1.1 集合的概念与表示（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念与表示，从集合的定义、元素确定性互异性无序性入手，梳理元素与集合的属于关系，系统介绍列举法、描述法、韦恩图法等表示方法及常用数集符号，构建从概念到应用的学习支架。 资料以课标为纲，设置随学随练与分层题型，如由互异性求参数培养逻辑推理（数学思维），描述法与列举法互化提升数学语言表达，新定义题如“数域”“好集合”发展创新意识（数学眼光）。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，兼顾基础与素养提升。

第1章 集合 1.1集合的概念与表示 课标要点 理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． 理解元素确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。 学习重难点 重点： 1.集合的概念、元素的确定性、互异性、无序性、集合的表示 2.描述法的规范书写 难点： 1.由集合元素互异性求参数 2.描述法与列举法的互化 3.元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用 知识点 元素与集合的概念 1、集合的概念 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母_,,,…来表示集合． 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母,,,…表示集合的元素． 2、元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 特别提醒 1）互异性是考试常考特点，注意检验集合的互异性 易错提醒 1）解题时有多个答案，注意回代检查是否符合集合的互异性 随学随练 1．下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 3．（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合 ，，则__________． 知识点 元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别提醒 符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． 易错提醒 和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 随学随练 1．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 知识点 集合的表示方法与分类 1、自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 2、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． 3、描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 4、（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 5、集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 6、常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 特别提醒 1）列举法每个元素之间需要用“，”隔开 2）描述法要注意规范书写，特别注意中间要用竖线隔开 随学随练 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2026高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 知识点 集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素)，那么称这两个集合相等． 特别提醒 1）解集合相等问题时，注意检验集合元素是否符合确定性、互异性、无序性 随学随练 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则______． 2．设，集合，若，则__________. 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知，且，则＝________． 拓展 描述法与列举法的互化 活学活用 1．（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）集合，用列举法可以表示为____________ 2．用列举法表示集合. 题型 判断元素能否构成集合 解题贴士 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． ▌例1 （24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 ▌例2 （25-26高一上·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind ▌对点练1-1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 ▌对点练1-2．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 题型 判断集合是否相等 ▌例1（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 ▌例2（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，若，则__________. ▌对点练2-1（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 ▌对点练2-2（23-24高一上·上海徐汇·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. ▌对点练2-3（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则________. 题型 判断元素与集合的关系 解题贴士 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征 ▌例1（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． ▌例2（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 ▌对点练3-1（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练3-2（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3（25-26高一上·湖南邵阳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 题型 根据元素与集合的关系求参数（重点） 解题贴士 解题时注意将答案回代集合检验集合元素是否满足互异性。 ▌例1（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则_______. ▌例2（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． ▌对点练4-1（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知集合，若，则______． ▌对点练4-2（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. ▌对点练4-3（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）已知集合，若，则______． 题型根据集合元素的互异性求参数 （重点） 解题贴士 解题时注意将答案回代集合检验集合元素是否满足互异性。 ▌例1（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． ▌例2（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ ▌对点练5-1（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 ▌对点练5-2（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 题型 列举法与描述法 解题贴士 1、注意列举法与描述法书写规范； 2、描述法转化成列举法时注意满足集合的特性 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·北京·阶段检测）用列举法表示集合为________. ▌对点练6-1（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 ▌对点练6-2（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． ▌对点练6-3（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）设集合，则用列举法表示集合为______. 题型 根据集合元素的个数求参数（重点） 解题贴士 易错题型：最高项系数含参数时，特别容易忽略最高项系数为“0” ▌例1（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． ▌例2（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 对点练7-1（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． ▌对点练7-2（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. ▌对点练7-3（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 题型 新定义题 ▌例1（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② ▌例2（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. ▌对点练8-1（25-26高一上·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练8-2（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 基础通关 1．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 5．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 7．（多选）（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（    ） A．若，则集合中还有另外两个元素 B．集合中元素个数为3的倍数 C．集合中所有元素之积为1 D．若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则 9．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 10．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 素养提升 1．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一上·上海·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 3．（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 迁移创新 1．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 4．（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）设数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 5．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合 1.1集合的概念与表示 课标要点 理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． 理解元素确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。 学习重难点 重点： 1.集合的概念、元素的确定性、互异性、无序性、集合的表示 2.描述法的规范书写 难点： 1.由集合元素互异性求参数 2.描述法与列举法的互化 3.元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用 知识点 元素与集合的概念 1、集合的概念 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．通常用大写拉丁字母_,,,…来表示集合． 元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写拉丁字母,,,…表示集合的元素． 2、元素的特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 特别提醒 1）互异性是考试常考特点，注意检验集合的互异性 易错提醒 1）解题时有多个答案，注意回代检查是否符合集合的互异性 随学随练 1．下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 2．下列说法正确的是（    ） A．本校擅长打篮球的学生可构成集合 B．七大洲可以构成一个确定集合 C．数集含有7个元素 D．不大于3的正整数组成的集合为 【答案】B 【分析】根据集合的确定性判断A，B，应用互异性判断C，列举法判断D. 【详解】A选项，“擅长”标准模糊，不满足确定性； B选项，七大洲对象确定，可构成集合； C选项，违背互异性，重复元素只算1个，仅有5个元素； D选项，不大于3的正整数不含0，正确集合为. 3．（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合 ，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 知识点 元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别提醒 符号刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素与一个集合A而言,只有“”与“”这两种结果． 易错提醒 和具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如是错误的． 随学随练 1．（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 3．用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 知识点 集合的表示方法与分类 1、自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 2、列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． 3、描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 4、（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 5、集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 6、常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 特别提醒 1）列举法每个元素之间需要用“，”隔开 2）描述法要注意规范书写，特别注意中间要用竖线隔开 随学随练 1．（25-26高一上·北京·阶段检测）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 2．（25-26高一下·安徽六安·阶段检测）下列集合表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，根据集合的定义及表示方法可知A正确 对于B，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故B错误 对于C，集合中存在相同的元素，不符合集合中元素的互异性，故C错误 对于D，表示集合的符号使用错误，对于有，，共个元素的集合表示为，故D错误． 3．（2026高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 知识点 集合相等 如果两个集合所含的元素完全相同(即中的元素都是的元素，中的元素也都是的元素)，那么称这两个集合相等． 特别提醒 1）解集合相等问题时，注意检验集合元素是否符合确定性、互异性、无序性 随学随练 1．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 2．设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·广东佛山·阶段检测）已知，且，则＝________． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 故答案为：或1 拓展 描述法与列举法的互化 活学活用 1．（23-24高一上·湖北武汉·阶段检测）集合，用列举法可以表示为____________ 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 2．用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 题型 判断元素能否构成集合 解题贴士 给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，所谓“确定”，是指所有被“研究的对象”都是这个集合的元素，没有被“研究的对象”都不是这个集合的元素． ▌例1 （24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. ▌例2 （25-26高一上·湖南邵阳·期中）下列英文单词中，可以以自身包含的所有字母为元素组成的集合的是（   ） A．potential B．challenge C．balance D．remind 【答案】D 【分析】利用集合的互异性求解. 【详解】选项A中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项A错误； 选项B中字母和重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项B错误； 选项C中字母重复，不满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项C错误； 选项D中字母没有重复，满足以自身包含的所有字母为元素组成的集合，故选项D正确. 故选：D. ▌对点练1-1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C ▌对点练1-2．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 题型 判断集合是否相等 ▌例1（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B ▌例2（24-25高一上·江西南昌·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合及集合元素的互异性即可求出的值，然后得解. 【详解】由元素的互异性可得且，. 因为，且， 所以，或，解得或（舍）， 所以. 故答案为： ▌对点练2-1（24-25高一上·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. ▌对点练2-2（23-24高一上·上海徐汇·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. ▌对点练2-3（23-24高一上·全国·课后作业）若集合，，且，则________. 【答案】4 【分析】根据集合相等，即两个集合的元素相同，即可求解. 【详解】∵，∴集合中的元素相同， 故，则. 故答案为：4 题型 判断元素与集合的关系 解题贴士 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征 ▌例1（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【详解】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C ▌例2（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. ▌对点练3-1（25-26高一下·甘肃兰州·期中）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故B正确． ▌对点练3-2（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. ▌对点练3-3（25-26高一上·湖南邵阳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. 题型 根据元素与集合的关系求参数（重点） 解题贴士 解题时注意将答案回代集合检验集合元素是否满足互异性。 ▌例1（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）若，则_______. 【答案】 【分析】由已知可得或，求出值并验证互异性. 【详解】因为，所以或. 若，则或， 当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，，此时，符合题意； 若，则，由上可知，不满足互异性. 综上可知，. 故答案为： ▌例2（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）已知数集满足条件：当时，，若，则中所有元素组成的集合是______． 【答案】 【分析】根据，当时，求解；当时，求解即可. 【详解】由题意，, 当时，则， 则， 又， 所以集合. 故答案为：. ▌对点练4-1（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知集合，若，则______． 【答案】 【分析】已知，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可. 【详解】因为， 所以或， 当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（同上，舍去）， 此时． 综上． 故答案为：. ▌对点练4-2（24-25高一上·上海·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】或. 【分析】根据题意可知当时满足，当时，两方程联立可求解. 【详解】根据题意可知集合，且， 所以当时满足，且当时满足， 联立，解之可得或. 实数的取值范围是或. 故答案为：或. ▌对点练4-3（24-25高一上·云南昭通·阶段检测）已知集合，若，则______． 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性分别讨论集合中三个元素分别为1时的值，再计算即可； 【详解】因为， 若时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，集合，不符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性； 若，即或2时： 当时，由以上可知不符合题意； 当时，，符合； 所以，所以， 故答案为：. 题型根据集合元素的互异性求参数 （重点） 解题贴士 解题时注意将答案回代集合检验集合元素是否满足互异性。 ▌例1（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. ▌例2（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： ▌对点练5-1（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． ▌对点练5-2（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 题型 列举法与描述法 解题贴士 1、注意列举法与描述法书写规范； 2、描述法转化成列举法时注意满足集合的特性 ▌例1（2026高三·全国·专题练习）方程组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，代入, 可得，解得，所以， 所以方程组的解集为. ▌例2（25-26高一上·北京·阶段检测）用列举法表示集合为________. 【答案】 【分析】根据分式结构一一列举即可. 【详解】分别取，则依次为， 显然只有时满足，即. 故答案为： ▌对点练6-1（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知集合，则中元素的个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】数集表示的是自然数集， ，， ， ， 中元素的个数是. ▌对点练6-2（25-26高一上·安徽芜湖·期中）已知集合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据确定出的可取值，然后根据判断出中的元素即可求解出. 【详解】因为，所以， 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，符合； 若，则，符合；若，则，不符合； 所以， 故选：B. ▌对点练6-3（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）设集合，则用列举法表示集合为______. 【答案】 【分析】根据的正因数进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，解得， 所以， 故答案为： 题型 根据集合元素的个数求参数（重点） 解题贴士 易错题型：最高项系数含参数时，特别容易忽略最高项系数为“0” ▌例1（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. ▌例2（24-25高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 对点练7-1（多选）若集合中仅有两个不同元素，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】集合有两个不同元素，对应一元二次方程有两个不相等实数根， 即解得. ABD选项取值均满足不等式，C选项不满足. ▌对点练7-2（25-26高一上·北京延庆·阶段检测）已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. ▌对点练7-3（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 题型 新定义题 ▌例1（2026·广东深圳·三模）当一个非空数集满足：如果，那么且当时，时，我们称就是一个数域.有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域.其中正确的说法是（   ）. A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用数域的定义依次判断各个命题即可.. 【详解】当，且时，，因此0是任何数域的元素，①正确； 当，且时，由数域的定义知， 因此，②正确； 当时，，③错误； 如果，那么，且当时，，因此有理数集是一个数域，④正确. ▌例2（25-26高一上·上海浦东新·期中）若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【分析】根据题意，结合集合的新定义中性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ ▌对点练8-1（25-26高一上·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. ▌对点练8-2（多选）（25-26高一下·山东潍坊·阶段检测）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（    ） A．0是任何数域中的元素； B．若数域G中有非零元素，则； C．集合是一个数域； D．有理数集Q是一个数域． 【答案】ABD 【分析】依据数域的定义逐项分析即可. 【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确； 记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误； 因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确． 故选：ABD 基础通关 1．下列集合中，有限集的个数为（    ） （1）一元一次方程 的实数解组成的集合； （2）能被5整除的全体整数组成的集合； （3）一周所有星期名称组成的集合； （4）所有正奇数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】（1）一元一次方程 的实数解为，为有限集； （2）能被5整除的全体整数（末位是0或5的整数均可）有无数个，为无限集； （3）一周所有星期名称共7个，为有限集； （4）正奇数有无数个，为无限集. 所以有限集有2个. 2．下列数集关系判断正确的个数为（    ） ① ② ③ ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①，正确；②，正确； ③，错误；④，错误. 故判断正确的共2个. 3．（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据集合元素的互异性和从属关系分类讨论即可. 【详解】由题意得，即，此时显然不成立，舍去， 或，此时集合，满足互异性， 所以. 4．（25-26高二下·吉林·期末）已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 5．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 7．（多选）（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据常见数集符号概念以及集合的描述法逐项判断即可. 【详解】A选项，由于，，故A选项错误；B选项，符合有理数的定义，B选项正确； C选项，其中的范围为，C选项正确； D选项，不等式即，无解，故D选项正确； 故选：BCD. 8．（多选）（25-26高三上·安徽·阶段检测）设集合，且满足：（且），则.下列说法正确的是（    ） A．若，则集合中还有另外两个元素 B．集合中元素个数为3的倍数 C．集合中所有元素之积为1 D．若集合中元素个数不超过8，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，则 【答案】ABD 【分析】利用集合与元素之间的关系计算，结合集合元素的互异性判断AB；求出所有元素积判断C；确定元素个数并求出所有元素判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，（且），得， 令，得无解，即，同理，， 则，即集合A中任意一个元素可生成另外两个元素， 对任意互不生成的两个元素，各自生成另外两个元素，因此集合中元素个数为3的倍数，B正确； 对于C，，集合中互不生成的元素有个，则所有元素的积为，C错误； 对于D，依题意，集合中的元素个数应为3或6，由及 中有一个元素的平方等于所有元素的积，得中应有6个元素，且其中一个元素为， 由，得，又，则另外三个元素和为， 即，解得，，D正确. 故选：ABD 9．（25-26高一上·上海·期中）已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 10．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 素养提升 1．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则.则下列说法正确的个数为（   ） （1），（2），（3） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据题目条件得到，，故；（2），故；（3）分，和且三种情况进行求解，当且时，得到，进而，得到. 【详解】因为，，由②得，即， 故，即，由③得，（1）正确； ，，由②得，故，（2）正确； 若，则，若，则， 若且，因为，，由②得， 由③得，，又， 由②得，由③得， 由②得，（3）正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·阶段检测）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 3．（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合，则（　　） A． B． C．存在，使得 D．存在，使得 【答案】BD 【分析】利用集合的描述法及元素与集合的关系分析验证即可得出答案. 【详解】因为，所以是偶数，是奇数，所以集合中的元素都是奇数， 即代入……可得. 对于A，由上分析可知错误； 选项B，由上分析可知正确； 对于C，因为，所以可以推出都是奇数，而是偶数，所以不可能在集合中； 对于D，因为，所以可以推出都是奇数，而是奇数，所以可能在集合中， 例如. 故选：BD 4．（24-25高一上·上海·阶段检测）对正整数，记. (1)用列举法表示集合； (2)求集合中元素的个数； 【答案】(1); (2)46 【分析】（1）根据集合和的定义，将代入，通过列举，时的所有可能值来得到； （2）计算集合中元素个数时，需要分别考虑取不同值时的情况，找出重复的元素个数，再根据总计算个数减去重复个数得到中元素个数. 【详解】（1）已知，当时，. 对于，当，时，； 当，时，；当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 当，时，；当，时，； 当，时，. 综上，. （2）当时，，此时中有个元素，分别为. 当时，，此时又有个不同的元素， 因为（）与时的元素不同. 当时，同理，又得到个不同元素. 当时，，这里面有个数1,2,3与时中的数重复. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 当时，，得到个不同元素，因为（）与前面的元素都不同. 计算中元素个数，总共种的组合，但是时与前面重复了个元素，所以中元素个数为. 迁移创新 1．（25-26高一上·上海松江·期中）已知集合，，，若，，或，则称集合具有“包容”性. (1)判断集合和集合是否具有“包容”性，并说明理由； (2)若集合具有“包容”性，求的值. 【答案】(1) 对于集合，集合中的， 所以，集合不具有“包容”性； 对于集合， 该集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，得到的两数中至少有一个属于集合， 所以，集合具有“包容”性. (2)1 【分析】（1）根据“包容”性的定义进行判断即可. （2）根据“包容”性的定义进行计算即可. 【详解】（1）略 （2）若集合具有“包容”性，记， 则，易得，从而必有， 不妨令，则且， 则，且， 当时，若得， 此时具有包容性. 若，得舍去；若无解， 当时，则， 由且，可知无解，故， 所以. 2．（25-26高一上·宁夏石嘴山·期中）非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则，称集合是“坏集”. (1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； (2)若题设中的、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无须证明）. (3)题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”； 【答案】(1) ，当时，，，是“坏集”. ，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 对于任意，，若数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”. (2)且 (3) 假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为， 则，，因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾， ，而，所以，有限集合是“坏集”. 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可. （2）根据“超级好集”的定义进行解答即可. （3）根据“坏集”的定义进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）当且时，，则为“超级好集”； 下面证明：集合中不可能存在其它元素. 因为集合不可能存在同时大于1和小于1的元素， 若，且为中大于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 若，且为中小于1的元素中最大的元素 此时，，不是“超级好集”； 中不可能存在其它元素. 满足题意的“超级好集”且. （3）略 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析. 【分析】（1）根据差集的定义求解； （2）（i）（ii）根据的定义求解. 【详解】（1）因为，，，所以； 因为，，，所以. （2）（i）已知， 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 所以. （ii）若集合有个元素，集合有个元素， 则中的每一个元素是由中的一个元素和中的一个元素组成的有序数对， （其中，）. 因此，中元素的个数为，所有元素为. 4．（24-25高一上·河北廊坊·阶段检测）设数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 【答案】(1)证明见解析； (2)集合中必含有两个元素； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素； （3）设,且,则，，令及即可证明. 【详解】（1）若，则,与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合中必含有两个元素. （3）设,由（1）且, 则，. 令，化简可得, 因为, 所以方程无解，即. 令，化简可得， 同理无解，即， 所以集合中至少有三个不同的元素． 5．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由： 当时，不存在集合，使得. （反证法） 假设时，存在集合，使得， 不妨设，且， 则， 所以为中7个不同的元素， 所以， 由解得. 此时，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在这样的集合. 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解； （3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以为中元素， 故. （2）取，此时， 满足. （3）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $