7.7 空间中展开图、截面与动点问题 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 该专项聚焦空间展开图、截面与动点问题，以“方法归纳+分层典例”构建体系，通过交轨法、平行线法等核心方法提升空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识复习|2种作截面方法+球的截面性质|相交线法、平行线法作截面；球的截面性质|从正方体截面作法到球的截面性质，形成“特殊到一般”的空间几何认知链条| |典型例题|6类典例共30题|展开图距离最值用平面化转化，截面图形判断用交轨法，动点轨迹结合空间几何性质|按“基础方法→图形判断→计算应用→动态探究”递进，实现知识从理解到综合运用的迁移|

· 7.7 空间中展开图、截面与动点问题（精讲） 第一部分：知识复习 正方体截面的确定 (1)相交线法（交轨法）作截面 如图，要作过点的截面，先延伸所在的平面(图中平面和平面)，并延长线段找交点(图中点)，连接，分别交几何体的棱于点和点，这样我们就找到了截面的顶点，连接这些点使其形成一个封闭的多边形，这个多边形就是过点的截面. (2)平行线法作截面 如图，要作过点的截面，我们知道，平面，平面//平面，在平面上，过点作的平行线，交线段的延长线于点，交线段的延长线于点，连接和，分别交几何体的棱为，所以多边形即为截面 球的截面 两个性质： ①球的任何截面是圆面； ②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； 球心到截面距离、球半径、截面圆半径，则有 第二部分：典型例题 典例一：空间中展开图的距离最值问题 1．（25-26高三上·四川凉山·期末）在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于底面的对称点，则，所求最小值为点到直线的垂直距离，分析出点到直线的竖直距离和水平距离，即可利用勾股定理求得结果. 【详解】由题知，作关于底面的对称点，    则，所以， 所以的最小值为点到直线的垂直距离， 因为到的距离为， 所以到平面的距离为， 又， 所以的最小值为. 即的最小值为. 2．（25-26高三上·福建宁德·期末）在正四面体中，，是的中点，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四面体表面展开，把问题转化成两点之间线段最短，再利用余弦定理求解. 【详解】如图， 保持不变，将，如图展开，则线段的长度为所求. 在中，，，， 由余弦定理，. 所以. 即的最小值为. 3．（25-26高三上·河北唐山·期末）如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过补全圆台进行侧面展开来求得最短路径. 【详解】因为上底半径，下底半径，高， 所以母线. 将圆台补为大圆锥，顶点为，因为，所以，解得. 即大圆锥母线长. 故展开扇形圆心角，图形如下所示：    故为最短路径，. 4．（25-26高三上·上海·期末）如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【分析】通过展开图，计算弧长和圆心角，蚂蚁所爬的最短路径为展开图中直线的距离，通过余弦定理直接计算边长. 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 5．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【答案】 【分析】将此圆柱沿剪开并展开，利用展开图，在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为, 由题意可知此圆柱的底面半径，高， 所以， 又因为是中点， 所以, 所以, 在中， 6．（25-26高三上·福建·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    典例二：空间多面体的截面图形 7．（25-26高三上·山东青岛·期中）（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【分析】举出符合题意的截面图形的例子即可得. 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 8．（2026·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得，进而，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，设，分别延长交于点，此时， 连接交于，连接， 设平面与平面的交线为，则， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，设，则， 此时，故，连接， 所以五边形为所求截面图形， 故选：C． 9．（25-26高三上·全国·阶段检测）（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图（1）； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图（2）； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图（3）． 故选：ABC. 10．（25-26高三上·重庆北碚·阶段检测）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 【答案】(1) 截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形, 如图，取上一点，连结，即为截面三角形；    如图，取线段上，靠近点处的一点，延长， 连结，，连结，则四边形为截面四边形；和    取上靠近点的四等分点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结并延长，交于点， 连结并延长，交于点，连结，如图五边形为截面五边形.    如图，延长，交的延长线交于点，取上靠近点的三等分点， 连结，并延长，交于点，连结，交于点，六边形为截面六边形.    (2) 【分析】（1）根据两平面相交，只有一条交线，以及确定平面的依据，即可作出不同的截面图形； （2）首先根据确定平面的依据，作出截面，方法一，根据作图的过程，可以选择减法求截面的面积，方法二，根据截面为等腰梯形，根据梯形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）如图：连接PQ所在直线交DC延长线于X，交的延长线于Z； 连接直线MX交BC于R，交DA延长线于Y； 连接YZ分别交，于S，T．则六边形PQRMST即为截面． ∵P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）， ∴，，， 可得，，，， 又，， 所以，，，， 又，M为AB的中点，，，所以YDZ为等腰直角三角形， 所以，，，，， ∴为等腰三角形，等边上的高为，， ，， 所以.    方法二：可证明PQRM与PTSM是全等的等腰梯形，，，， 所以等腰梯形PQRM的高为， 所以． 典例三：空间多面体的截面的相关计算 11．（25-26高三上·广东茂名·期末）在正四棱台中，，，，M为的三等分点（靠近），则过点M且与直线，BC都平行的平面截棱台所得截面周长为______． 【答案】 【分析】先根据平行关系作出截面，再利用相似关系求截面的两条底边，并在侧面等腰梯形中求角，最后由余弦定理求截面的腰长． 【详解】连接 ． 过点 作∥ ，交 于点 ； 过点 作∥ ，交 于点 ； 过点 作 ∥，交 于点 ，连接 ． 因为 ∥ ，∥ ∥∥，且 ， 是平面 内的两条相交直线， 所以平面 ∥ 平面 ． 平面 内含直线 ，且∥ ，故平面 与直线 ， 都平行，四边形 即为所求截面． 点 为 上靠近 的三等分点，所以 在三角形 中，∥，所以 ，从而 由 ，得 在等腰梯形 中，∥ ，且 ，所以 又因为 ∥，且 ， 分别在正方形 的边 ， 上，所以 设等腰梯形 的高为 ，则 因此 因为 为锐角，所以 ，进而 正四棱台的相邻侧面全等，故 在三角形 中，由余弦定理， 代入 ，，得 所以 由正四棱台的对称性，． 因此截面周长为 12．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在棱长为6的正方体中，，，，，，分别是，，，，的中点，若存在过点，的平面与平面平行，则平面截该正方体得到的截面图形的周长为_________． 【答案】 【分析】设平面与，，，的交点为，，，，因为平面平面，可得，从而确定为中点，同理得其他点都是所在棱中点，可得截面为正六边形，即可求其周长. 【详解】设平面与，，，，的交点为，，，. 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以. 连接，在中，，分别是，的中点，所以. 所以. 在中，是的中点，所以为中点. 所以. 同理可得. 所以平面截该正方体得到的截面图形的周长为. 13．（25-26高三上·广西贵港·期末）在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______. 【答案】 【分析】设平面交于点，可知平面截正四棱柱所得截面为平面，推导出点为的中点，计算得知四边形是边长为的菱形，并求出菱形的对角线长，由此可求得该截面的面积． 【详解】 在正四棱柱中， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可证， 所以四边形是平行四边形， 在中，，， 同理， 截面是边长为的菱形， ，， 所以截面面积． 14．（25-26高三上·广东江门·期末）一棱长为2的正四面体木块如图所示，动点在平面内（含边界），过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面的面积最大值为________． 【答案】1 【分析】作出过点且平行于直线和的截面并确定截面形状，令，求出截面面积的函数关系并求出最大值. 【详解】过点作交分别于，分别过点作的平行线，交分别于， 连接，则四边形是过点且平行于直线和的截面， 由，平面，平面，得平面， 而平面，平面平面，则， 又，因此四边形是平行四边形， 由是正四面体，得，则，平行四边形是矩形， 令，又正四面体的棱长为2， 则，又都是正三角形， 于是，矩形的面积， 当且仅当时取等号，所以截面的面积最大值为1. 15．（25-26高三上·广东韶关·期末）在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点，为棱上的点，且，则过，，三点的平面交正方体所得截面的周长为__________. 【答案】 【分析】在线段上取点，画直线交的延长线分别于点，连接交于点，连接交于点，可得六边形即为过点，，的截面，解三角形求其周长即可. 【详解】在线段上取点，使得， 则，所以， 因为，分别为棱的中点，所以，又， 所以， 如图，画直线交的延长线分别于点，连接交于点， 连接交于点，连接，， 则六边形即为过点，，的截面， 因为，所以，又， 所以， 因为，分别为棱的中点，所以， 因为，， 所以，所以， 因为，， 所以，又， 所以，所以，， 所以，， 同理可得，， 所以截面图形的周长为．    16．（25-26高三上·福建泉州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过三点的截面将正方体分为两部分，则较小部分几何体的体积为______. 【答案】 【分析】先将截面在正方体各个面上的交线画出来，并将位于截面下方的几何体的体积计算出来，即可得出答案. 【详解】因为正方体的棱长为2，所以正方体的体积为． 取中点连结，因为且，所以与必相交，分别连结，并延长相交于点， 因为平面，平面，且平面平面， 所以在上，所以，因为， 所以较小部分几何体的体积为． 典例四：空间球体中截面问题 17．（25-26高三上·安徽六安·期末）如图，三棱锥的外接球的体积为，为的中点，平面，，则球被平面截得的截面面积为________. 【答案】 【分析】由题意可得为等边三角形，作出辅助线，找到外接球球心的位置，并求得到平面的距离；根据球的体积求出球的半径，由勾股定理求出截面圆的半径，从而得到截面面积. 【详解】平面，，∵为的中点，， 又，是等边三角形. 取中点为，连接交于，则是外心. 设为外心，连接，，， 易知平面，平面， 则四边形是矩形，. 连接，，设外接圆半径，设球半径为. 球的体积为，，即. 在中，， 球被平面截得的截面面积为. 18．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设截面圆半径为，由截面面积，解得， 设正方体棱长为，由正方体棱长关系可得， 即是等边三角形，由正弦定理可得其外接圆半径， 故，解得， 设正方体外接球半径为，则其直径等于正方体对角线，即 ，解得， 球的体积为． 19．（2026·天津南开·二模）已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由球的体积求出外接球半径，再结合正方体外接球性质求出棱长；接着建立坐标系，求出平面的法向量，利用求出球心到平面的距离；最后利用球的截面性质算出截面圆半径，进而得到截面面积． 【详解】 由，得， 设正方体的棱长为，则，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，，，， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，取，得， 球心到平面的距离， 设平面截球所得的截面的半径为，则， 所以平面截球所得的截面面积． 20．（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 【答案】 【分析】根据球的半径、球心到截面的距离及截面圆半径之间的关系求解即可. 【详解】因为， 所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为， 所以外接圆的半径为. 又球心到截面的距离， 根据球的截面性质得，，整理得. 所以球的表面积为. 故答案为：. 典例五：动点中轨迹的问题 21．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 【答案】 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 22．（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 【答案】ABD 【详解】根据三棱锥体积公式计算判断A，应用向量关系证明线线平行判断B，应用线面平行及边长计算判断C，结合墙角模型补成长方体计算判断D. 【分析】对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2， 所以，A正确. 对于B，若，又，且平面， 则， 点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧， 的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，取线段的中点，线段的中点， 当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， ，，平面，所以平面平面， 平面，平面， 此时有，，，， 所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误. 对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体， 则直径长为， 则球的表面积为，D正确. 23．（25-26高三上·辽宁大连·期末）（多选）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中错误的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】BCD 【分析】利用线面平行的判定及性质，结合三棱锥的体积公式判断A；利用球面的截面性质计算判断B；将与置于同一平面内，结合余弦定理求出最小值判断C；确定球心位置并求出球半径，进而求出球的体积判断D. 【详解】对于A：正方体的对角面为矩形，则， 而平面，平面，于是平面 ， 所以线段上点到平面的距离为定值，而面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，故A 正确； 对于B：四面体是正四面体，棱长，正 的外接圆半径， 则点到平面的距离， 由 ，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆， 该圆半径为，因此点的轨迹长度为，故B错误； 对于C：将与沿直线展开到同一平面内，如图所示： 易得，当且仅当为线段与交点时取等号， 由，，得，在正中，， 则， 由余弦定理得：， 因此的最小值为，故C错误； 对于D：在三棱锥中，，正的边长为 ， 取中点，连接，则，，，， 而，于是，， 由于，平面，则平面，同理平面， 令，的外心分别为 ，则 分别在线段 上， 由选项B知：， 在中，，由正弦定理得，则， 令三棱锥外接球球心为，连接，则 平面， 平面，因此，， 所以四边形 为矩形：, 三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积为，故D错误. 24．（25-26高三上·河北唐山·期末）（多选）已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若与所成角为，则点的轨迹长度为 D．若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】利用线线垂直可证明平面，可判断A；将三角形沿转动到与在同一平面内，可求得最短距离，可判断B；与所成角为，可得点的轨迹为四分之一个圆锥，计算求得轨迹长，可判断C；三棱锥外接球的即为四棱锥的外接球，计算可求得外接球的表面积，可判断D. 【详解】对于A：由正方形，可得， 由正方体，可得平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确；    对于B：将三角形没转动到与在同一平面内，如图所示： 当在同一直线上时，最小，最小值为. 又三角形为等腰直角三角形，为边长为的等边三角形， 所以为的中点时，三点共线， 此时可得，， 所以的最小值为，故B错误；      对于C：因为，且与所成角为，所以与所成角为， 所以点的轨迹为四分之一个圆锥，点在平面内的轨迹为四分之一个圆， 在平面和平面内的轨迹均为线段， 记轨迹与的交点为， 由，可得四分之一圆弧的半径为， 故圆弧的长为， 两条线段长为，故点的轨迹长度为，故C正确；    对于D：当点是线段的中点，则三棱锥外接球即为四棱锥的外接球， 又因为，可得是四棱锥的外接球的直径， 又，所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D正确.    25．（25-26高二下·贵州黔东南·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（包括边界），则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点的轨迹长度是 C．当点在直线上运动时，的最小值是 D．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ABD 【分析】对A：由平面平行可得点到平面的距离为定值，结合体积公式即可得；对B：借助线面平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面平面，计算即可得点的轨迹长度；对C：将沿翻折到与在同一个平面，借助两点之间线段最短计算即可得；对D：画出截面图形后计算即可得. 【详解】对于A：平面平面，则点到平面的距离为定值2， 则为定值，故A正确； 对于B：如图1，分别取、中点、，连接， 则，且，又，故且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，有平面， 因为且都在平面内，所以平面平面， 因为平面平面， 所以点的轨迹是线段，其长度为，故B正确； 对于C：把沿翻折到与在同一个平面，如图2所示， 连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形， 是直角边为2的等腰直角三角形， 由对称性得， 即的最小值是，故C错误； 对于D：如图3，由B选项知，四边形就是平面截正方体所得的截面图形， 其周长为，故D正确. 26．（25-26高三上·山东临沂·期末）（多选）正方体的外接球的表面积为，则（    ） A． B． C．若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为 D．若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为 【答案】BC 【分析】A根据外接球半径计算；B利用基底计算；C设球心为，计算的最值；D利用球的性质，找出截面圆心再计算. 【详解】设外接球半径为，则，则，则，得， 故A错误； 设，则，故B正确； 设球心为，则， 因为， ，等号成立时同向， 故的最大值为，故C正确； 若点在四边形内， 因为平面，平面，所以， 则， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其长度为， 同理可得，当点在四边形、内时，其轨迹长度均为； 因为，所以其在四边形内的轨迹为点， 同理可得，点在四边形、内的轨迹分别为， 故点轨迹的长度为，故D错误. 典例六：动点中探究性的问题 27．（25-26高三上·广东深圳·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 【答案】ABD 【分析】取的中点E，的中点F，连接，，，，易得，，平面平面，故点M的轨迹为线段．对于A，易得平面，当M为线段中点时，，因为，所以；对于B，设直线与平面所成的角为，由平面知，在中，，即可求解；对于C，由的轨迹为线段，易得，所以与平面不平行，所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值；对于D，建系后写出向量的坐标，令，得的关系式，由的范围即可求出的范围，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，的中点F，连接，，，，    易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示．    则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示．    由平面知，， 在中，由，得，故B正确； 对于C，由的轨迹为线段，在正方体中，可知，所以与平面不平行， 又，点的轨迹为线段,所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，所以C错误； 对于D，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：    则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故D正确； 28．（25-26高三上·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，，，是正三角形. （i）求与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 连接交于点，连接. 四边形为菱形，为的中点. 为的中点， .       平面，平面        平面. (2)（i）（ii）存在点， 【分析】（1）连接交于点，连接，则，再由线面平行的判定定理可得平面； （2）（i）取中点为，连，由面面垂直的性质定理可得平面，根据线面角的定义即可求得与平面所成角的大小；（ii）假定存在点，使得到平面的距离为，利用等体积法求得，从而求得的值. 【详解】（1）略 （2）（i）取中点为，连，连接 四边形为菱形，，. 三角形为正三角形，. 平面平面，平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. 三角形和三角形都为正三角形，且， . 所以. 因为， 与平面所成的角为. （ii）由（i）知，在三角形中，， 在三角形中，，， . 假定存在点，使得到平面的距离为 ， 又， ， 又， ， 存在点，当时，使得点到平面的距离为. 29．（25-26高三上·河南信阳·期末）如图，正三棱柱中，为中点．    (1)求证：平面； (2)若； ①求直线与平面所成角的正切值； ②在上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)连交于，连， 为中点，为中点， ∴，而平面，平面， ∴平面. (2)①， ②存在，点在上靠近的三等分点， 由图知，二面角的平面角与二面角的平面角互补， 问题转化为是否存在点，使得二面角的余弦值为， 由为中点，为等边三角形，则， 由平面，平面，则， 由，平面，则平面， 又面，面，则，， 为二面角的平面角， 设，则，从而， ，即，即点在上靠近的三等分点.    【分析】（1）连交于，连，从而有，再由线面平行的判定证明结论； （2）①取中点，连，，根据已知及线面垂直的性质定理和判定定理，结合线面角的定义有为直线与面所成的角，进而求其正切值即可；②问题转化为是否存在点，使得二面角的余弦值为，利用已知和线面垂直的性质和判定、二面角的定义得为二面角的平面角，并判断余弦值是否为，即可得结论. 【详解】（1）略 （2）①取中点，连，， 为正三角形，且为中点， ， 正三棱锥中平面，平面，则， 由，平面， 平面，则为直线与面所成的角， 又面，则，且，， ， . ②略 30．（25-26高三上·广东深圳·期末）（多选）已知正方体的棱长为分别是的中点，点在正方体表面运动，且，设点均在动球的球面上，则（    ） A．四面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．点的轨迹长度为 D．球的表面积最大值为 【答案】AB 【分析】对于A，使用等体积法可得，由于为的中点，则三点共线，故，从而计算出体积；对于B，经过点与平面平行的平面为平面，平面与点在正方形内的轨迹存在两个交点，故存在点，使得平面，所以B正确；对于C，分析点G在正方体各个面内运动轨迹，分别计算出轨迹长度，求和即可判断；对于D，找到球的球心，计算出球半径的表达式，再求出球半径的变化趋势即可判断. 【详解】对于A，正方体的棱长为，则面对角线长为， 则正四面体的体积为， 因为为的中点，则三点共线， 则，故A正确； 对于B，因为，，所以四边形是平行四边形，则， 平面,平面，所以平面, 同理可得平面,由于平面， 所以平面平面，当若点在正方形内时，因为，， 所以在中，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆, 由于点到直线距离为，故线段与点的轨迹必有两个交点， 此时平面，平面平面， 所以平面，故B正确； 对于C，若点在正方形内，因为点均在动球的球面上， 当点在平面上时，点只能在的外接圆上，才能同时满足这两个条件； 设的外接圆半径为，圆心为，那么， 如图的外接圆与以为圆心，半径为2的圆在正方形内部无公共点， 即无法保证，又点均在动球的球面上， 故点在正方形内没有轨迹； 若点在正方形内，因为，，所以在中， 则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去除与边的交点），其轨迹长度为； 若点在正方形内，同理可得轨迹长度为； 若点在正方形内，因为，， 所以，,, 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其轨迹长度为； 若点在正方形内,轨迹为一个点； 若点在正方形内，同理可得轨迹为一个点； 综上，点的轨迹长度为，故C错误； 对于D，点均在动球的球面上，由于三点为定点， 故球心在经过的外心与平面垂直的直线上， 若点在正方形或内运动时， 当点越接近边或边即越接近与共圆的点时， 则过的球半径趋于无穷大，故D选项错误； 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ · 7.7 空间中展开图、截面与动点问题（精讲） 第一部分：知识复习 正方体截面的确定 (1)相交线法（交轨法）作截面 如图，要作过点的截面，先延伸所在的平面(图中平面和平面)，并延长线段找交点(图中点)，连接，分别交几何体的棱于点和点，这样我们就找到了截面的顶点，连接这些点使其形成一个封闭的多边形，这个多边形就是过点的截面. (2)平行线法作截面 如图，要作过点的截面，我们知道，平面，平面//平面，在平面上，过点作的平行线，交线段的延长线于点，交线段的延长线于点，连接和，分别交几何体的棱为，所以多边形即为截面 球的截面 两个性质： ①球的任何截面是圆面； ②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面； 球心到截面距离、球半径、截面圆半径，则有 第二部分：典型例题 典例一：空间中展开图的距离最值问题 1．（25-26高三上·四川凉山·期末）在正三棱柱中，，是平面上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建宁德·期末）在正四面体中，，是的中点，为线段上的一个动点，为线段上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北唐山·期末）如图，水平放置的圆台上底半径为1，下底半径为2，高为，一只蚂蚁从底部点沿侧面爬到中点，则它爬行路线的最短长度为（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期末）如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 5．（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 6．（25-26高三上·福建·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 典例二：空间多面体的截面图形 7．（25-26高三上·山东青岛·期中）（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 8．（2026·全国·模拟预测）已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 9．（25-26高三上·全国·阶段检测）（多选）在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是（　　） A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 10．（25-26高三上·重庆北碚·阶段检测）如图，在棱长为6的正方体中，P为的中点，Q为的一个三等分点（靠近C）．    (1)经过P，Q两点作平面，平面截正方体所得截面可能是n边形，请根据n的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；    (2)若M为AB的中点，求过点P，Q，M的截面的面积． 典例三：空间多面体的截面的相关计算 11．（25-26高三上·广东茂名·期末）在正四棱台中，，，，M为的三等分点（靠近），则过点M且与直线，BC都平行的平面截棱台所得截面周长为______． 12．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在棱长为6的正方体中，，，，，，分别是，，，，的中点，若存在过点，的平面与平面平行，则平面截该正方体得到的截面图形的周长为_________． 13．（25-26高三上·广西贵港·期末）在正四棱柱中，，点是棱的中点，平面截正四棱柱所得截面的面积为______. 14．（25-26高三上·广东江门·期末）一棱长为2的正四面体木块如图所示，动点在平面内（含边界），过点将木块锯开，使截面平行于直线和，则截面的面积最大值为________． 15．（25-26高三上·广东韶关·期末）在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点，为棱上的点，且，则过，，三点的平面交正方体所得截面的周长为__________. 16．（25-26高三上·福建泉州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过三点的截面将正方体分为两部分，则较小部分几何体的体积为______. 典例四：空间球体中截面问题 17．（25-26高三上·安徽六安·期末）如图，三棱锥的外接球的体积为，为的中点，平面，，则球被平面截得的截面面积为________. 18．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知正方体的8个顶点都在球的球面上，且过，，三点的平面截球所得截面面积为，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·天津南开·二模）已知正方体的顶点都在体积为的球的球面上，分别为棱的中点，则平面截球所得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是_______. 典例五：动点中轨迹的问题 21．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 22．（25-26高三上·福建泉州·期中）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 23．（25-26高三上·辽宁大连·期末）（多选）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中错误的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球体积为 24．（25-26高三上·河北唐山·期末）（多选）已知正方体的棱长为2，点在该正方体表面上移动．下列说法正确的有（   ） A．若点在线段上，则 B．若点在线段上，则的最小值为 C．若与所成角为，则点的轨迹长度为 D．若点是线段的中点，则三棱锥外接球的表面积为 25．（25-26高二下·贵州黔东南·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（包括边界），则（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点的轨迹长度是 C．当点在直线上运动时，的最小值是 D．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 26．（25-26高三上·山东临沂·期末）（多选）正方体的外接球的表面积为，则（    ） A． B． C．若点在正方体外接球的表面上，则的最大值为 D．若点在正方体的表面上，，则点轨迹的长度为 典例六：动点中探究性的问题 27．（25-26高三上·广东深圳·期末）（多选）如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 28．（25-26高三上·天津滨海新区·期末）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，，，是正三角形. （i）求与平面所成角的大小； （ii）棱上是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 29．（25-26高三上·河南信阳·期末）如图，正三棱柱中，为中点．    (1)求证：平面； (2)若； ①求直线与平面所成角的正切值； ②在上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，指出的位置，若不存在，说明理由． 30．（25-26高三上·广东深圳·期末）（多选）已知正方体的棱长为分别是的中点，点在正方体表面运动，且，设点均在动球的球面上，则（    ） A．四面体的体积为 B．存在点，使得平面 C．点的轨迹长度为 D．球的表面积最大值为 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $