课时测评57 球的切、接问题（word练习）-【金版新学案】2026年高考数学高三总复习大一轮复习讲义（人教A版）

课时测评57　球的切、接问题 (时间：50分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—10题，每小题5分，共50分) 1.已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为(　　) A.π B.4π C.8π D.12π 答案：B 解析：因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2，故该球体的直径2R＝＝2，所以R＝.故该球体的体积V＝πR3＝4π.故选B. 2.在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝1，PB＝2，PC＝3，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　) A.π B.56π C.π D.14π 答案：D 解析：如图，将三棱锥P-ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球的半径为R，则4R2＝(2R)2＝PA2＋PB2＋PC2＝14，所以球的表面积为S＝4πR2＝14π.故选D. 3.已知圆台O1O2上底面圆O1的半径为2，下底面圆O2的半径为2，圆台的外接球的球心为O，半径为R，且球心在圆台的轴O1O2上，满足O1O＝3OO2，则圆台O1O2的外接球的表面积为(　　) A.32π B.34π C.35π D.38π 答案：B 解析：由题知O1O＝，OO2＝，且O1O＝3OO2，得R2－4＝9R2－72，解得R2＝，所以球O的表面积为4πR2＝34π.故选B. 4.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案：C 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆☉O1和外接圆☉O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意得☉O1的半径为r＝1，所以△ABC的边长为2，所以圆锥的底面半径为，高为3，所以V＝×π×3×3＝3π.故选C. 5.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　) A.6 B.12 C.18 D.24 答案：C 解析：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3＝18.故选C. 6.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为(　　) A.π B.π C.4π D.8π 答案：A 解析：将该多面体放入正方体中，如图所示.由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线长，即2R＝，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝π.故选A. 7.(多选)在正四棱锥P-ABCD中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为2，则下列说法正确的是(　　) A.正四棱锥外接球的表面积是 B.正四棱锥内切球的体积是 C.正四棱锥的体积为4 D.正四棱锥外接球的半径R与内切球的半径r之比为 答案：BD 解析：如图，O1为底面ABCD的中心，O为正四棱锥P-ABCD的外接球的球心，由正方形ABCD的边长为2，侧面与底面所成的角为，可知PO1＝，斜高h＝2，则OO1＝－R，O1B＝，VP-ABCD＝×2×2×＝，故C错误；在Rt△OO1B中，O＋O1B2＝OB2，即＋2＝R2，解得R＝，则正四棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×＝，故A错误；由VP-ABCD＝××r＝，解得r＝，所以正四棱锥内切球的体积为V＝πr3＝π×＝，故B正确；由上知＝，故D正确.故选BD. 8.(多选)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是(　　) A. B.π C.9π D.13π 答案：BCD 解析：三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，所以2R＝＝2，所以R＝，取BC的中点O1，所以O1为△ABC的外接圆圆心，所以OO1⊥平面ABC，且OO1＝3，如图.当OD⊥截面时，截面的面积最小，因为OD＝＝＝2，此时截面圆的半径为r＝＝1，所以截面面积为πr2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π].故选BCD. 9.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是　　　　. 答案：[2，2] 解析：设球的半径为R.当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R'为体对角线长AC1＝＝4，即2R'＝4，R'＝2，故Rmax＝2；分别取侧棱AA1，BB1，CC1，DD1的中点M，H，G，N，显然四边形MNGH是边长为 4的正方形，且O为正方形MNGH的对角线交点，连接MG，则MG＝4，当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径达到最小，即R的最小值为2.综上，R∈[2，2]. 10.(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝　　　　. 答案：2 解析：如图，设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r ，则2r＝＝＝2，可得r＝，设三棱锥S -ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，O1A，则OA＝2，O1A＝，OO1＝SA，因为OO1⊥O1A，所以OA2＝O＋O1A2，即4＝SA2＋3，解得SA＝2. (11—13题，每小题5分，共15分) 11.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　) A.8π B.12π C.20π D.24π 答案：C 解析：如图，由于三棱锥P-ABC的四个面都为直角三角形，则△ABC是直角三角形，且∠ABC＝，所以BC＝＝2.又PA⊥平面ABC，且△PAC是直角三角形，所以球O的直径为PC＝2R＝＝＝2，所以R＝，故球O的表面积为S＝4πR2＝20π.故选C. 12.(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大.设圆锥的高为h(0＜h＜1)，底面半径为r，则圆锥的体积V＝πr2h＝πh，则V'＝π，令V'＝π＝0，得h＝，所以V＝πh在上单调递增，在上单调递减，所以当h＝时，四棱锥的体积最大.故选C. 13.(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　) A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2 答案：ABC 解析：设正方体的棱长为a，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.因为M，N分别为外接球和内切球上的动点，所以MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，所以正方体外接球的表面积为4π×＝12π，内切球的体积为，则A，B，C正确；线段MN的最大值为＋1，则D错误.故选ABC. (14、15题，每小题5分，共10分) 14.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　 ) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 答案：ABD 解析：对于A，因为0.99 m＜1 m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A符合题意；对于B，因为正方体的面对角线长为 m，且＞1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B符合题意；对于C，因为正方体的体对角线长为 m，且＜1.8，所以不能够被整体放入正方体内，故C不符合题意；对于D，如图，在棱长为1 m的正方体中，设点S，R，Q，P，N，T分别为其所在棱的中点，则正六边形SRQPNT的边长为 m，其内切圆的直径为2××＝(m).因为 m≈1.225 m，所以 m＞1.2 m，且圆柱的高为0.01 m，非常小，所以D符合题意.故选ABD. 15.在三棱锥D -ABC中，AB＝BC＝2，AC＝2，BD＝4，BD⊥平面ABC，则三棱锥D -ABC外接球的表面积为　　　　. 答案：32π 解析：因为BD⊥平面ABC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，因为AB＝BC＝2，AC＝2，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心在底边中线的延长线上，设为O2，O1，易得∠O1BC＝60°，故O1B＝O1C＝BC＝2，所以三棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥D -ABC的外接球球心，设该外接球半径为R，则在Rt△OCO1中，R2＝＋22＝8，故三棱锥D -ABC外接球的表面积为4πR2＝32π. 学科网（北京）股份有限公司 $