7.9 向量法求空间角专项训练-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦向量法求空间角，通过19道题覆盖异面直线所成角、线面角、二面角，结合多几何体与动态问题，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |异面直线所成角|4题（如正方体堆叠、翻折问题）|结合正方体、直角梯形翻折，需建系求向量坐标|从几何体结构分析（建系依据）到向量坐标表示，通过数量积公式求夹角| |线面角|5题（如直三棱柱、正四棱柱）|涉及直棱柱、正四棱锥，考查线面角与体积关联|利用法向量求线面角正弦值，体现几何到代数的转化（数学抽象）| |二面角|6题（如正四棱锥、三棱台）|含正四棱锥、三棱台及翻折二面角，需求法向量夹角|通过两平面法向量夹角推导二面角，培养逻辑推理能力| |综合应用|4题（如动态点、存在性问题）|含动点轨迹、翻折后面面垂直证明，多问递进|整合空间角计算与几何证明，发展数学建模与创新意识|

7.9 向量法求空间角（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图所示,图中的组合体由4个棱长均为1的正方体堆叠而成,则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高三·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26高三·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 8．（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 10．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 11．（25-26高三·广西柳州·期末）在三棱台中，平面，平面，，，则（    ） A．四边形为直角梯形 B．三棱台的体积为 C．二面角的大小为 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 13．（25-26高三·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 14．（2026高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，则二面角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 16．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 19．（26-27高三上·北京房山·开学考试）如图，在直四棱柱中，，，，，且，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.9 向量法求空间角（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三下·陕西商洛·期中）如图所示,图中的组合体由4个棱长均为1的正方体堆叠而成,则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，的坐标，利用空间向量求解即可. 【详解】如图所示以为原点建立空间直角坐标系，则 故，设直线与直线夹角为， 所以， 则. 2．（25-26高三·江苏·阶段检测）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，则由图可知，为钝角， 所以. 3．（25-26高三·全国·单元测试）直三棱柱中，底面是以A为直角的腰长为2的等腰直角三角形，侧棱长为，为上的点，若直线与直线所成角的余弦值为，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】建系标点，设，可得，利用空间向量求异面直线的夹角，列式求解即可. 【详解】以A为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设，则， 所以，解得(负值舍去). 故选：A． 4．（25-26高三·重庆·期末）在正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解. 【详解】取中点，连接，因为为正三角形，故， 正三棱柱中，平面，平面，故， 又，平面，因此平面， 以为原点，、过且平行于的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 已知底面边长，故，高，得各点坐标：，，， 直线的方向向量， 平面上所有点的坐标为，故其一个法向量为，， 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量关系： ， 计算得，，代入得：，故B正确. 5．（25-26高三·广东广州·期末）在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，用向量法即可求出底面边长，即可求解. 【详解】    如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 6．（25-26高三·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 7．（2026·湖南张家界·模拟预测）如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 8．（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据椭圆的定义的动点的轨迹方程，根据异面直线所成角空间向量法得其表达式，利用换元法结合二次函数性质计算可得取值范围. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，在平面内，由，符合椭圆的定义． 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为， 由题意可知， 所以椭圆方程为：， 显然， 又，则， 直线与所成角的余弦值 又，代入得， 当时，令，， 由二次函数性质可知，在上单调递增，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A． B．异面直线与所成角余弦值为 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角正弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量的数量积运算判断A；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断B；根据三棱锥的体积公式即可判断C；根据线面夹角的坐标公式即可判断D． 【详解】如图以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对于A，， 所以，所以不成立，故A错误； 对于B，，， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，取平面的一个法向量为， 所以直线与平面所成角正弦值为，故D正确． 10．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，点 分别为 的中点. 下列结论正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面 所成角的正弦值为 D．平面 与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】利用向量法，分别计算线面平行的条件、异面直线夹角、线面角以及二面角的余弦值，逐一判断选项. 【详解】在直三棱柱 中， ，所以， 以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以， 因为为的中点，所以， 对于A，因为平面，所以为平面的一个法向量， 又， 所以，又不在平面内，所以平面，A正确； 对于B，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为 ，B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，则， 所以， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值为，C错误； 对于D，，设平面的法向量为， 则，解得，令，则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为 ，D正确. 11．（25-26高三·广西柳州·期末）在三棱台中，平面，平面，，，则（    ） A．四边形为直角梯形 B．三棱台的体积为 C．二面角的大小为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】AB 【分析】根据题意可得平面，从而，，可判断AB；由平面，所以为二面角的平面角，求此角判断C；延长交于点，则可得三棱锥，取中点，连接，在三棱锥中，由于，，所以为的中点，所以，则为直线与所成角，判断D. 【详解】在三棱台中，平面，平面，则， 又平面，平面，则， 平面， 所以平面，而平面，则， 又因为，且，所以四边形为直角梯形，A正确； 由平面，而平面，则， 则为直角三角形，则， 则，B正确； 由平面，所以为二面角的平面角， 又平面，平面平面，则平面， 平面，所以，，， 则，所以， 又平面，平面，所以， 所以，所以，C错误； 延长交于点，则可得三棱锥，取中点，连接， 在三棱锥中，由于，，所以为的中点， 所以，则为直线与所成角， 由于平面，所以平面，平面， 则，又，， 所以，D错误.    三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·河北石家庄·期末）在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 13．（25-26高三·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    14．（2026高三下·重庆·竞赛）四面体满足，，则二面角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，根据条件分别得出的坐标，利用平面的法向量即可求解. 【详解】以为原点，为轴，建立空间直角坐标系以及底面的平面图： ，，由于，， 在中，由余弦定理得，所以， 设，所以，故， 设，由于，，， 所以有，，，解得，，， 所以， 设平面的法向量为，，， 则有，即，令，则，，即， 设平面的法向量为， 设二面角的平面角为，且为锐角， 则 即二面角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·湖北武汉·期中）如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 16．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）如图，在三棱锥中，棱，，两两互相垂直，且，．点是的中点，点是棱上的一个动点． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)如图，连接． 因为，是的中点，所以． 因为，，且，平面，所以平面， 因为平面，所以． 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)1 【分析】（1）先根据，，得出平面，再推出平面，最后证明； （2）建立空间直角坐标系，利用直线方向与平面法向量的夹角计算公式，建立方程求得即可. 【详解】（1）略 （2）如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，． 设，则，，，． 设平面的法向量为， 由得，取． 设直线与平面所成的角为， 则． 令，解得． 故线段的长为1 17．（26-27高三上·安徽阜阳·开学考试）如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又是的中点，所以， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以． (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据线面垂直的判定得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知为二面角的平面角，由得出，由余弦定理得出，在中，由余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，由线面夹角的向量公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 记，则， 在中，，， 因为，， 设， ， 所以， 由余弦定理知 ，故， 在中，由余弦定理得， 又，所以． （3）因为平面平面， 所以平面平面， 以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为，， 所以， ，则， 所以，，， 设为平面的法向量，由，， 可得，取，得，故， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）连接辅助线,依题可知是中的一条中位线，可得，利用线面平行的判定定理即可证明平面． （2）根据可得点位置，利用可得长度，利用勾股定理可证，再利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面. （3）建立空间直角坐标系，表示点坐标，利用空间向量求二面角余弦值公式建立关于的函数，利用换元法化简函数，之后求函数值域即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值． 19．（26-27高三上·北京房山·开学考试）如图，在直四棱柱中，，，，，且，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使得直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)∵ 为中点，，∴ . 又，，∴ 且， ∴ 四边形为平行四边形，∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. (2)选择条件①或③时，余弦值为；选择条件②不符合要求. 【分析】（1）通过证明四边形为平行四边形得到，结合线面平行判定定理求证. （2）建立空间直角坐标系，先根据三个条件分别求解侧棱高，判断直四棱柱是否唯一，再利用空间向量法求解两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）∵，∴ 在中，由余弦定理得， ∵，∴. 所以可建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系如下图所示， 设直四棱柱的高为，可得各点坐标： ，，，，，. 平面为平面，故其一个法向量为. 选择条件① ： ∵ ，∴ . 解得，∵ ，∴ ，直四棱柱存在且唯一. 此时，，设平面的法向量为， 则， 两式相加得，即，代入第二式得. 令，得. 设平面与平面的夹角为， 则. 选择条件② ： ∵ ，，∴ ， 即对任意，恒成立，直四棱柱不唯一，不符合要求. 选择条件③ ： ∵ ，， ∴ . 解得，∵ ，∴ ，直四棱柱存在且唯一. 后续求平面夹角过程同条件①，得余弦值为. 【点睛】方法归纳：1. 劣构题需先根据条件判断参数解的唯一性，排除不符合要求的条件；2. 空间向量求面面夹角时，取两个平面法向量夹角的绝对值作为面面角的余弦值，注意区分二面角与面面夹角的差异. 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $