个实例：实例一是某物体下落高度h与时间t满足h=gt²；实例二是某班三位同学的学号与身高对应表。提问：这两个实例是否都能用初中的变量定义来描述y是x的函数？当对应关系无法用一个解析式写出来时，初中定义是否足够？ 观察两个实例，尝试用初中变量定义进行判断。发现实例二没有解析式，但学号与身高之间确实存在对应关系，由此体会到变量定义的局限性，产生认知冲突。 通过呈现无法用单一解析式表达的实例，打破学生原有认知平衡，激发探究更一般函数定义的内驱力。 环节2：建构概念，从变量到对应 师：问题1：初中我们说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么称y是x的函数。这个定义强调的是哪个关键词？ 生：强调每一个确定的值和唯一确定的值与其对应，核心是对应。 师：问题2：既然核心是对应，我们能否用集合的语言来重新表述函数？给定两个非空实数集A与B以及对应关系f，需要满足什么条件才能称f为定义在集合A上的一个函数？ 生：对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应。 师：问题3：此时如何用数学符号表示这个函数？其中x和y分别称为什么？ 生：记作y=f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量。 师：问题4：如果自变量取值a，由对应关系f确定的值称为什么？所有函数值组成的集合又称为什么？ 生：由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)。所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域。 教师板书函数定义：一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围（即数集A）称为这个函数的定义域。如果自变量取值a，则由对应关系f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)。所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域。教师追问：对应关系f是否只能用字母f表示？学生回答：也可以用g、h等其他小写英文字母表示。 环节3：辨析概念，判定同一个函数 师：问题5：给定两个函数y=x与y=，它们的定义域分别是什么？对应关系是否一致？ 学生思考后回答。 通过追问引导学生从定义域和对应关系两个维度比较函数。 生：y=x的定义域是R，y=的定义域也是R，因为x²≥0对一切实数x成立。 学生独立计算并口答。 巩固二次根式被开方数非负的知识点。 师：问题6：那么的值与x有什么关系？ 学生讨论。 引导学生发现对应关系的本质。 生：当x≥0时=x，当x<0时=−x，所以=|x|。 学生分组讨论后派代表陈述。 将根式化简与绝对值建立联系。 师：问题7：y=x与y=|x|的对应关系相同吗？ 学生思考。 引出同一个函数的判定方法。 生：不相同。当x=−1时，y=x得−1，而y=|x|得1，函数值不等。 学生举例验证。 用具体数值验证对应关系不同。 师：问题8：那么y=与g(x)=|x|是否是同一个函数？ 学生比较。 引出同一个函数的判定标准。 生：它们的定义域都是R，且=|x|，对应关系也相同，所以是同一个函数。 学生口答。 巩固判定方法。 师：一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数。 学生记录笔记。 明确教材口径表述。 师：问题9：如果不会产生歧义，函数的定义域通常如何处理？ 学生回答。 引出定义域省略约定。 生：函数的定义域通常省略不写，约定函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。 学生齐答。 明确省略约定。 师：问题10：根据这一约定，求定义域时常用到哪些依据？ 学生回忆。 引出定义域求解依据。 生：分式中分母不能为零；二次根式中的被开方数要大于或等于零。 学生口答。 梳理求定义域的常用依据。 师：例1：求函数f(x)=+的定义域。 学生独立求解。 巩固定义域求法。 生：要使函数有意义，需x−2>0且x−3≠0，即x>2且x≠3，所以定义域为{x|x>2且x≠3}。 学生板演。 检验求解过程。 师：追问1：为什么x−2不能等于0？ 学生思考后回答。 通过追问强化分母不为零与被开方数非负的综合应用。 生：因为在分母上，分母不能为零，所以x−2≠0；又因为x−2在根号内，被开方数要大于或等于零，所以x−2≥0。综合得x−2>0，即x>2。答案：定义域为{x|x>2且x≠3}。 学生完整陈述。 规范书写定义域的集合表示。 环节4：表示方法，三法并举 师：你能将函数的三种表示方法进行数学模型化归纳吗？ 培养学生归纳总结能力。 生：数学模型化：解析法——用数学表达式表示两个变量之间的函数关系；列表法——列出表格表示两个变量之间的函数关系；图象法——用图象表示两个变量之间的函数关系。 师：函数图象F的集合表示是什么？ 引导学生从集合角度认识图象。 生：函数图象F={(x,y)|y=f(x)，x∈A}。 师：例2：已知函数f(x)的图象由下图给出，请分别用解析法、列表法描述这个函数。 培养学生三种表示方法的转换能力。 生：观察图象得f(−2)=0，f(−1)=1，f(0)=2，f(1)=1，f(2)=0。解析式为f(x)=−|x|+2，x∈[−2,2]。 师：追问2：这个图象对应的函数定义域是什么？值域是什么？ 通过追问深化定义域与值域的理解。 生：定义域为[−2,2]，值域为[0,2]。 师：例3：画出函数f(x)=x²−2x−3的图象，并写出其定义域与值域。 巩固描点作图法。 生：定义域为R。配方得f(x)=(x−1)²−4，当x=1时取得最小值−4，所以值域为[−4,+∞)。 师：追问3：值域如何从图象上直观读出？ 培养数形结合意识。 生：图象最低点纵坐标为−4，向上无限延伸，所以值域为[−4,+∞)。 师：三种表示方法各有何优缺点？ 培养比较分析能力。 生：解析法简明精确，便于运算和推导，但不直观；列表法无需计算直接查表，但数据有限；图象法直观呈现变化趋势，但不便于精确计算。 师：例4：某市出租车收费标准为：起步价3公里内10元，超过3公里后每公里2元。写出车费y（元）与行驶里程x（公里）之间的函数关系。 引入分段函数概念。 生：当0<x≤3时y=10；当x>3时y=10+2(x−3)=2x+4。 师：追问4：这个函数能用一个解析式表示吗？ 引出分段函数定义。 生：不能，需要分情况表示。 师：一般地，如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。 明确教材定义。 生：记录定义。 师：例5：已知分段函数f(x)=当x>0时为x+1，当x=0时为0，当x<0时为x−1。求f(2)，f(0)，f(−3)的值。 巩固分段函数求值。 生：f(2)=2+1=3，f(0)=0，f(−3)=−3−1=−4。 师：追问5：f(2)为什么代入x+1而不是x−1？ 强化自变量取值区间的判断。 生：因为2>0，所以代入x>0时的对应方式x+1。 师：介绍取整函数y=[x]（高斯取整函数）：不超过x的最大整数。例如[2.7]=2，[−1.3]=−2。这是一个特殊的分段函数。 拓展函数模型。 生：理解并记录取整函数定义。 师：课堂练习：已知f(x)=2x²−3，求f(−1)，f(2)，f(a)的值。 巩固函数值求解。 生：f(−1)=2×(−1)²−3=−1，f(2)=2×2²−3=5，f(a)=2a²−3。答案：f(−1)=−1，f(2)=5，f(a)=2a²−3。 例3的函数f(x)=x²−2x−3的图象如下图所示，其零点为x=−1和x=3，对称轴为x=1。 环节5：拓展延伸，求解析式方法 师：例6：已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x+3，求f(x)的解析式。 学生独立完成，老师投屏展示，提高参与度。 巩固待定系数法。 生：设f(x)=kx+b，则f(f(x))=k(kx+b)+b=k²x+kb+b。由k²x+kb+b=4x+3得k²=4，kb+b=3。当k=2时2b+b=3，b=1，f(x)=2x+1；当k=−2时−2b+b=3，b=−3，f(x)=−2x−3。答案：f(x)=2x+1或f(x)=−2x−3。 师：追问6：k²=4为什么有两个解？ 学生思考后回答。 强化分类讨论意识。 生：因为k=2或k=−2都满足k²=4，需要分别检验。 师：例7：已知f(x+1)=x²+2x+3，求f(x)的解析式。 学生独立完成。 巩固换元求解析式方法。 生：令t=x+1，则x=t−1，代入得f(t)=(t−1)²+2(t−1)+3=t²+2。所以f(x)=x²+2。答案：f(x)=x²+2。 环节6：课堂小结 师：追问7：本节课我们从哪几个方面学习了函数概念？ 学生思考后回答。 通过追问梳理本节课知识脉络。 生：从集合与对应观点重新定义了函数，学习了定义域、值域、函数值等概念，掌握了三种表示方法，认识了分段函数和取整函数。 师：问题11：函数的集合-对应定义与初中变量定义有什么区别和联系？ 学生讨论。 深化概念理解。 生：联系是都强调对应；区别在于集合观点用两个非空实数集A与B及对应关系f来刻画，更抽象更一般。 师：问题12：如何判定两个函数是否为同一个函数？ 学生口答。 巩固判定方法。 生：定义域相同且对应关系也相同。 师：问题13：求定义域的常用依据有哪些？ 学生回忆。 巩固定义域求法。 生：分式中分母不能为零；二次根式中的被开方数要大于或等于零。 师：问题14：函数有哪三种表示方法？ 学生齐答。 梳理表示方法。 生：解析法、列表法、图象法。 师：问题15：什么是分段函数？ 学生回答。 巩固分段函数概念。 生：在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式。 师：问题16：取整函数y=[x]的含义是什么？ 学生口答。 巩固取整函数。 生：不超过x的最大整数。 师：问题17：函数图象F的集合表示是什么？ 学生回答。 巩固图象的集合表示。 生：F={(x,y)|y=f(x)，x∈A}。 师：问题18：对应关系f只能用字母f表示吗？ 学生回答。 明确符号约定。 生：也可以用g、h等其他小写英文字母表示。 师：问题19：定义域省略约定是什么？ 学生回答。 巩固省略约定。 生：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。 师：问题20：求解析式有哪些方法？ 学生回忆。 梳理求解析式方法。 生：待定系数法；换元法。 师：问题21：f(x)与f(a)有什么区别？ 学生讨论。 辨析符号含义。 生：f(x)是函数的符号表示，x是自变量；f(a)是自变量取值a时对应的函数值，是一个确定的数。 师：问题22：y=与g(x)=|x|是同一个函数吗？ 学生回答。 巩固同一个函数判定。 生：是。定义域都是R，且=|x|，对应关系相同。 师：问题23：用信息技术作函数图象用什么软件？ 学生回答。 了解信息技术工具。 生：GeoGebra。 师：问题24：常数函数有什么特点？ 学生思考。 了解特殊函数。 生：函数值恒为常数，如f(x)=c。 师：问题25：描点作图法的基本步骤是什么？ 学生回忆。 梳理作图步骤。 生：列表、描点、连线。 师：问题26：f(f(x))=4x+3中，设f(x)=kx+b，为什么k²=4？ 学生回忆。 巩固待定系数法。 生：因为f(f(x))=k(kx+b)+b=k²x+kb+b，与4x+3比较系数，x的系数为k²=4。 师：问题27：换元法求f(x)时，令t=x+1需要注意什么？ 学生思考。 巩固换元法。 生：需要注意新变量t的范围与原变量x的范围的对应关系，最终将t换回x。 师：问题28：本节课的核心思想方法是什么？ 学生讨论。 提升思想方法。 生：从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合。 师：问题29：函数定义中唯一确定是什么含义？ 学生回答。 深化定义理解。 生：集合A中每一个x在B中只有唯一的y与之对应，不能有多个。 师：问题30：值域是B的子集吗？ 学生思考。 辨析值域与集合B的关系。 生：是。值域是所有函数值组成的集合，而函数值都在集合B中，所以值域是B的子集。 师：问题31：分段函数是一个函数还是多个函数？ 学生回答。 澄清常见误解。 生：是一个函数，只是在不同区间有不同的对应方式。 师：问题32：[2.7]和[−1.3]分别等于多少？ 学生口算。 巩固取整函数。 生：[2.7]=2，[−1.3]=−2。 师：问题33：出租车计费问题中，x=3时y等于多少？ 学生计算。 巩固分段函数求值。 生：y=10。 师：问题34：f(x)=x²−2x−3的值域是什么？ 学生回忆。 巩固值域求法。 生：[−4,+∞)。 师：问题35：本节课你还有什么疑问？ 学生自由提问。 查漏补缺。 生：暂无疑问。 师：总结：函数是高中数学的核心概念，集合-对应观点的引入使函数定义更加精确和一般化。掌握定义域、值域的求法、三种表示方法、分段函数和同一个函数的判定是本节课的重点。 学生记录。 整体提升。 生：记录总结笔记。 环节7：布置作业 （一）基础类作业（必做） 教科书第127页习题 分层次布置作业，巩固基础。 1. 求下列函数的定义域：f(x)=+。答案：{x|x≥−2且x≠1}。 （一）基础类作业（必做） 教科书第127页习题 分层次布置作业，巩固基础。 2. 已知f(x)=3x²−1，求f(2)，f(a)，f(x+1)的值。答案：f(2)=11，f(a)=3a²−1，f(x+1)=3(x+1)²−1=3x²+6x+2。 （一）基础类作业（必做） 教科书第127页习题 分层次布置作业，巩固基础。 3. 判断下列各组函数是否为同一个函数：y=x与y=（x≥0）。答案：定义域不同，前者为R，后者为[0,+∞)，不是同一个函数。 （一）基础类作业（必做） 教科书第127页习题 分层次布置作业，巩固基础。 4. 已知f(x+1)=x²−1，求f(x)的解析式。答案：令t=x+1，x=t−1，f(t)=(t−1)²−1=t²−2t，f(x)=x²−2x。 （一）基础类作业（必做） 教科书第127页习题 分层次布置作业，巩固基础。 5. 画出函数f(x)=|x|的图象，写出定义域与值域。答案：定义域为R，值域为[0,+∞)。 （一）基础类作业（必做） 教科书第127页习题 分层次布置作业，巩固基础。 6. 写出取整函数y=[x]在x=3.5和x=−2.1处的函数值。答案：[3.5]=3，[−2.1]=−3。 （二）提高类作业（选做） 补充习题 拓展提升。 7. 已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=9x+8，求f(x)。答案：设f(x)=kx+b，f(f(x))=k²x+kb+b=9x+8。k²=9，k=3或k=−3。当k=3时3b+b=8，b=2，f(x)=3x+2；当k=−3时−3b+b=8，b=−4，f(x)=−3x−4。 （二）提高类作业（选做） 补充习题 拓展提升。 8. 判断y=与g(x)=|x|是否为同一个函数，并说明理由。答案：是。定义域均为R，且=|x|，对应关系相同。 （二）提高类作业（选做） 补充习题 拓展提升。 9. 某地阶梯电价规定：每月用电不超过100度时每度0.5元，超过100度不超过200度时每度0.6元，超过200度时每度0.8元。写出电费y（元）与用电量x（度）的函数关系。答案：当0<x≤100时y=0.5x；当100<x≤200时y=50+0.6(x−100)=0.6x−10；当x>200时y=50+60+0.8(x−200)=0.8x−50。 （二）提高类作业（选做） 补充习题 拓展提升。 10. 用GeoGebra画出函数f(x)=x³−3x的图象，观察其零点。答案：零点为x=−，x=0，x=。 （二）提高类作业（选做） 补充习题 拓展提升。 11. 已知函数f(x)=，求f(0)，f(3)，f(1)的值。答案：f(0)==−2，f(3)==4，f(1)==−4。 （二）提高类作业（选做） 补充习题 拓展提升。 12. 已知f(x)=2x+1，g(x)=x²−3，求f(g(2))和g(f(2))的值。答案：g(2)=1，f(g(2))=f(1)=3；f(2)=5，g(f(2))=g(5)=22。 八、板书设计 课题：函数及其表示方法 一、函数的集合-对应定义 给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。 二、核心要素 自变量x，因变量y，定义域A，函数值f(a)，值域{y|y=f(x)，x∈A}。 三、同一个函数的判定 定义域相同且对应关系也相同。 四、三种表示方法 解析法、列表法、图象法。函数图象F={(x,y)|y=f(x)，x∈A}。 五、分段函数 在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式。 六、例题与练习区域 九、教学反思 本节课从初中函数的变量定义出发，通过实例引发认知冲突，引导学生建构集合-对应观点下的函数定义。教学过程中，学生对于从变量观点到对应关系观点的过渡存在一定困难，特别是对抽象符号f(x)的理解需要反复强化。在判定同一个函数环节，部分学生仍容易忽略定义域的一致性，只比较解析式形式，需要在后续练习中持续纠正。分段函数的引入借助生活实例效果良好，学生能够直观理解不同区间不同对应方式的合理性。整体而言，课堂环节紧凑，师生互动充分，但时间略显紧张，后续教学可适当压缩小结环节的追问数量，将更多时间留给学生独立练习与展示。 十、教学评价 本节课通过课堂提问、板演练习与课后作业三个维度进行教学评价。课堂提问环节重点评价学生对函数集合-对应定义的理解程度与语言表述的准确性；板演练习环节重点评价学生求解定义域、判定同一个函数以及求函数值的运算过程与书写规范；课后作业环节通过分层设计评价不同层次学生对知识的掌握情况，基础类作业侧重定义域求解与函数值计算，提高类作业侧重分段函数建模与换元法求解析式，确保全面诊断学情并及时反馈调整。 学科网（北京）股份有限公司 $