第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性（配套教参）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教B版）

第二章函数、导数及其应用 解析：B[:画数f)=1ogx十己在1，十o) 解析：因为对任意工≠，都有f）-,)0, x1一2 上为增函数，且f(2)=0, 所以y=f(x)在（一o∞，十∞）上是增函数. .当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)=0, ,2-a>0, 当x2∈(2，十o∞)时，f(.x2)>f(2)=0, 所以a>1, 即f(x1)<0,f(x2)>0.] 解得号<u<2 (2-a)×1+1≤a ◆[命题角度2]解函数不等式 2.f(x)是定义在(0，十∞)上的单调增函数，满足 故实数a的取值范周是|受2 f(xy)=f(.x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+ f(x一8)≤2时，x的取值范围是 答案2) A.(8,+∞) B.(8,9 规律总结 C.[8,9] D.(0,8) 解析：B[2=1+1=f(3)十f(3)=f(9),由f(x) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 +f(x-8)≤2，可得f[x(x-8)]≤f(9),因为 (1)比较大小，比较函数值的大小，应将自变量转化到 f(x)是定义在(0，十∞)上的增函数，所以有 同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决 x>0, (2)解含“f”的不等式.在求解与抽象函数有关的 x-8>0,解得8<x≤9.] 不等式时，利用函数的单调性将“”符号脱掉，使 (x(x-8)≤9， 其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函 ◆[命题角度3]利用单调性求参数的取值范围 数的定义域. 或值 (3)利用单调性求参数 3.如果函数f(x)= ((2-a)x+1,x<1, ①视参数为已知数，依据函数的图像或单调性 满足对任意 1a,x≥1 定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比 1≠，都有f)二f>0成立，那么a的取 较求参数； x1-x2 ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的，则该 值范围是 函数在此区间的任意子集上也是单调的， 第3节 函数的奇偶性与周期性 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 函数的奇偶性、周期性的应用 1.结合具体函数，了解函数奇偶1.判断函数的奇偶性，发展数学抽象和是高考的热点，常与函数的求值、图 性的概念和几何意义. 逻辑推理素养， 像、单调性、对称性、零点等知识交 2.会运用函数的图像理解和研究2.函数奇偶性的应用，发展逻辑推理和汇命题，函数的周期性也经常会涉 函数的奇偶性 数学运算素养。 及到三角函数或抽象函数，并且考 3.结合三角函数，了解函数周期3.函数周期性的应用，发展数学抽象和查力度逐年加大.本讲内容在高考 性的概念和几何意义. 逻辑推理素养 中多以选择题或填空题的形式出 4.会运用函数的图像理解和研究4.函数基本性质的综合应用，提升逻辑现，难度不会太大，属于低中档题， 函数的周期性 推理和数学运算素养 主要考查考生对函数性质的理解及 应用能力 夯实必备知识 对应学生用书P33 教材夯实强基固本 必备知识 奇偶性 定义 图像特点 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图像特点 般地，设函数y=f(x)的 定义域为D,如果对D内的 一般地，设函数y=f(x)的 关于原点 定义域为D,如果对D内的 奇函数 任意一个x,都有一x∈D, 关于y轴 对称 偶函数 任意一个x,都有一x∈D, 且f(-x)=-f(x),则称 对称 且f(一x)-f(x),则称y= y=f(x)是奇函数 f(.x)为偶函数 39· 高考总复习人教数学B版（新教材） 2.函数的周期性 (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函数， (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零 则F(x)=f(x)十g(x)是偶函数 ( 常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有 (4)若函数y=f(.x十a)是偶函数，则函数y=f(x) f(x十T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期 关于直线x=a对称， ( 函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 (5)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y=f(x) 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 关于点(b,0)中心对称。 ( f(x)的最小正周期. (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x十2)= 重要结论 f(x),则f(2024)=0. ( ) 1.函数奇偶性的四个重要结论 答案：(1)×(2)× (3)/(4)√(5)/ (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0) (6)/ 有意义，那么一定有f(0)=0. ◆[小题查验] (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x). 1.已知f(x)-a.x2十b.x是定义在[a-1,2a]上的偶 (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的 函数，那么a十b的值是 单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具 A.-3 有相反的单调性 B号 C. D.- (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数·奇 解析：B[依题意b=0,且2a=-(a-1),∴.a 函数=偶函数，奇函数十奇函数=奇函数，偶函数 ·偶函数=偶函数，偶函数十偶函数=偶函数，奇 名则a十b=子J 函数·偶函数=奇函数. 2.(教材改编)若偶函数f(x)在区间[一2，一1]上单 2.函数周期性的三个常用结论 调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上 () 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：（如 A.单调递增，且有最小值f(1) 下a>0): B.单调递增，且有最大值f(1) (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a; C.单调递减，且有最小值f(2) (2)若f(x十a)= fx)则T=2a: D.单调递减，且有最大值f(2) (3)若f(x+a)=- fx,则T=2a. 1 答案：A 3.函数对称性的三个常用结论 3.已知函数f(x)=x3+a.x3++2且f(2024)= (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，即f(a-x)=f(a 6,则f(-2024)的值为 十x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 解析：由题意，在f(x)=x+ax++2中， (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a十x),则y=f(x)的图像关于直线 f(-x)=-x5-a.x3-b+2, x=a对称； 所以f(x)+f(-x)=4. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数，即f(-x十b)+ 因为f(2024)=6,所以f(-2024)=4-f(2024) f(x十b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心 =4-6=-2 对称。 答案：一2 自主诊断 4.(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函 ◆[思考辨析] 数，当x∈(-∞，0)时，f(x)=2x3+x2,则f(2) 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里 打“”，错误的打“X” (1)函数y=x2,x∈(0，十∞)是偶函数. ( 解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(2) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定 -f(-2)=-[2×(-8)+4]=12. 过原点 ( ) 答案：12 ·40· 第二章函数、导数及其应用 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5]，若当x∈[0， 解析：由图像可知，当0<x<2时，f(x)>0;当2< 5]时，f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)<0的 x≤5时，f(x)<0,又f(x)是奇函数， 解集为 .当-2<x<0时，f(x)<0,当-5≤x<-2时，f(x) >0.综上，f(x)<0的解集为(-2,0)U(2,5]. 答案：(-2,0)U(2,5] 跃升>关键能力 对应学生用书P34 层级突破素养提升 专点1判断函数的奇偶性（基础点） 1-x2>0, (2)由 得定义域为(-1,0)U(0,1), 1.(2024·太原市模拟)下列函数中，既是奇函数又在 11x-21≠2， (0,+∞)上单调递增的是 ( 关于原点对称.x-2<0,.x-2|-2=一x, A.y=e"+e B.y-ln(|x|+1) f(x)=1g1-x2) C.y D.y- 又-0=g1=（二)的=-lg2）=-f, 解析：D[A、B选项为偶函数，排除，C选项是奇 .函数f(x)为奇函数， 函数，但在(0，十∞)上不是单调递增函数.D选项 是奇函数，且在(0，十∞)上单调递增，符合题意.] (3)显然函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)， 2.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x十y)一[f 关于原点对称 (x)十f(y)]=2023,则下列说法正确的是( 当x<0时，一x>0, A.f(x)是偶函数 则f(-x)=-(-x2-x=-x2-x=-f(x); B.f(x)是奇函数 当x>0时，一x<0, C.f(x)+2023是偶函数 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x): D.f(.x)+2023是奇函数 综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(一x)= 解析：D[由题意，在函数f(x)中，f(x十y) 一f(x)成立，.函数f(.x)为奇函数. [f(x)+f(y)]=2023,当x=y=0时，f(0) 题后反思 [f(0)+f(0)]=2023,解得：f(0)=-2023,B错 判断函数奇偶性的三种常用方法 误；当y=-x时，f(0)-[f(x)+f(一x)]= (1)定义法： 2023,解得：f(.x)十f(-x)=-4046,但无法得到 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域 f(x)=f(-x),故A错误；在函数f(x)十2023 是否关于原点对称.若对称，再化筒解析式后验 中，f(0)+2023=0,f(x)+2023+f(-x)+ 证f(一x)=士f(x)或其等价形式f(一x)士 2023=0,.f(x)+2023是奇函数，C错误，D 正确.门 f(x)=0是否成立. 3.判断下列函数的奇偶性： (2)图像法： (1)f(x)=√3-x+√x2-3; 关于原点对称 →fx)为奇函数 (2)f(.x)=g(1-x) fx)的图象 1x-2-21 关于y轴对称 fx)为偶函数 (3)性质法： (3)f(x)= (x2+x,x<0, {-x2+x,x>0. 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在 解：1)由3≥0得父=3，解得=士5 它们的公共定义域上：奇十奇=奇，奇X奇 {x2-3≥0， 偶，偶十偶=偶，偶×偶=偶，奇X偶=奇. 即函数f(x)的定义域为{一√5，W5}, 提醒：分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0 从而f(x)=√3-x7十√x-3=0. 或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或f(-x) 因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x), =一f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足 函数f(x)既是奇函数又是偶函数. 相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性. ·41· 高考总复习人教数学B版（新教材） 专点2)函数奇偶性的应用（应用点） 核心素养 ◆[命题角度]利用奇偶性求函数值 逻辑推理—函数图像与性质在函数中具体应用的核心素养 1.(2024·潍坊市模拟)若函数f(x)= 信息提取 信息解读 逻辑推理 (logsx-2,0 为奇函数，则f(g(一3)=( y-f(x)是偶函数 偶函数的图像关于y g(x),x<0 轴对称，奇函数的图像 A.-3 B.-2 C.-1 y=g(x)是奇函数 关于原点对称 解分式不等式 D.0 g(x) 0台f(x)· [解析]B[法一：函数f(x) 定义域是[-3， 题干已给出x∈[0,3] g(x)<0台x∈[0， 10g3x-2,x>0 3],且它们在x∈ 上的图像，可根据奇偶 3]时，由图像直接 为奇函数，.g(-3)=一f(3)= [0,3]上的图像如 性的图像特征补上x (g(x),x<0 判断； 图所示 ∈[一3,0]上的图像 x∈[一3,0]时，根 -(1og33-2)=1, 此分式不等式可等价 据奇偶性补全图像 .f(g(-3)=f(1)=1og31-2=0-2=-2.故 转化为分子、分母相乘 后判断取并集，得到 选B. 不等式侣0 的不等式，最终还是判 分式不等式的解集 法二：当x<0时，-x>0,f(-x)=log3(-x) 断f(x)与g(x)在定 义域内的正负值情况 -2, [解]第一步 根据奇偶性补全函数f(x)和g(x) ∴.f(x)=-f(-x)=-log3(-x)+2, 在整个定义域上的图像 即g(x)=-log(-x)+2, y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，根据函数图 .g(-3)=-log33+2=-1, 像的奇偶性画出y=f(x),y=g(x)在[-3,0]上 .f(g(-3)=f(1)=1og31-2=0-2=-2.故 的图像如图所示， 选B.] ◆[命题角度2]利用奇偶性求参数值 y=g(x) 2.2023·新课标Ⅱ卷，4)若)=+an帚 /-10 2 3 为偶函数，则a= ) yf) A.-1B.0 c D.1 第二步 将分式不等式等价转化 [解析]B[由题高知g()=n经号是寺品 0等价于88： g(x) 1g(.x)>0, 第三步根据图像，分别解两个不等式组 数，而f(x)=(x十a)g(x)为偶函数，有f(一x)= 由图可知f(x)>0,g(x)<0时，-2<x<-1或0 (-x+a)g(-x)=-(-x十a)g(x)=(x十a)g(x)=f <x<1, (x),故x-a=x十a,则a=0.] f(x)<0,g(x)>0时，2<x<3. 第四步根据求解结果取并集 ◆[命题角度3]利用奇偶性求解析式 可求得其解集是{x|-2<x<-1或0<x<1或2 3.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-1,则 <x<3}. 当x<0时，f(x)= ( ) 解题技巧 A.e *-1 B.e+1 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 C.-e-1 D.-e*+1 (1)求函数值 解析：D[当x<0时，一x>0, 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数 :当x≥0时，f(x)=e-1,.f(-x)=ex-1. 值求解. (2)求解析式 又f(x)为奇函数，.f(x)=一f(-x)=-e 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再 +1.] 利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 ◆[命题角度4]利用奇偶性的图像特征解不等式 f(x)的方程（组），从而得到f(x)的解析式. [典例]已知y=f(x)是偶函数， ) (3)求函数解析式中参数的值 y=g(x)是奇函数，它们的定义 利用待定系数法求解，根据f(x)士f(一x)=0 =g(x) 域是[-3,3]，且它们在x∈[0， 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性 得参数的值或方程（组），进而得出参数的值. 3]上的图像如图所示，求不等 y=f(x) (4)画函数图像和判断单调性 式f<0的解集. 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判 g(x) 断另一区间上的单调性. ·42· 第二章函数、导数及其应用 专点3)函数周期性的应用（应用点） 022,2024]时，y=f(.x)=f(x-2024)=-(.x-2 [典例](1)(2024·陕西统考模拟)已知f(x)是定 024+1)2+1=-(.x-2023)2+1,显然当x=2023 时，函数y=f(x)的最大值为1.] 义在R上的奇函数，若+)为偶函数且f) 2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且 =3,则f(2023)+f(2024)= ( 当0≤x<2时，f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的 A.3 B.-5 C.-3 D.0 图像在区间[0,4]上与x轴的交点的个数为 (2)已知函数f(x)是R上的偶函数，f(x十2)为奇 函数，若f(0)=1,则f(1)+f(2)+…+f(2023) 解析：当0≤x<2时，令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0, 所以y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标分别为x1 [解析](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所 =0,x2=1. 以f(0)=0,f(x)+f(-x)=0,所以有 当2≤x<4时，0≤x一2<2，又f(x)的最小正周期 -)计f(+》0,尚f(+)为偶通 为2，所以f(x-2)=f(x), 所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 数可得：f 所以当2≤x<4时，y=f(x)的图像与x轴交点的 4 =(x+) 横坐标分别为x3=2,x4=3. 故有f(+)计f()=0, 当x=4时，也符合要求. 答案：5 “f(+)+f)=0, 专点4)函数基本性质的综合应用（创新点） 即f)=-f(e+2》r+）-fx+3 ◆[命题角度1]单调性与奇偶性结合 1.(2024·天津模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函 故f(x)=f(x十3)，所以f(x)的周期为T=3,则 数，且在区间[0，十∞)单调递增，则 f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1)=-3.故f(2 023)+f(2024)=f(1)+f(2)=3-3=0. A.f(o:)>f(log:>F(2) (2)f(x十2)是奇函数，故f(x+2)=一f(-x十 2),且f(2)=0, Bfog:子)f2>fog) f(x)是偶函数，故f(x十2)=-f(-x十2) C.f2")>fog:号>f(log) =-f(x-2), 则f(x十4)=-f(x),f(x十8)=-f(x十4)= D.f2)>fog)>fiog:号) f(x),函数周期为8， f(.x+2)=-f(-x十2)，故f(3)十f(1)=0,f(4) 解析：A[f(x)是伤，f(og) +f(0)=0,即f(4)=-1, f(-log23)=f(1og23). f(5)=-f(1),f(6)=-f(2)=0,f(7)=-f(3), :1<10g23<1og2r<2,0<2x<1,.0<2< f(8)=f(0)=1,故f(1)+f(2)+·+f(8)=0, log23<1og2π<2. f(1)+f(2)+·+f(2023)=-f(8)=-1. [答案](1)D(2)-1 :f(x)在[0，十o∞)为增函数，.f(2)<f(log23) <f(log2π)， 方法指导 1.判断函数周期性的两个方法：定义法、图像法. 即f2)fioe:号）sx0.] 2.函数周期性的重要应用：利用函数的周期性，可 2.若定义在R的奇函数f(x)在（一∞，0）单调递减， 将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等 且f(2)=0,则满足xf(x一1)≥0的x的取值范 问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解. 围是 易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变量 A.[-1,1]U[3,+o∞) 在给定的区间内 B.[-3,-1U[0,1] :跟踪训练 C.[-1,0]U[1,+o∞) 1.(2024·江苏无锡校考模拟)已知函数y=f(x)是 D.-1,0]U[1,3] 定义在R上的奇函数，且满足f(x十2)+f(x)= 解析：D[根据题意，画出函数示意图： 0,当x∈[-2,0]时，f(x)=-x2-2x,则当x∈ [2024,2026]时，y=f(x)的最大值为 ( A.-8B.-1C.1 D.0 解析：C[由f(x十2)十f(x)=0→f(.x)=一f(x+2) →f(x十2)=-f(x十2十2)，因此可以得到：f(x) =f(x+4),所以函数f(x)的周期为4，当x∈[一2， 0]时，f(x)=-x2-2x=-(x十1)2+1，当x∈[2 ·43· 高考总复习人教数学B版（新教材） 当x<0,且-2≤x-1≤0，即-1≤x<0时，xf(x ◆[命题角度3]单调性、奇偶性与周期性结合 -1)≥0成立；当x>0,且0≤x-1≤2，即1≤x≤3 核心素养 时，xf(x-1)≥0成立；当x=0时，显然成立，综上 数学抽象一函数的“三性”在抽象函数中的具体应用 x∈[-1,0]U[1,3].] 3.(多选)(2024·山东省高三模拟)已知奇函数f(.x) 函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数 是定义在R上的减函数，且f(2)=-1,若g(x)= 的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体 f(x一1)，则下列结论一定成立的是 ( 现的是函数值随自变量变化而变化的规律.在解题时， A.g(1)=0 往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区 间上的单调性， &82)=号 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x一4)= C.g(-x)十g(x)>0 一f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则() D.g(-x+1)+g(.x+1)<0 A.f(-25)<f(11)<f(80) 解析：AC[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所 B.f(80)<f(11)<f(-25) 以f(0)=0,因为g(x)=f(x-1), C.f(11)<f(80)<f(-25) 所以g(1)=f(0)=0,故A正确； D.f(-25)<f(80)<f(11) 因为f(x)为定义在R上的减函数，且f(2)=一1， [破题关键点]定义在R上的函数f(x)满足f(x f(2)<f(1)<f(0), -4)=一f(x),则f(x)是以8为周期的函数，又 即-1<f(1)<0.所以-1<g(2)<0,故B不一定 f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0,2]上是 成立； 增函数，则f(x)在区间[一2,2]上是增函数，这样 因为g(x)=f(x-1),所以g(-x)=f(-x-1)= 就可以把f(一25)，f(11)和f(80)转化到区间 -f(x+1), 汇-2,2]上进行大小比较， 所以g(-x)+g(x)=-f(x十1)十f(.x十1)，因为 解析：D[,f(x)满足f(x-4)=一f(x), f(x)是定义在R上的减函数， f(x一8)=f(x),∴.函数f(x)是以8为周期的 所以f(x-1)>f(x+1),所以f(x-1)-f(x+1) 周期函数，则f(-25)=f(-1),f(11)=f(3), >0,即g(-x)十g(x)>0,故C正确； f(80)=f(0). 因为g(x)=f(x-1),所以g(-x十1)=f(-x)= 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x一4) -f(x),g(x+1)=f(x), =-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). 所以g(-x+1)+g(x十1)=-f(x)十f(x)=0, ,f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇 选项D错误.] 函数， ◆[命题角度2]周期性与奇偶性结合 .f(x)在区间[-2,2]上是增函数，.f(-1)< 已知函数f(x)的定义域为R,f(x十1)为偶函数， f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).] f(4-x)=f(.x),则 ) 2.(多选)设函数y=f(x)的定义域为R,其图像关于 A.函数f(x)为偶函数 直线x=-2对称，且f(x十2)=f(x-2).当x∈ B.f(3)=0 [0,2]时，f(x) x,则下列结论正确的是 c()-f() D.f(2023)=0 A.f(.x)为偶函数 解析：A[已知函数f(x)的定义域为R,f(.x十1) B.f(2023)=4 为偶函数，则f(x十1)=f(-x十1)， C.f(x)的图像关于直线x=2对称 函数图像关于直线x=1对称，有f(x)=f(2-x). D.f(x)在区间[一2,0]上单调递减 又f(4-x)=f(x),则f(4-x)=f(2-x), 解析：AC[因为函数y=f(x)的定义域为R, 令2-x=t,有f(2十t)=f(t),所以函数周期为2. 且f(x+2)=f(x-2), f(x)=f(2-x)=f(-x),函数为偶函数，A选项正确； 所以f(x+4)=f(x), 侣)=f(侵+2)=f(2)c选项错送： 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又因函数f(x)的图像关于直线x=一2对称， 已知中没有可以求函数值的条件，BD选项错误.] 所以f(-2十x)=f(-2-x), ·44· 第二章函数、导数及其应用 即f(-2+x)=f[-(2+x)], 所以函数f(x)在x∈[0,2]上是减函数， 又f(x十2)=f(x-2), 又因为f(x)为偶函数， 所以f(2十x)=f儿-(2十x)], 所以f(x)在区间[一2,0]上单调递增，故D错误.] 所以f(x)=f(-x), 规律总结 所以f(x)为偶函数，故A正确； 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 当xe[0,2]时，f(x)= ) 一x, (1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及 f(2023)=f(-1+4×506)=f(-1)=f(1)= 奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性 号故B错误： (2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问 题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函 因为f(x)为偶函数且f(x)的图像关于直线x= 数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域 一2对称， 所以f(x)的图像关于直线x=2对称，故C正确； 内求解 (3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通 因为当x[0,2]时x)=(行) 常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后 而函数y y=-x在x∈[0,2]都是减 利用奇偶性和单调性求解， 函数， 第4节 指数与指数函数 教师专享 最新课程标准 核心素养 考情聚焦 幂的运算性质、指数 1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景. 1.根式与有理数指数幂的运 函数的图像和性质是高考 2.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数算，提升数学运算素养 命题的热点，往往与其他 指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.指数函数的图像及应用，达 函数相结合考查，如：图像 3.理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计成直观想象和逻辑推理 算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数 的识别与应用，利用单调 素养 性比较大小，解不等式，求 函数的单调性与特殊点」 3.指数函数的性质及应用，发 参数的取值范围等.主要 4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是 展逻辑推理和数学运算 以选择题、填空题形式出 一类重要的函数模型 素养 现，属于中低档题 夯实必备知识 对应学生用书P37 教材夯实强基固本 必备知识 ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 1.有理指数幂 a.而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇 (1)一般地，a”中的a称为底数，n称为指数. 数次方根是一个负数. (2)一般地，给定大于1的正整数n和实数a,如果存 (3)当Wa有意义的时候，Wa称为根式，n称为根指数，a 在实数x,使得x”=a,则x称为a的n次方根. 称为被开方数。 ①0的任意正整数次方根均为0，记为6=0. 一般地，根式具有以下性质： ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数， ①(a)”=a.②a-4,当n为奇数时， 其中正的方根称为a的n次算术根，记为a,负的 a,当n为偶数时. 方根记为一a;负数的偶数次方根在实数范围内 (4)一般地，如果n是正整数，那么：当a有意义时，规 不存在 定a=a;当a没有意义时，称a没有意义. ·45·