专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件重难点题型讲义（1个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（苏教版2019必修第一册）

专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件重难点题型专训 （1个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 逆否命题在证明中的应用 题型二 原命题与逆否命题等价性的应用 题型三 四种命题间的相互关系 题型四 已知命题的真假求参数 题型五 充分不必要条件 题型六 判断命题的充分不必要条件 题型七 根据充分不必要条件求参数 题型八 充分条件 题型九 必要不充分条件 题型十 判断命题的必要不充分条件 题型十一 根据必要不充分条件求参数 题型十二 必要条件 题型十三 充要条件 题型十四 充要条件的证明 题型十五 探求命题为真的充要条件 题型十六 根据充要条件求参数 拓展训练一 逆否命题的应用 拓展训练二 命题求参的相关问题 拓展训练三 各类条件的判断 知识点一：充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 4．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 5．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 6．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）命题“”是命题“”的 条件． 【经典例题一 逆否命题在证明中的应用】 【例1】（24-25高二上·吉林通化·期末）下列关于四种命题的真假判断正确的是 A．原命题与其逆否命题的真值相同 B．原命题与其逆命题的真值相同 C．原命题与其否命题的真值相同 D．原命题的逆命题与否命题的真值相反 【例2】（23-24高一上·上海·课后作业）如图所示，已知是的边上的一点，求证命题“如果，那么不在的内角平分线上.” 1．（2023高二下·浙江嘉兴·期中）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得                       (　　) A．当时该命题不成立 B．当时该命题成立 C．当时该命题不成立 D．当时该命题成立 2．（2024高二·全国·单元测试）若命题“如果p,那么q”为真,则(　　) A．q⇒p B．p⇒q C．q⇒p D．q⇒p 3．（24-25高二下·江西上饶·期中）用逆否命题证明“若，则，先写出原命题的逆否命题： ，通过证明逆否命题为 （填 “真” 或 “假” ），从而得出原命题为 （填 “真” 或 “假” ）。 4．（23-24高二·全国·单元测试）试判断命题“，则”的真假 【经典例题二 原命题与逆否命题等价性的应用】 【例1】（24-25高一·江苏·课后作业）命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2024高二上·福建莆田·期末）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 1．（24-25高二上·吉林辽源·阶段练习）命题“若x＋2y＝9，则x＝3且y＝3”及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选题）（2025高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，是真命题的为（    ） A．若，，则 B．“，”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．命题：“若，则或” 3．（2024高二上·吉林辽源·阶段练习）命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）写出下列命题的逆否命题，并判断其真假： （1）若，则或； （2）若，则且． 【经典例题三 四种命题间的相互关系】 【例1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【例2】（23-24高一·江苏·课后作业）若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围． 1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）设，，则“或”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高二上·河南驻马店·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与不等价 B．一个命题的逆命题为假，则它的逆否命题一定为真 C．“若全不为，则”的逆否命题是“若，则全为” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 4．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知命题曲线与轴没有交点；命题方程表示焦点在轴上的双曲线，若命题同真同假，求实数的取值范围． 【经典例题四 已知命题的真假求参数】 【例1】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高二·湖南永州·期末）已知命题：方程有实数解，命题：，. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围. 1．（2023高二上·陕西西安·期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列选项能使命题“任意，函数的图象与轴相交”为真命题的实数的值可以为（    ） A．-7 B．-9 C．-3 D．-1 3．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 4．（2024高二上·吉林·期末）若命题：方程有实根为真，求实数的取值范围． 【经典例题五 充分不必要条件】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知实数，，则是的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，若是的充要条件，是的充分不必要条件，求实数的值与的取值范围． 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·浙江温州·期中）若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）“”是“”的 条件． 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【经典例题六 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 1．（2023·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题：方程无实数根，命题；那么是的 条件； 4．（2023高一·江苏·课后作业）已知集合A＝{x|x＞5}， B＝{x|x＞3}，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 【经典例题七 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二上·甘肃武威·期末）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 1．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知条件，，若是的充分不必要条件，则实数的可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 4．（2024高二上·山西临汾·期末）已知或，，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【经典例题八 充分条件】 【例1】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句α与β之间的推出关系： (1)：是等边三角形，：是轴对称图形； (2)：，：． 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 4．（24-25高一上·上海·课后作业）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)，，； (2)，； (3)，． 【经典例题九 必要不充分条件】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（22-23高一上·辽宁锦州·期中）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知关于的方程，则（    ） A．当时，方程只有一个实数根 B．是方程有实数根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 3．（2025高三下·全国·专题练习）“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 4．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知，． （1）是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【经典例题十 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（23-24高一上·陕西·阶段练习）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知a，b为实数，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是有理数”，：“是实数” B．：“”，：“” C．：“”，： “” D．：“”，：“” 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若是的充分非必要条件，是的必要条件，则是的 条件. 4．（22-23高一·全国·课堂例题）试证： (1)在实数范围内，是的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件． 【经典例题十一 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一上·山西大同·期中）设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围； 1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 4．（2025高三上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【经典例题十二 必要条件】 【例1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)，； (2)，； (3)：我是中国人，：我是上海人； (4)：四边形是矩形，：四边形是平行四边形； (5)，. 1．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（23-24高一上·广东广州·期中）已知命题，则（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．不是的充分条件 D．不是的必要条件 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 4．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【经典例题十三 充要条件】 【例1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2024高一上·浙江温州·阶段练习）设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）下列四个选项中，是的充要条件的有（    ） A．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等 B．：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例 C． D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 4．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【经典例题十四 充要条件的证明】 【例1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2025高一·全国·课后作业）若a，，p：，q：．判断p是否为q的充要条件． 1．（24-25高二上·上海·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（多选题）（2024高一·江苏·单元测试）已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如果a、b、c为实数，设：；：、、中至少有一个为0；：.那么 ； ； ．（用符号“”“”或“”填空） 4．（2024 高一·浙江·期末）已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 【经典例题十五 探求命题为真的充要条件】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高二下·浙江台州·阶段练习）设 ，求证：成立的充要条件是xy≥0． 1．（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ． 4．（2025高一·全国·课后作业）求关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件. 【经典例题十六 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024 高一上·江苏·期中）已知，恒成立，． （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 1．（2025高二上·河南·阶段练习）关于x的方程有实数解的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 4．（2024高一上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设p:xa，q:x3. （1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围; （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围; （3）若a是方程x26x+9的根，判断p是q的什么条件. 【拓展训练一 逆否命题的应用】 【例1】（2024高二上·福建福州·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）方程有实数根； （2）弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧； （3）若或，则； （4）在中，若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（2024高一上·上海·课后作业）判断命题“若为锐角三角形，则”的真假，并证明． 1．（2024高二上·安徽阜阳·阶段练习）命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是 A．若不正确，则不正确 B．若不正确，则正确 C．若正确，则不正确 D．若正确，则正确 2．（2025高二下·浙江·期末）某命题与自然数有关，如果当时该命题成立，则可推得时该命题也成立．现已知当时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题成立 D．当时，该命题不成立 3．（23-24高二下·山西运城·期末）有下列几个命题：①若，则；②“若则”的逆命题；③“若，则互为相反数”的否命题；④“若，则互为倒数”的逆否命题. 其中真命题的序号是 . 4．（23-24高一·全国·课后作业）若实数、满足，求证：． 【拓展训练二 命题求参的相关问题】 【例1】（2024高二上·甘肃武威·期中）已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 1．（2023高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设命题p：函数的定义域为R，命题q：函数的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D．R 2．（多选题）（2024高三上·湖北·期中）若“”为假命题，“”为真命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 . 4．（22-23高一上·重庆·期中）已知，．，． (1)若p为真命题，求m的取值范围． (2)若p，q至少有一个是真命题，求m的取值范围． 【拓展训练三 各类条件的判断】 【例1】（2024高一·全国·单元测试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 1．（24-25高二下·北京东城·期末）设函数，直线，则“”是“直线为曲线的一条切线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 3．（2024高一上·江西九江·阶段练习）下列三个结论中所有正确结论的序号是 ． ①设A，B是非空集合，则“”是“”的充分不必要条件； ②“”是“的必要条件”； ③已知集合A与B，则是的充要条件． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各题中，是的什么条件？是的什么条件？ (1)，：抛物线过原点； (2)且，且； (3)，. 1．（2024高二上·江苏宿迁·期末）2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 5．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（多选题）（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2025高一上·全国·专题练习）设全集为，集合，，是的子集，且，.则下列命题正确的是（    ） A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，则“”是“”的充要条件 C．若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集 D．若（其中），则“”是“”的充分条件 8．（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 9．（多选题）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（多选题）（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．集合，表示同一集合 B．，，都有为真命题 C．集合，集合，则 D．设，则“”是“”的充要条件 11．（2023高三·上海·期中）能够说明“若，则”是假命题的一组有序数对是 . 12．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 13．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 15．（2023高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 16．（2024高二上·河北邢台·期中）设条件：实数满足；条件：实数满足且命题“若，则”的逆否命题为真命题，求实数的取值范围． 17．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 20．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件重难点题型专训 （1个知识点+16大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 逆否命题在证明中的应用 题型二 原命题与逆否命题等价性的应用 题型三 四种命题间的相互关系 题型四 已知命题的真假求参数 题型五 充分不必要条件 题型六 判断命题的充分不必要条件 题型七 根据充分不必要条件求参数 题型八 充分条件 题型九 必要不充分条件 题型十 判断命题的必要不充分条件 题型十一 根据必要不充分条件求参数 题型十二 必要条件 题型十三 充要条件 题型十四 充要条件的证明 题型十五 探求命题为真的充要条件 题型十六 根据充要条件求参数 拓展训练一 逆否命题的应用 拓展训练二 命题求参的相关问题 拓展训练三 各类条件的判断 知识点一：充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分条件与必要条件的四种类型 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. 4．集合角度中的条件判断 设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， (1)若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)若A=B，则p是q的充要条件. 5．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 6．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【即时训练】 1．（25-26高一上·全国·期中）设a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】a，，由，得，，则，因此充分性成立； 由，得，又，则，因此必要性不成立 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）命题“”是命题“”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可. 【详解】因为或， 所以命题“”是命题“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 【经典例题一 逆否命题在证明中的应用】 【例1】（24-25高二上·吉林通化·期末）下列关于四种命题的真假判断正确的是 A．原命题与其逆否命题的真值相同 B．原命题与其逆命题的真值相同 C．原命题与其否命题的真值相同 D．原命题的逆命题与否命题的真值相反 【答案】A 【详解】互为逆否关系的命题同真假，所以A正确，故选A． 【例2】（23-24高一上·上海·课后作业）如图所示，已知是的边上的一点，求证命题“如果，那么不在的内角平分线上.” 【答案】证明见解析 【分析】原命题和逆否命题是同真同假的，由于原命题不好判断， 所以，转而判断该命题的逆否命题，过作的平行线交的延长线于点 然后，证明与相似即可证明该逆否命题成立，进而可得原命题也成立. 【详解】原命题的逆否命题是：已知是的边上的一点，如果在的内角平分线上，那么.以下证明该逆否命题： 如图，过作的平行线交的延长线于点.在中.∵，∴，，. 又∵，∴.∴.∴. ∵逆否命题与原命题等价，∴原命题为真命题. 【点睛】本题考查原命题与逆否命题之间的等价关系，属于基础题. 1．（2023高二下·浙江嘉兴·期中）某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得                       (　　) A．当时该命题不成立 B．当时该命题成立 C．当时该命题不成立 D．当时该命题成立 【答案】A 【分析】根据原命题与逆否命题是等价命题，进行判断． 【详解】命题“如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立．”的逆否命题是“如果当时命题不成立，那么可推出当时命题也不成立．”，所以当时该命题不成立，那么可推得当时该命题不成立，故本题选A． 【点睛】本题考查了原命题与逆否命题的等价性、推理论证能力． 2．（2024高二·全国·单元测试）若命题“如果p,那么q”为真,则(　　) A．q⇒p B．p⇒q C．q⇒p D．q⇒p 【答案】C 【详解】分析：和原命题等价的命题是逆否命题，所以直接写出逆否命题即可. 详解：互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们具有相同的真假性， 原命题的逆否命题为若q，则p， q⇒p. 故选：C. 点睛：根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假． 3．（24-25高二下·江西上饶·期中）用逆否命题证明“若，则，先写出原命题的逆否命题： ，通过证明逆否命题为 （填 “真” 或 “假” ），从而得出原命题为 （填 “真” 或 “假” ）。 【答案】若，则；真；真 【分析】利用逆否命题与原命题同真同假的关系，先写出逆否命题，再判断逆否命题真假来确定原命题真假. 【详解】首先写出逆否命题： 原命题为 “若p，则q”，其逆否命题为 “若¬q，则¬p”。 对于 “若，则”，p：，q：，那么¬p，¬q：，所以逆否命题为 “若，则”。 随后判断逆否命题真假： 当时，代入可得，所以逆否命题 “若，则” 是真命题。 最后确定原命题真假： 因为逆否命题与原命题同真同假，逆否命题为真，所以原命题 “若，则” 为真命题。 故答案为：若，则；真；真 4．（23-24高二·全国·单元测试）试判断命题“，则”的真假 【答案】真命题 【分析】利用逆否命题同真同假即可作出判断. 【详解】直接判断较难，故考虑与此等价的逆否命题，即x=y，则，显然正确，根据命题的等价性知，原命题为真命题. 【点睛】利用⇒ 与非⇒非， ⇒ 与非⇒非， ⇔ 与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 【经典例题二 原命题与逆否命题等价性的应用】 【例1】（24-25高一·江苏·课后作业）命题“若a＞﹣3，则a＞﹣6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据四种命题的关系即可判断. 【详解】在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否题同真同假． ∵命题“若，则”为真命题； ∴命题的逆否命题为真命题， 逆命题: “若，则”是假命题， ∴命题的否命题为假命题， 故选：B. 【例2】（2024高二上·福建莆田·期末）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 【答案】见解析 【分析】直接写出命题的原命题，逆命题，否命题，逆否命题，判断真假即可． 【详解】“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式如下： 原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数；是假命题． 它的逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数；是假命题． 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数；是假命题． 逆否命题，若一个数是质数，则这个数是不正偶数；是假命题． 【点睛】本题考查四种命题的概念和真假判断等基本知识的考查，属于基础题． 1．（24-25高二上·吉林辽源·阶段练习）命题“若x＋2y＝9，则x＝3且y＝3”及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出其逆命题，再分别判断原命题与逆命题的真假，逆命题与否命题同真同假，原命题与逆否命题同真同假，即可得出结果. 【详解】逆命题为“若x＝3且y＝3，则x＋2y＝9”，它为真命题，所以否命题也为真命题； 原命题“若x＋2y＝9，则x＝3且y＝3”，其中x＝1且y＝4，也满足题意，故为假命题，所以它的逆否命题也为假命题，真命题的个数为2， 故答案为：B. 【点睛】本题考查四种命题之间的关系，属于基础题. 2．（多选题）（2025高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题中，是真命题的为（    ） A．若，，则 B．“，”是“”的充分不必要条件 C．若，则 D．命题：“若，则或” 【答案】BCD 【解析】取特殊值判断A；根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断B即可；由基本不等式证明判断C即可；由原命题与逆否命题的等价性判断D. 【详解】当时，，则A错误； 当，时， 当时，满足，但，即“，”是“”的充分不必要条件，则B正确； 由基本不等式可得，当且仅当时取等号，则C正确； 命题：“若，则或”的逆否命题“若且，则”为真命题，则命题：“若，则或”为真命题，则D正确； 故选：BCD 3．（2024高二上·吉林辽源·阶段练习）命题“若，则”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为 . 【答案】2 【分析】利用原命题和逆否命题同真假，逆命题和否命题同真假进行判断，可得答案． 【详解】命题“若，则”为真，且它的逆否命题为真 命题“若，则”的逆命题为“若，则”为假，且它的逆命题为假 真命题的个数为个 故答案为： 【点睛】本题考查四种命题，考查判断命题的真假，属于基础题． 4．（23-24高一·全国·课后作业）写出下列命题的逆否命题，并判断其真假： （1）若，则或； （2）若，则且． 【答案】（1）若且，则；真命题 （2）若或，则；真命题 【分析】若则的逆否命题是：若则，由此写出原命题的逆否命题，根据原命题的真假性，判断出逆否命题的真假性. 【详解】（1）原命题为真命题，故其逆否命题是真命题，且逆否命题为：若且，则； （2）原命题为真命题，故其逆否命题是真命题，且逆否命题为：若或，则. 【点睛】本小题主要考查写出原命题的逆否命题，考查原命题和逆否命题真假性相同，属于基础题. 【经典例题三 四种命题间的相互关系】 【例1】（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）俗话说“不到长城非好汉”，这句话的意思是“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用四种命题间的相互关系判断. 【详解】设为不到长城，推出为非好汉，即， 则，即好汉到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件. 故选：B． 【例2】（23-24高一·江苏·课后作业）若命题“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”为真，求实数a的取值范围． 【答案】且. 【分析】方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根，说明是一元二次方程，根的判别式大于0，利用四种命题间的相互关系，进而求出结果. 【详解】由题意知，解得a＜，且a≠0，故实数a的取值范围是且. 1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）设，，则“或”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由原命题和逆否命题同真假，把问题转化为判断“”是“且”的什么条件，利用充分条件和必要条件的定义验证即可. 【详解】问题可等价转化为判断“”是“且”的什么条件． 时，可以，不能推出且； 反之，当且时，一定有. 因此“”是“且”的必要不充分条件， 从而“或”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 2．（2025高二上·河南驻马店·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．与不等价 B．一个命题的逆命题为假，则它的逆否命题一定为真 C．“若全不为，则”的逆否命题是“若，则全为” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 【答案】D 【分析】根据四个命题的关系，直接判断选项. 【详解】A.，反过来，所以两个不等式等价，故A不正确； B.原命题的逆命题和逆否命题是互否关系，不等价，所以不能判断逆否命题是否一定为真，故B不正确； C. “若全不为，则”的逆否命题是“若，则至少一个为”，故C不正确； D.一个命题的否命题和逆命题是互为逆否关系，所以两个命题等价，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）为说明“设是任意实数，若，则”是假命题，可以在集合中选取的值，此时为 . 【答案】 【分析】根据题意在集合中选取的值，满足. 【详解】若命题为假命题，则由题意知，且，此时为. 故答案为： 4．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知命题曲线与轴没有交点；命题方程表示焦点在轴上的双曲线，若命题同真同假，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分别求出命题为真时，对应的参数范围，再由命题同真同假，求出结果即可. 【详解】由与轴没有交点，可知，即 ： 则 ：方程表示焦点在轴的双曲线     同真同假     若同为假命题，则 若同为真命题，则 综上所述， 【点睛】本题主要考查四种命题间的相互关系、复合命题的真假判断参数的取值范围. 【经典例题四 已知命题的真假求参数】 【例1】（23-24高一上·湖北黄冈·期中）已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用命题为已知为真命题结合二次函数判别式建立不等式，求解实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，解得 故选:C 【例2】（2024高二·湖南永州·期末）已知命题：方程有实数解，命题：，. （1）若是真命题，求实数的取值范围； （2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围. (2) 为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案. 【详解】解：（1）方程有实数解得，，解之得或； （2）为假命题，则， 为真命题时，，，则 故. 故为假命题且为真命题时，. 【点睛】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题. 1．（2023高二上·陕西西安·期末）若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据命题为真命题，转化为，恒成立求解. 【详解】因为命题为真命题，即，恒成立， 即，恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：B 2．（多选题）（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列选项能使命题“任意，函数的图象与轴相交”为真命题的实数的值可以为（    ） A．-7 B．-9 C．-3 D．-1 【答案】ACD 【解析】由已知为真命题建立不等式组，解之可得选项． 【详解】因为对任意，函数的图象与轴相交，所以，解得，故A､C､D选项满足. 故选：ACD． 3．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2024高二上·吉林·期末）若命题：方程有实根为真，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】分别讨论当时的两种情况即可. 【详解】当时，满足方程有实根为真；当时，因为方程有实根，所以。综上所述实数的取值范围为。 【点睛】本题主要考查已知命题的真假求参数、二次方程有实根，考查分类讨论思想，属于基础题。 【经典例题五 充分不必要条件】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知实数，，则是的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由已知可得，易判断充分性成立，利用赋值法可判断必要性不成立. 【详解】由得，故． 当，时，成立，但不成立， 故是的充分不必要条件， 故选：A． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，，若是的充要条件，是的充分不必要条件，求实数的值与的取值范围． 【答案】． 【分析】由是的充要条件，可求的值，进而由是的充分不必要条件，可求的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为是的充要条件，所以，解得，故， 又因为是的充分不必要条件，所以， 综上所述，． 1．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】因为方程的根为或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·浙江温州·期中）若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】根据充分不必要条件，可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 易知. 故选：ABC. 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件（若A则B）和必要条件（若B则A）定义判断两个不等式间的逻辑关系. 【详解】假设时，，两边取倒数，不等式方向改变，即. 所以，是的充分条件. 假设： 当时，两边取倒数，不等式方向改变，即，满足. 当时，，但此时，不满足. 因此，当时，可能大于，也可能小于，无法推出，故必要性不成立. 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 【经典例题六 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（2025高一上·全国·专题练习）“”是“”成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系，判断充分性和必要性. 【详解】由题意可得， 即“”可以推得“”，满足充分性，但由“”得不出“”，不具备必要性，所以为充分不必要条件. 故选：A. 【例2】（25-26高一上·全国·课前预习）如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 【答案】答案见解析 【分析】见解析 【详解】“绳锯”可以导致“木断”，使“木断”的方法有很多，可以是电锯锯断，可以是直接掰断，也可以是因为“绳锯”；同样“水滴”可以导致“石穿”，使“石穿”的方法也有很多，“水滴”只是其中的一种方式． 正所谓“滴水能把石穿透，学习功到自然成”． 1．（2023·上海·高考真题）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 2．（多选题）（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，“”是“”的一个必要不充分条件，故A错误； 对于B，“”是“”的一个充分不必要条件，故B正确； 对于C，“”是“”的一个充分不必要条件，故C正确； 对于D，“”是“”的一个必要不充分条件，故D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知命题：方程无实数根，命题；那么是的 条件； 【答案】充分不必要 【分析】方程无实数根，则，根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】方程无实数根，则有，所以，但不能推出，所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 4．（2023高一·江苏·课后作业）已知集合A＝{x|x＞5}， B＝{x|x＞3}，则“x∈A”是“x∈B”的什么条件？ 【答案】充分不必要条件 【分析】利用充分不必要条件的定义，即得. 【详解】∵集合A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＞3}， 由图易知“x∈A”可推出“x∈B”， “x∈B”推不出“x∈A”，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件． 【经典例题七 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（24-25高二下·辽宁·阶段练习）命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 【例2】（23-24高二上·甘肃武威·期末）已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集， 又，， 所以，可得，则实数a的取值范围为． 1．（2025·吉林延边·一模）若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判断即可得到实数的取值范围. 【详解】由＂＂的充分不必要条件是＂＂， 得，但， 所以． 故选：B. 2．（多选题）（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知条件，，若是的充分不必要条件，则实数的可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据充分不必要条件求出的范围结合选项可得答案. 【详解】由题设，易知是的充分不必要条件， ∴是的真子集， ∴， ∴由选项得实数的值可以是. 故选：BCD． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 4．（2024高二上·山西临汾·期末）已知或，，若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】 【解析】由题意知：命题对应的集合是对应集合的真子集，借助于数轴即可求解. 【详解】设或，， 若有是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以， 所以的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 【经典例题八 充分条件】 【例1】（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）用“”表示下列陈述句α与β之间的推出关系： (1)：是等边三角形，：是轴对称图形； (2)：，：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）等边三角形一定是轴对称图形，则； （2）后者计算得，则可推出前者. 【详解】（1）因为是等边三角形可以推出是轴对称图形， 但等腰三角形是轴对称图形，却不是等边三角形，所以. （2）因为时，则， 当时，，则. 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先化简条件，结合四种条件的定义，充分条件的概念可得答案. 【详解】因为，所以，即，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（多选题）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）指出下列哪些命题中是的充分条件（   ） A．在中，， B．已知，，， C．已知，， D．已知，， 【答案】ABD 【分析】根据充分条件的概念逐项判断即可. 【详解】在中，由大角对大边知，，所以是的充分条件，故A正确； 由，故是的充分条件，故B正确； 由，所以不是的充分条件，故C错误. ，故是的充分条件，故D正确. 故选：ABD 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·课后作业）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)，，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据充分、必要条件的定义分别判断即可． 【详解】（1）解：，，， 由，，得，反之不成立， 故； （2）解：，， 由，得，反之不成立， 故； （3）解：，， 由，得，反之不成立， 故． 【经典例题九 必要不充分条件】 【例1】（24-25高一下·湖南·期末）若命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】得到，然后根据小充分大必要进行判断即可. 【详解】由题可知：：， 所以， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【例2】（22-23高一上·辽宁锦州·期中）设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】 【分析】根据必要条件的性质进行求解即可. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合B为非空集合，故有解得，所以a的取值范围. 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）“是有理数”是“是有理数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的定义判断即可得. 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知关于的方程，则（    ） A．当时，方程只有一个实数根 B．是方程有实数根的必要不充分条件 C．该方程不可能有两个不等正根 D．该方程不可能有两个不等负根 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合一元二次方程根的情况，逐项分析即可. 【详解】对于A，时，方程只有一个实根，A正确； 对于B，方程有实数根，则，即，解得或， 因此是方程有实数根的充分不必要条件，B错误； 对于C，若方程二根为则，，不可能有两个不等正根，C正确； 对于D，当时，方程有2个不等负根，D错误. 故选：AC 3．（2025高三下·全国·专题练习）“”是“”的 条件（选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）． 【答案】必要不充分 【分析】利用必要不充分条件的定义即可得结果. 【详解】由可得或， 即由不一定有成立，但由能推出成立． 故“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 4．（2024高一上·江苏南通·阶段练习）已知，． （1）是否存在实数m，使是的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由； （2）是否存在实数m，使是的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）存在实数，使是的充分条件；（2）当实数时，是的必要条件． 【分析】（1）要使是的充分条件，需使，列不等式求解即可；（2）要使是的必要条件，需使，分情况讨论是否为空集，列不等式求解. 【详解】（1）要使是的充分条件，需使，即，解得：，所以存在实数，使是的充分条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 【经典例题十 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（24-25高二下·天津河北·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件与集合之间的关系，判断出两个集合之间的包含关系，求出结果. 【详解】已知，则，解得， 因为，所以“”不可以推导出“”，但是“”能推导出“”， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B. 【例2】（23-24高一上·陕西·阶段练习）判断下列命题的真假，并说明理由. (1)“”是“”的必要不充分条件； (2)“”是“”的充要条件. 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】（1）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论； （2）通过判定命题的充分性与必要性即可得出结论. 【详解】（1）该命题是假命题.理由如下， 充分性：当时，，充分性成立， 必要性：由，得，，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件，故该命题是假命题. （2）该命题是真命题.理由如下， 充分性：若，则，充分性成立， 必要性：若，则，必要性成立. 故该命题是真命题. 1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知a，b为实数，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分与必要条件的定义判断即可. 【详解】由且，可得，所以“”是“且”的必要条件， 取，满足，但不满足且， 所以“”是“且”的不充分条件， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是有理数”，：“是实数” B．：“”，：“” C．：“”，： “” D．：“”，：“” 【答案】BD 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，一方面若“是有理数”，则必定有“是实数”； 另一方面若“是实数”，则不一定有“是有理数”， 因为“可能是无理数”， 所以“是有理数”是“是实数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若是的充分非必要条件，是的必要条件，则是的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，而， 因为是的必要条件，所以， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 4．（22-23高一·全国·课堂例题）试证： (1)在实数范围内，是的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据充分而不必要条件的定义判断可得答案； （2）根据必要而不充分条件的定义判断可得答案． 【详解】（1），则是的充分条件； 由于，故，则不是的必要条件． 因此，是的充分而不必要条件； （2）记：四边形的两组对边分别相等，：四边形为矩形，，则是的必要条件； 由于平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形不都是矩形，，则不是的充分条件． 因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件． 【经典例题十一 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得，所以的取值范围为. 故选：B. 【例2】（2024高一上·山西大同·期中）设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围； 【答案】． 【解析】由“”是“”的必要条件有，讨论、满足条件时m的范围，最后求并集即可. 【详解】若“”是“”的必要条件，则， ， ①当时，，此时，即； ②当时，，有成立； ∴综上所述，所求的取值范围是． 1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2．（多选题）（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】依题意，“或”是“”的必要不充分条件， 所以或，解得或， 所以ACD选项正确，B选项错误. 故选：ACD 3．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（2025高三上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】求解一元二次不等式化简B，再把“x∈A”是“x∈B”的必要条件转化为两集合端点值间的关系列式求解． 【详解】解：， ∵“”是“”的必要条件， ∴， 即，则， 解得，即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查数学转化思想方法，是基础题． 【经典例题十二 必要条件】 【例1】（24-25高一上·上海·期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（    ）条件是“能扫天下” A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意知“能扫天下”是“能扫一屋”的充分条件，即“能扫一屋”是“能扫天下”的必要条件. 故选：B. 【例2】（24-25高一上·上海·随堂练习）用“”表示下列陈述句与之间的推出关系： (1)，； (2)，； (3)：我是中国人，：我是上海人； (4)：四边形是矩形，：四边形是平行四边形； (5)，. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据充分条件和必要条件的定义，即可逐一求解. 【详解】（1）由于，可得；但得不到，故； （2）由于，则，所以； （3）若：我是上海人，则：我是中国人，但中国人不一定是上海人，故； （4）若：四边形是矩形，则：四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，故； （5）若，则，但得不到，故. 1．（24-25高一上·四川成都·期末）若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（多选题）（23-24高一上·广东广州·期中）已知命题，则（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．不是的充分条件 D．不是的必要条件 【答案】BC 【分析】利用充要条件与集合的关系、必要条件的概念即可得解. 【详解】不妨令，则， 又，所以， 则是的必要不充分条件，故BC正确；AD错误. 故选：BC. 3．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 4．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件 【经典例题十三 充要条件】 【例1】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【例2】（2024高一上·浙江温州·阶段练习）设. (1)求证：成立的充要条件是. (2)直接写出成立的充要条件（不要求证明）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：先证充分性：，讨论： i当，继续讨论： ①时，，，所以； ②时，，，所以； ③时，所以； 当时，有成立 ii当，即或 ①当时， ②当时，，， 再证必要性：，两边平方有： ，， 综上：成立的充要条件是. （2）因为， 所以成立的充要条件. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由，可得，又，所以， 由，得， 因此“”是“”的充要条件． 故选：A 2．（多选题）（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）下列四个选项中，是的充要条件的有（    ） A．：三角形是等腰三角形，：三角形存在两角相等 B．：两个三角形相似，：两个三角形三边成比例 C． D．：四边形是正方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】AB 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】三角形是等腰三角形，则两底角相等，从而存在两角相等；反之，当三角形中有两角相等时，所对的边相等，即为等腰三角形，所以“三角形是等腰三角形”的充分必要条件是“三角形存在两角相等”，故A正确； 根据相似三角形的定义，可知三边对应成比例；反之，当三边对应成比例时，根据边边边的判定定理，可知两个三角形相似，故“两三角形相似”是“两三角形三边成比例”的充分必要条件，故B正确； 时，可能或者，故“”不是“”的充分条件，故C错误； 正方形的对角线互相垂直且平分，但是对角线互相垂直且平分的四边形可以是任意的菱形，不一定是正方形，故“四边形是正方形”是“四边形对角线互相垂直且平分”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AB 3．（23-24高一上·河北·阶段练习）“的每个内角都是”是“是等边三角形”的 条件. 【答案】充要 【分析】利用等边三角形的性质可知充分性和必要性都成立，即可得出答案. 【详解】易知，“的每个内角都是”可推出“是等边三角形”，既满足充分性； 若“是等边三角形”，则“的每个内角都是”，即满足必要性； 所以“的每个内角都是”是“是等边三角形”的充要条件. 故答案为：充要 4．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性. 【详解】证明：（1）充分性：由得. 即满足方程. 是方程的一个根 （2）必要性：是方程的一个根， 将代入方程得. 故是一元二次方程的一个根的充要条件 是 【经典例题十四 充要条件的证明】 【例1】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】由不等式的性质可知由，由， 故选：A 【例2】（2025高一·全国·课后作业）若a，，p：，q：．判断p是否为q的充要条件． 【答案】p是q的充要条件 【分析】利用充要条件的定义判断即可 【详解】p是q的充要条件．理由： 若，则，即； 若，则，即，故， 所以p是q的充要条件． 1．（24-25高二上·上海·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即，所以充分性成立；当时，即可得到，所以必要性成立. 故选：C 2．（多选题）（2024高一·江苏·单元测试）已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 【答案】AD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项. 【详解】解：由已知得：；. 是的充分条件；是的充分条件； 是的充要条件；是的充要条件. 故选：AD 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如果a、b、c为实数，设：；：、、中至少有一个为0；：.那么 ； ； ．（用符号“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】对：，则，再利用逻辑关系即可得到答案. 【详解】因为：；：、、中至少有一个为0；则； ：，则，则；； 故答案为：；；. 4．（2024 高一·浙江·期末）已知集合，试证明“”是“”的充要条件． 【答案】证明见详解. 【解析】利用充要条件的定义，分别证出充分性、必要性即可求解. 【详解】充分性：若“”，则，充分性满足； 必要性：若“”，则， 所以 ， 所以是方程的一个解， 所以“”，必要性满足. 【经典例题十五 探求命题为真的充要条件】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）函数的图象关于直线对称的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质、充要条件的性质求解. 【详解】函数的图象的对称轴为直线， 函数的图象关于直线对称的充要条件是，即. 故选：B. 【例2】（2023高二下·浙江台州·阶段练习）设 ，求证：成立的充要条件是xy≥0． 【答案】证明见解析． 【分析】利用充要条件的性质求解. 【详解】证明： （充分性）若xy=0，成立; 若,； 若, (必要性) 1．（24-25高一上·河南南阳·期中）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和，利用判别式法求得a的范围，再利用充要条件的性质判断. 【详解】解：当时，，方程有实根； 当时，，解得，此时，，且， 综上：方程有实根”的充要条件为， 故选：A 2．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A 3．（22-23高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ． 【答案】 【分析】利用判别式即可求出实数的取值范围，再利用充要条件的性质求解． 【详解】一元二次方程有实数根，应满足， 解得或， 所以实数的取值范围是 故答案为： 4．（2025高一·全国·课后作业）求关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件. 【答案】m＝0 【分析】对参数进行分类讨论；若为一元二次方程，利用两根之和即可求解探讨. 【详解】当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件； 当m≠0时，有＝2，解得m＝1或m＝－， 但Δ＝(m＋1)2－8m2， 当m＝1及m＝－时，均使Δ<0， 故充要条件是m＝0. 【点睛】本题考查充要条件的探索，属较易题；解决本题的主要方法是紧扣方程根的总和为2. 【经典例题十六 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充要条件的性质、一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 【例2】（2024 高一上·江苏·期中）已知，恒成立，． （1）求集合； （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由，恒成立，即△，解得即可求得集合． （2）由是的必要不充分条件，则，根据集合之间的关系，即可求出 的范围． 【详解】解：（1），恒成立， △，得到， ． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 当，即，所以， 当，即， 所以，，即， ，即， 所以， 综上所述：． 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用充分必要条件的定义进行判断求解，属于基础题． 1．（2025高二上·河南·阶段练习）关于x的方程有实数解的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，从可得结果 【详解】因为， 所以关于的方程有实根的充要条件是. 故选：D. 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 4．（2024高一上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设p:xa，q:x3. （1）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围; （2）若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围; （3）若a是方程x26x+9的根，判断p是q的什么条件. 【答案】（1）{a|a3}；（2）{a|a3}；（3）p是q的充要条件. 【分析】设对应的集合分别为，由充分条件、必要条件与集合包含之间的关系可得． 【详解】设A={x|xa}，B={x|x3}. （1）若p是q的必要不充分条件，则有B⫋A，所以a的取值范围为{a|a<3}. （2）若p是q的充分不必要条件，则有A⫋B，所以a的取值范围为{a|a3}. （3）因为方程x2-6x+9=0的根为3，则有A=B，所以p是q的充要条件. 【点睛】本题考查由充分必要条件求参数，解题关键是掌握充分条件、必要条件与集合包含之间的关系．设条件对应集合，条件对应集合，是的充分条件，是的必要条件． 【拓展训练一 逆否命题的应用】 【例1】（2024高二上·福建福州·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）方程有实数根； （2）弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧； （3）若或，则； （4）在中，若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用判别式可判断（1）；根据圆的性质可判断（2）；判断逆否命题的真假以及原命题与逆否命题同真同假可判断（3）；利用三角形的性质：大边对大角，可判断（4） 【详解】（1）方程，，所以方程有实数根，真命题； （2）由圆的性质，弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧，真命题； （3）逆否命题：若，则且，命题为假命题，所以原命题为假命题； （4）在中，大边对大角，若，则，真命题. 所以（1）（2）（4）为真命题. 故选：B 【例2】（2024高一上·上海·课后作业）判断命题“若为锐角三角形，则”的真假，并证明． 【答案】真，证明见解析 【分析】根据逆否命题的性质进行判断即可 【详解】命题“若为锐角三角形，则”的逆否命题为： 若，则不是锐角三角形；若，则，所以为钝角三角形或直角三角形．故逆否命题为真，从而原命题为真． 【点睛】本题考查了逆否命题的性质、利用等价命题判断命题的真假. 1．（2024高二上·安徽阜阳·阶段练习）命题“若不正确，则不正确”的逆命题的等价命题是 A．若不正确，则不正确 B．若不正确，则正确 C．若正确，则不正确 D．若正确，则正确 【答案】D 【分析】由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是： “若q不正确，则p不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p正确，则q正确” 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键． 2．（2025高二下·浙江·期末）某命题与自然数有关，如果当时该命题成立，则可推得时该命题也成立．现已知当时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题成立 D．当时，该命题不成立 【答案】D 【分析】根据题干的逆否命题可判断. 【详解】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立． 所以当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立， 当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立. 故选：D. 3．（23-24高二下·山西运城·期末）有下列几个命题：①若，则；②“若则”的逆命题；③“若，则互为相反数”的否命题；④“若，则互为倒数”的逆否命题. 其中真命题的序号是 . 【答案】③④ 【分析】①通过不等式的性质判断；②通过逆命题的定义判断；③通过否命题的定义判断；④通过逆否命题的等价转化判断. 【详解】解：①当时，，所以命题是假命题；②逆命题为：若，则， 当c=0时，命题不成立，所以逆命题为假命题；③否命题为：若，则不互为相反数，是真命题；④因为“若，则互为倒数”是真命题，所以逆否命题也为真命题. 故答案为③④. 【点睛】本题考查命题真假的判断. 4．（23-24高一·全国·课后作业）若实数、满足，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明原命题的逆否命题，得到答案. 【详解】若实数、满足，则． 逆否命题为：若实数、满足，则 证明：，则 得证 原命题与逆否命题等价 故若实数、满足，可得 【点睛】本题考查了关系式的证明，当原命题不易证明时转化为逆否命题是常用的技巧. 【拓展训练二 命题求参的相关问题】 【例1】（2024高二上·甘肃武威·期中）已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】先求出，是真命题的的范围，由于或为假命题，得到，应该全假，即，的否定为真，列出方程组，求出的范围． 【详解】解：若真则； 若真，即恒成立， 所以△， 解得． 因为或为假命题，所以，全假． 所以有， 所以． 故选：B． 【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：且的真假，当，全真则真，有假则假；或的真假，，中有真则真，全假则假；非的真假与的真假相反． 【例2】（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知命题①函数的图象总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. (1)若命题①为真，求的取值范围； (2)若命题①、②中至多有一个命题为真，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分、讨论可得答案； （2）求出命题①、②都为真命题时的取值范围，再求其补集可得答案. 【详解】（1）命题①函数的图象总在轴上方为真命题，则 当时，符合题意； 当，由求得， 故的取值范围为：； （2）若方程有两个不相等的实数根， 则，解得， 若命题①、②都是真命题，则； 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围为或. 1．（2023高一上·辽宁沈阳·阶段练习）设命题p：函数的定义域为R，命题q：函数的值域为R，若命题p、q有且仅有一个正确，则c的取值范围为（    ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】先求出命题p和命题q，然后根据命题p、q的取值范围和命题p、q有且仅有一个正确，来确定c的取值范围． 【详解】命题p：函数的定义域为R， 的解集为R， ，即命题p：． 函数的值域为R， 能取到所有大于零的值 这就要求抛物线的值域包括这一范围 由于其开口向上，只需判别式大于等于零 所以，即命题q：． 命题p、q有且仅有一个正确， 的取值范围为． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与求参，解题时要认真审题，注意公式的合理运用． 2．（多选题）（2024高三上·湖北·期中）若“”为假命题，“”为真命题，则集合可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】求出”为假命题，对应的的范围，“”为真命题，对应的的范围，求交集即可. 【详解】因为”为假命题， 所以为真命题， 所以，， 若“”为真命题， 所以的范围是 集合可以是的子集， 故选：AB 【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围，属于中档题. 3．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可 【详解】命题p：恒成立，若p是真命题， 则：， 命题q：，使得成立， 若命题q为真命题， 则. 所以命题q是假命题时，， 综上，参数a的取值范围为：， 即 故答案为： 4．（22-23高一上·重庆·期中）已知，．，． (1)若p为真命题，求m的取值范围． (2)若p，q至少有一个是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）根据方程有实数根，即可根据判别式求解； （2）分别求出命题p，q为真命题，解出m的取值范围，然后得两者均为假命题的m的取值范围，即可解出至少一个为真命题的范围． 【详解】（1）命题p为真，则方程有实数根即可，故，解得或， 故p为真命题，求m的取值范围为或 （2）q是真命题，则对恒成立，故 ， 故命题p，q均为假命题时，满足，解得 ， 因此p，q至少有一个是真命题时，或 【拓展训练三 各类条件的判断】 【例1】（2024高一·全国·单元测试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【分析】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 1．（24-25高二下·北京东城·期末）设函数，直线，则“”是“直线为曲线的一条切线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的判断方法进行分析，结合图象以及判别式判断出正确答案. 【详解】若，则， 由下图可知，与不相切. 所以，“”不能推出“直线为曲线的一条切线”；    若直线为曲线的一条切线： 由消去并化简得， 则，即. 所以，“直线为曲线的一条切线”能推出“”. 综上，“”是“直线为曲线的一条切线”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（多选题）（24-25高一上·江苏·期中）下列命题中为真命题的是（   ） A．“”是“”的既不充分又不必要条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要而不充分条件 C．“关于的方程有实数根”的充要条件是“” D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，由于与互相不能推出，所以A正确; 对于B，正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 即“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分而不必要条件，所以B错误； 对于C，“关于的方程有实数根”的充要条件是“”，所以C错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 3．（2024高一上·江西九江·阶段练习）下列三个结论中所有正确结论的序号是 ． ①设A，B是非空集合，则“”是“”的充分不必要条件； ②“”是“的必要条件”； ③已知集合A与B，则是的充要条件． 【答案】①②③ 【分析】根据集合之间的关系以及不等式的性质即可结合充分、必要条件的判断求解. 【详解】若，则，但是，若，则,故“”是“”的充分不必要条件；①正确， 若，所以“”是“的必要条件”，故②正确， ，故是的充要条件，③正确， 故答案为：①②③ 4．（24-25高一上·全国·课前预习）下列各题中，是的什么条件？是的什么条件？ (1)，：抛物线过原点； (2)且，且； (3)，. 【答案】(1)是的充要条件，是的充要条件. (2)是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. (3)是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 【分析】（1）根据题意，结合抛物线的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解； （2）根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解； （3）根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】（1）解：当时，抛物线过原点，所以充分性成立； 反之：若抛物线过原点，可得，所以必要性成立， 所以是的充要条件，是的充要条件. （2）解：且，可得且，所以充分性成立； 反之：若且，则且不一定成立，所以必要性不成立； 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. （3）解：若，可得，所以充分性成立； 反之：若，可得，则 不一定成立，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 1．（2024高二上·江苏宿迁·期末）2021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱《没有共产党就没有新中国》这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据题中条件，写出命题“没有共产党就没有新中国”的逆否命题，再根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”； 其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”； 即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件. 故选：B. 2．（2025高一上·全国·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的充分不必要条件 B．“方程有实数根”是“”的充要条件 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的判断方法逐一判定即可. 【详解】对于A，易知“三角形是等腰三角形”是“三角形是正三角形”的必要不充分条件，即选项A错误； 对于B，当时，方程有实数根； 当时，若有实数根，则，即选项B正确； 对于C，若，则，所以选项C错误； 对于D，若，有，但不满足；若，则，但不满足，即选项D正确. 故选：D. 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期末）设，则“”的充要条件是（   ） A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0 C．a，b都为1 D．不都为1 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用充要条件的定义判断即可. 【详解】由题意， 则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1， 所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”. 故选：A. 5．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6．（多选题）（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】将命题“，”是真命题，转化为，”恒成立求得a的范围，再利用充分不必要条件的定义判断. 【详解】因为命题“，”是真命题， 所以，”恒成立， 所以， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是，， 故选：BC 【点睛】本题主要考查命题为真的应用以及恒成立问题，属于基础题. 7．（多选题）（2025高一上·全国·专题练习）设全集为，集合，，是的子集，且，.则下列命题正确的是（    ） A．若，则“”是“”的必要条件 B．若，则“”是“”的充要条件 C．若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集 D．若（其中），则“”是“”的充分条件 【答案】CD 【分析】利用集合的关系和充分必要条件的定义逐一进行判定即可. 【详解】对于A，由，若，则且，但不一定属于，因此“”不是“”的必要条件，即选项A错误； 对于B，若，当时，则必须属于（否则）； 但时，也可能.因此“是的充分不必要条件，即选项B错误； 对于C：若“”是“”的充分不必要条件，则且， 即则是的真子集，即选项C正确； 对于D：由，若，则必有， 因此“”是“”的充分条件，故D正确； 故选：CD. 8．（多选题）（25-26高一上·全国·单元测试）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】AB 【分析】结合已知根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB 9．（多选题）（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可. 【详解】对于，因为， 则，解得，即：， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则，结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 10．（多选题）（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）下列命题中，正确的是（   ） A．集合，表示同一集合 B．，，都有为真命题 C．集合，集合，则 D．设，则“”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】由集合、充要条件的相关概念逐项判断即可. 【详解】对于A:集合是全体实数，集合:，故错误； 对于B: 恒成立，故错误； 对于C：正确 对于D:当时，可得；当时，可得，故正确 故选:CD 11．（2023高三·上海·期中）能够说明“若，则”是假命题的一组有序数对是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要满足，且不同时大于2即可. 【详解】当，满足， 而不成立， 故答案为：（答案不唯一）. 12．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】命题“，”是真命题，则， 解得. 故答案为：. 13．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题干条件可知Q是P的子集，可分为当为空集和非空集两类去讨论，最后取二类结果并集即得答案. 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 14．（24-25高一上·上海·期中）命题：“的充要条件是 是 命题． 【答案】真 【分析】根据绝对值不等式以及分式不等式进行判断. 【详解】，，通分可得， 即，所以， 则或，此时满足； 当且时，， 因为，所以，即， 当且时，， 因为，所以，即， 所以“的充要条件是 是真命题， 故答案为：真. 15．（2023高一·浙江杭州·期末）已知，若p是q的充要条件，则 ， . 【答案】 【解析】由p是q的充要条件，可得，建立方程组即可求解. 【详解】若p是q的充要条件，则， ，解得. 故答案为：；. 【点睛】本题考查充要条件与集合的关系，属于基础题. 16．（2024高二上·河北邢台·期中）设条件：实数满足；条件：实数满足且命题“若，则”的逆否命题为真命题，求实数的取值范围． 【答案】或． 【详解】试题分析：“若，则”的逆否命题为真命题，则原命题为真命题，化简，当时，；时，，化简 ，，所以，从而求解． 试题解析：设，当时，；当时， ，由于命题“若，则”的逆否命题为真命题 所以命题“若，则”为真命题 是的充分条件 或 所以实数的取值范围是或 考点：1、逆否命题；2、充分条件；3、集合的子集． 17．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题“，方程有实根”是真命题. (1)求实数的取值集合A； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，运算求解即可； （2）由题意可知：集合是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【详解】（1）由题可知：，解得，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合A的真子集， ①当时，，即，满足题意； ②当时，，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为. 18．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【详解】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件. （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， ∴是的必要非充分条件. 20．（22-23高一上·四川眉山·阶段练习）已知集合，，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)当横线部分内容为“充要条件”时，若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由？ (2)请在①充分不必要条件②必要不充分条件这两个条件中任选一个补充在上面的问题中横线部分．若问题中的存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1)不存在满足条件的，理由见解析 (2)若选①，问题中的存在，且的取值集合，若选②，问题中的存在，且的取值集合. 【分析】（1）转化为，根据两个集合相等列式可求出结果； （2）若选①，根据是的真子集列式可求出结果；若选②，根据是的真子集列式可求出结果. 【详解】（1）当横线部分内容为“充要条件”时，则，则且，方程组无解. ∴不存在满足条件的. （2）若选①，则是的真子集，则且（两等号不同时取），且，解得， ∴问题中的存在，且的取值集合. 选②，则是的真子集， 当时，，即，满足是的真子集； 当时，，即，由是的真子集，得且（两等号不同时取），解得； 综上所述：. 所以问题中的存在，且的取值集合. 学科网（北京）股份有限公司 $$