7.8 空间向量的运算及其应用专项训练战-2027届高三数学一轮复习（全国通用）

**基本信息** 聚焦空间向量运算与应用，通过分层题型构建从基础到综合的知识网络，强化空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-4、填空12-13|坐标运算、共面条件、投影向量|从空间向量坐标表示到线性运算，构建运算体系| |概念辨析|选择6、9-11|基底判定、线面角公式、投影向量|通过命题判断深化空间向量基本概念与性质| |几何应用|选择5、7-8、填空14、解答15-19|空间角计算、四点共面、动点轨迹|从向量关系推导几何性质，实现代数与几何转化|

7.8 空间向量的运算及其应用（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知向量，若共面，则等于（   ） A．-9 B．9 C．-5 D．5 3．（25-26高三·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（25-26高三·广东东莞·期中）已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·福建宁德·期中）下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知是空间的一个基底，，，若，则（      ） A．0 B． C．6 D．5 8．（25-26高三·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．（26-27高三·全国·一轮复习）(多选)如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 13．（25-26高三·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 14．（25-26高三·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·广东梅州·阶段检测）已知向量. (1)若向量与向量共面，求实数的值； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值. 16．（25-26高三·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 17．（25-26高三·陕西渭南·阶段检测）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 18．（25-26高三·江苏无锡·阶段检测）已知是空间中不共面的向量，若． (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的值． 19．（25-26高三·山东济宁·期中）如图，已知三棱锥中，，且分别是的中点.用空间向量法求解下列问题. (1)求证：； (2)求的长； (3)求异面直线和所成角的余弦值. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.8 空间向量的运算及其应用（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知向量，若共面，则等于（   ） A．-9 B．9 C．-5 D．5 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理，由于共面，所以存在，使得，然后利用建立方程求解得到即可. 【详解】向量， 由于共面，所以存在，使得， 即 所以解得 3．（25-26高三·广东深圳·期末）设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 4．（25-26高三·广东东莞·期中）已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：B 5．（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 所以 6．（25-26高三·福建宁德·期中）下列命题正确的是（    ） A．若向量满足，则向量的夹角是钝角 B．若向量是非零向量，则向量组是空间的一个基底 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为 D．已知向量，则向量在向量上的投影向量是 【答案】D 【详解】对于A，若，反向，满足，但向量，的夹角不是钝角，故A错误； 对于B，假设，则共面，此时不能作为空间的基底，故B错误； 对于C，设与所成角为，则，即与所成角的正弦值为，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 7．（26-27高三·全国·一轮复习）已知是空间的一个基底，，，若，则（      ） A．0 B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以存在实数，使得， 所以， 因为是空间的一个基底，所以，解得，所以. 8．（25-26高三·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高三·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 10．（26-27高三·全国·一轮复习）(多选)如图所示，在平行六面体中，设，，，，分别是，，的中点，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. 【详解】对于A选项，因为是的中点， 所以，故A正确； 对于B选项，因为是的中点， 所以，故B错误； 对于C选项，因为是的中点， 所以，故C正确； 对于D选项，因为是的中点， 所以，故D正确. 11．（25-26高三·广东潮州·期末）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. 13．（25-26高三·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 14．（25-26高三·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高三·广东梅州·阶段检测）已知向量. (1)若向量与向量共面，求实数的值； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用共面向量定理，结合向量的坐标运算列方程组求解即得. （2）利用空间向量坐标运算，列出方程求解即得. 【详解】（1）由向量与向量共面，设， 则，即， 解得， 所以实数的值为. （2）由，，得，解得， 又向量， 则， 由向量与垂直，得， 则， 当时，有，矛盾； 当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. 16．（25-26高三·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 17．（25-26高三·陕西渭南·阶段检测）已知，，，设，. (1)求； (2)若，求实数的值； (3)在方向上的投影数量. 【答案】(1) (2)或. (3) 【详解】（1）由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. （2）由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. （3）可知，， 所以，， 所以在方向上的投影数量为. 18．（25-26高三·江苏无锡·阶段检测）已知是空间中不共面的向量，若． (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由三点共线可设，列方程求； （2）由四点共面可设，列方程可得的关系． 【详解】（1）因为三点共线，则， 又，  ， 有解得； （2）因为四点共面，则，   则，   有 ，得. 19．（25-26高三·山东济宁·期中）如图，已知三棱锥中，，且分别是的中点.用空间向量法求解下列问题. (1)求证：； (2)求的长； (3)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1) 设， 则， ， 可得， 又， ， 即. (2) (3) 【分析】（1）以为基底，表示，利用向量数量积的运算律即可求证； （2）由（1）选择的基底，表示出所求向量，根据向量的模长公式以及数量积的运算律，可得答案； （3）由（1）选择的基底，表示出所求向量，结合向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2），， ， ，即的长为. （3）由题意得， ， 则， 即， 又 ， 设异面直线AF和所成角为， 则， ∴异面直线AF和所成角的余弦值为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $