第03讲 集合的基本运算（12题型）知识点题型归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第03讲 集合的基本运算 知识点一：并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 图形语言： 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 知识点二：交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”）. 符号语言： . 图形语言： 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 知识点三：补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 图形语言： 补集的性质 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 知识点四：运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （5）容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 解题方法 1.求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2.集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 3.求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 4.求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 5.求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集。 6.解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 交集、并集、补集的基本运算方法 1、进行集合运算时，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于且属于； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。 2、解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分； 3、当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。 7.韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 8.集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 9.、利用交并补求参数范围的解题思路 1、根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 2、根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 题型1：交集的概念及运算 1.已知集合，集合，则A∩B是（ ） A． B． C． D． 2.求下列每对集合的交集： (1)； (2)； (3)； (4)是菱形，是矩形； (5). 3.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝　 　． 4.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7.若集合，或，则集合等于（ ） A．或 B． C． D． 8．已知集合，则 . 9.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 10.设A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，则A∩B＝（　　） A．{1，2} B．{x＝1，y＝2} C．{（1，2）} D．{（x，y）|x＝1或y＝2} 11.已知集合则=________． 12.已知集合，则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 题型2：根据交集结果求集合或参数 1.若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 2.已知m是实数，集合，，若，则m= . 3.设集合，，若，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知集合，且，则集合M的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.设，集合，，若，则 ． 6.已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 7．已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9.设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ） A． B． C． D． 12.（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 13.设或，，，求的取值范围． 14．已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 15.已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 题型3：并集的概念及运算 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.满足条件{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（　　） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4.集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6.已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 7.若集合，，则（   ） A． B． C．或 D．或 8.已知全集为R，集合，，求； 9.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 10.若集合，或，则集合等于（） A．或 B． C． D． 11.设集合，则（    ） A． B． C． D． 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 题型4：根据并集结果求集合或参数 1.已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 3.已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 4.集合，若，的值组成的集合为 5.设集合，其中t为实数．令，．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为（ ） A．1 B． C．8 D． 6．已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 7.已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 8.已知集合，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9.已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 10.（多选）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 11.设集合，若，求实数的取值范围. 12.已知集合，，或. （1）若，求的取值范围． （2）若，求的取值范围. 题型5：根据并集结果求集合元素个数 1.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.已知集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．7 C．8 D．16 3．设集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 题型6：补集的概念及运算 1.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2.已知全集，集合，则的真子集个数为 ． 3.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5.已知集合则（ ） A． B． C． D． 6.设全集为，集合，集合. (1)求. (2)求. 7.已知集合，则 ． 8.若全集，则（    ） A． B． C． D． 9.已知全集，，则（ ） A． B．或 C． D．或 题型7：根据补集结果求集合或参数 1.设全集，若集合满足，则M的子集个数为（ ） A．3 B．1 C．4 D．2 2.设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 3.（多选）若全集，集合满足，则的值可能为（ ） A． B． C． D．0 4.已知全集，集合，，则实数的值为 ． 5.设，，若，则实数 . 6.设集合，，，若，则 ， ． 7.设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 8.已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 题型8：交并补混合运算 1．已知全集，集合，，求，，. 2.设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 4.若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 5.若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 6.设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 8.已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 9.已知全集．若集合、满足，，则________． 10已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝　 ． 11.设集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，全集U＝R，则＝　 ． 12.已知全集U＝R，集合，则＝　 　． 13.已知集合A＝{x|x2﹣9≥0}，B＝{x||x﹣4|＜2}，C＝{x|＜0}． （1）求A∩B、A∪C； （2）若全集U＝R，求∩B． 14.已知全集，集合，.求，，. 15.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 16.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 17.已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 18.设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 19.已知集合，或，则 . 20.集合，集合，则集合的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 21.设全集U为自然数集N，记E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}，那么N可以表示为（　　） A．E∪F B． C． D． 22．已知集合． (1)求集合； (2)求． 23．已知全集，集合，． (1)求，； (2)． 24.已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 25.已知集合， 或． （1）若全集，求、； （2）若全集，求； 26.设全集，集合，， (1)求； (2)求． 题型9：根据交并补混合运算确定集合或参数 1.已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2.已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 4.已知集合，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5.已知集合A＝{x||x﹣1|＞2}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，则m的取值范围是（　　） A． B． C．[0，1] D． 6.设集合，，若，则的取值范围是________． 7.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 8.设集合，，集合，则实数的值为_____． 9.设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________． 10.已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 11.已知集合，. (1)求集合 (2)若，求实数m的取值范围. 12.已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 13.设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 14.设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 15.已知集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）． （1）求； （2）若C＝{x|a﹣1≤x≤2a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围． 16.已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合. 17.已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 18..记不等式的解集为A，集合或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 19.已知集合或，． （1）若，求的取值范围； （2）若，且，求的取值范围． 20.已知集合，. （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，且，求实数的取值范围. 题型10：Veen图的应用 1.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 3．设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 4．已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 5.（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 6.已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 7.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 8.已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（　　） A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪ 9.如果全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，，则B＝　 　． 10.设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 11.已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　 ．（用含A、B或、集合语言表示）． 12.设全集为U＝R，集合，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}． （1）求如图阴影部分； （2）已知C＝{x|3x﹣t＜0}，若B∪C＝C，求实数t的取值范围． 13.已知全集,则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 14.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 15.如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 16.设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ） A． B． C． D． 17.（多选）如图中阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 18.如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（ ） A． B． C． D． 19.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 题型11：容斥原理 1.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 2．某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 3．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 5.某校学生积极参加社团活动，高年级共有100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团的学生有75名(并非每个学生必须参加某个社团).在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有多少名学生？最少有多少名学生？ 6.学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 7.高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 8.七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 . 9.某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有 人 10.某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 11.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型12：集合新定义 1.已知全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（　　） A．mn B．n﹣m C．m+n D．m﹣n 2.已知，其中a1＜a2＜a3＜a4，且a1、a2、a3、a4均为整数，若A∩B＝{a3，a4}，a1+a3＝0，且A∪B中的所有元素之和为270，则集合A中所有元素之和为 　　． 3.设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 4.对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 5.定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 6.设， (1)是否存在，，使得，，说明理由； (2)若，求，的值 7.定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 8．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 9.已知集合，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”． (1)分别判断数集与是否是集合S的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有； (3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值． 10.设，若，则称A为集合M的元“好集”． (1)写出实数集的一个二元“好集”； (2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由； (3)求出正整数集上的所有三元“好集”． 11.已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：； (3)具有性质，当时，求集合. 12.给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合. (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合C，D为闭集合，且，，证明：. 13.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）； (2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 14.设是正整数，集合，对于集合A中的任意元素和.记 (1)当时，若，求和的值； (2)当时，若的值为奇数，求所有满足条件的元素； (3)给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素满足，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由. 15.对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”. (1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由； (2)证明：不存在“减2集”； (3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由） 16.设A是非空实数集，且．若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质． (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由． 巩固练习 【选择题】 1.已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4.满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合的个数是（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 5.记集合，则（    ） A． B． C． D． 6.已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 7.已知集合，且，则（    ） A． B．0 C． D．1 8.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 9.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 10.集合,，则是（    ） A． B． C． D． 【填空题】 1.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 2.设全集，且，若，则 . 3.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有 人． 【解答题】 1.已知全集，集合，集合．求： (1)求； (2)求； (3)求． 2.设全集为，集合，．求，，. 3.已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 4.已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 5.设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 6.设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 7.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说我们三人去过同一个城市，判断乙一定去过哪个城市. 8.设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 巩固练习2 一、填空题 1．已知，则= . 2．已知集合，则 . 3．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 4．设全集，则 ． 5．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为 个． 6．设全集，集合，则 ． 7．设全集，若，，，则A= . 8．设是两个非空的有限集合，全集，且中含有个元素，若中含有个元素，则中所含有元素的个数为 . 9．设全集，集合，若，则实数 ; 10．若，，且，则实数的值为 ． 11．（设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为 ． 12．已知集合，，则 . 二、单选题 13．若，且，，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．给定全集，，是的子集，且，则（    ）． A． B． C． D． 15．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．集合A，B，C是全集U的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．已知集合，集合，用列举法表示集合. 18．已知全集，集合，集合，求：． 19．已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 20．已知，若，求实数的值. 21．若集合，． (1)若，写出的子集个数； (2)若，求实数的取值范围． 22．已知集合，. (1)若全集，求； (2)若，求实数的取值范围. 23．已知全集为，集合； (1)若集合，存在，使得，求实数的取值范围； (2)若集合，求实数的取值范围； 24．（1）设集合，集合，且，求实数的值； （2）已知集合，，求实数的值． 25．设集合为非空数集，定义，、，，、． (1)若，，写出集合、； (2)若，，，，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 能力提升 一、单选题 1．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 2．集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 7．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 8．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 10．给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．若集合，则 ． 12．已知集合且，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题 13．已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 14．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 15．已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 16．设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 综合测评 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 3．已知集合为全集的子集，，则（     ）. A． B． C． D． 4．已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 7．已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 8．设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 12．（多选）下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3 B．若，则 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则 13．（多选）定义集合与的运算：，．已知，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素. (1)当时，列出，，； (2)当时，求出的最大值并说明理由. 15．设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 集合的基本运算 知识点一：并集 自然语言：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”）. 符号语言： . 图形语言： 理解：或包括三种情况：且；且；且. 并集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 知识点二：交集 自然语言：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作（读作“交”）. 符号语言： . 图形语言： 理解：当与没有公共元素时，不能说与没有交集，只能说与的交集是. 交集的性质： （1）； （2）； （3）； （4）； （5），； （6）. 知识点三：补集 （1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. （2）补集的概念 自然语言：对于一个集合，由属于全集且不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记为. 符号语言： 图形语言： 补集的性质 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 知识点四：运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （5）容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 解题方法 1.求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2.集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 3.求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 4.求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 5.求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 运用补集思想解题的步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其解题步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 第三步：取反面问题对应的参数范围的补集。 6.解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 交集、并集、补集的基本运算方法 1、进行集合运算时，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于且属于； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集。 2、解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分； 3、当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。 7.韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 8.集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 9.、利用交并补求参数范围的解题思路 1、根据并集求参数范围：， 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 2、根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 题型1：交集的概念及运算 1.已知集合，集合，则A∩B是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，集合，则A∩B.故选：B. 2.求下列每对集合的交集： (1)； (2)； (3)； (4)是菱形，是矩形； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4)是正方形 (5) 【分析】根据集合交集的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意得，； （3）如图所示，在数轴上表示出集合和集合的范围， 则；    （4）因为既是菱形，又是矩形的是正方形， 所以是正方形； （5）由题意得，. 3.若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z，则A∩B＝　 　． 【解答】解：集合A＝{x|1≤x≤3，x∈R}，B＝Z， 则A∩B＝{1，2，3}． 故答案为：{1，2，3}． 4.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，结合交集的定义求结论. 【详解】因为，又，所以， 故选：D． 5.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求集合A再求集合B，最后利用交集的概念求解即可. 【详解】． 由，可得，即，所以． 所以. 故选：B 6.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集的定义计算可得. 【解答过程】因为，， 所以. 故选：B. 7.若集合，或，则集合等于（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】，或，则.故选：C. 8．已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 9.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求解集合，再求解两个集合的交集. 【解答过程】由题意可知，，则. 故选：D. 10.设A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}，则A∩B＝（　　） A．{1，2} B．{x＝1，y＝2} C．{（1，2）} D．{（x，y）|x＝1或y＝2} 【解答】解：A＝{（x，y）|y＝﹣2x+4}，B＝{（x，y）|y＝5x﹣3}， 联立，解得， 故A∩B＝{（1，2）}． 故选：C． 11.已知集合则=________． 【答案】 【解析】由题意可得， 解方程可得，故． 故答案为： 12.已知集合，则中元素的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，， 所以或或或 或或或=， 所以, 因为、、、满足， 所以， 所以中元素的个数为.故选：C 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 ①；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 题型2：根据交集结果求集合或参数 1.若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，则，解得， 此时，，合乎题意.故选：B. 2.已知m是实数，集合，，若，则m= . 【答案】1 【解析】因为集合，，， 所以，对比即得， 因此解得. 故答案为：1. 3.设集合，，若，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据集合相等的定义求解即可. 【解答过程】因为集合，，， 所以，解得， 所以. 故选：C. 4.已知集合，且，则集合M的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据题设条件，利用交集的性质，由列举法能够写出满足条件的集合M，由此能够求出结果. 【解答过程】∵集合，且， ∴满足条件的集合为，，，， 共有4个， 故选：D. 5.设，集合，，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，且， 所以故答案为：2. 6.已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算和集合中元素的特性列出关于的方程，即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得． 故选：D． 7．已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的结果求出范围. 【详解】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C 8.已知集合，或，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设分和分析求解即可. 【详解】因为， 所以当时满足题意，此时， 当时，要满足题意，则有 综上实数的取值范围为. 故选：A 9.设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】在数轴上表示出集合，根据交集的定义即可求解. 【解答过程】由已知条件在数轴上表示出集合，如下图所示： 由此可知，所以的取值范围是， 故选: . 10．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，利用集合间的关系可求的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵，， ∴. 故选：B. 11.已知集合，，若，则实数a取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以； 若，，则， 因为，所以，则； 故实数取值集合为.故选：D. 12.（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 13.设或，，，求的取值范围． 【答案】或 【分析】根据，则有，从而得到不等式组，解出即可. 【详解】由于或， ， 因为， 所以或， 解得或， 所以的取值范围是或． 14．已知集合或. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求集合，再求交集； （2）分集合和两种情况，列式求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 又因为或，所以； （2）若， 当，即时，，满足； 当，即时，， 要满足，只需， 解得，又因为，所以. 综上可知，实数的取值范围为. 15.已知集合，. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出，然后根据交集的定义计算； （2）先判断出，然后分，求解. 【详解】（1）由题意，当时，则，， 所以； （2）因为，所以， ①当，即时，解得，此时满足题意； ②当，即时，解得， 因为，所以，则有， 综上：或. 题型3：并集的概念及运算 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的并集运算，即可得答案. 【详解】由集合，可得, 故选：D 2.满足条件{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（　　） A．4个 B．8个 C．16个 D．32个 【解答】解：∵{1，3，5}∪M＝{1，3，5，7，9} ∴7∈M，且9∈M ∴的集合M可能为{7，9}或{1，7，9}或{3，7，9}或{5，7，9}或{1，3，7，9}或{1，5，7，9}或{3，5，7，9}或{1，3，5，7，9} 故选：B． 3.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，依据并集的定义计算即可. 【详解】解：由已知集合，所以. 故选：C 4.集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根化简两个集合，即可由并集的定义求解. 【详解】，所以， 故选:C． 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】因为集合，所以. 故选：C 6.已知集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】解不等式，得到，利用并集概念求出答案. 【详解】，又， 所以. 故选：B 7.若集合，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】求解集合，再利用并集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以，解得：或， 所以或， 故选：D. 8.已知全集为R，集合，，求； 【答案】 【分析】根据集合的并集定义运算求解即可. 【详解】集合，，所以． 9.已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 因为，所以，故选：B 10.若集合，或，则集合等于（） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】利用数轴如图所示， 则或．故选：A. 11.设集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【解答过程】因为集合， 所以 . 故选：A. 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 4 ；②，；③； ④；⑤若，则； 可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 题型4：根据并集结果求集合或参数 1.已知集合，集合B满足，则a的所有可能取值的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题设等式得出与的关系，确定的可能取值，即得所有可能取值的集合. 【详解】易知，所以，因此或π， 所以a的所有可能取值的集合为． 故选：D． 2.已知集合，，若，则（    ） A．-1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据并集的定义结合集合的互异性可求. 【解答过程】由，得，解得且且， 故A错； 又， 若2，则，，满足题意.故B对； 若3，则，，不满足题意；故C错 若4，则，，不满足题意；故D错； 故选：B. 3.已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集、并集运算结果分析求解. 【解答过程】因为，可知； 又因为，可知； 综上所述： . 故选：B. 4.集合，若，的值组成的集合为 【答案】 【解析】若，则，即， 由，则有或， 若，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，∴． 若，解得. 所以的值组成的集合为. 故答案为：． 5.设集合，其中t为实数．令，．若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为（ ） A．1 B． C．8 D． 【答案】D 【解析】由条件知，1，2，4，，（允许有重复）为C的全部元素． 因为（恒成立），， 所以与其余几个数重复，故只可能是，且， 于是（经检验符合题意）， 此时C的所有元素之积为．故选：D. 6．已知集合，.若，则（    ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】解方程求出集合，根据即可确定参数的值. 【详解】由可得或， 则当时，；当时，； 因，且， 则或. 故选：D. 7.已知集合，若，则实数的取值所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】由，得， 当时，，符合题意； 当时，，则或，解得或. 综上所述，实数的取值所组成的集合是. 故选：D. 8.已知集合，若，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得实数a的取值范围. 【详解】因为， 所以， 因此实数a的取值范围为. 故选：A. 9.已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】解出集合，由得到实数m的取值范围. 【详解】解得，即， ∵，∴ 故答案为： 10.（多选）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有， 所以可能成立； 当集合与中有公共元素时，，所以可能成立； 当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立； 根据集合的并集运算可知不能成立.故选：ABD 11.设集合，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意就判别式的正负分情况依次求解. 【详解】，由题设可得为的子集. 当时，解得. 当时， 若，即时， 此时的解为， 即，符合题意. 若，即时， ①，即时，此时， 即，解得，即，不符合题意. ②，即时，由此时集合. 则，解得， 与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为 12.已知集合，，或. （1）若，求的取值范围． （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以. 当时，满足，此时解得； 当时，要使，则解得. 综上，的取值范围为. （2）因为，所以解得. 题型5：根据并集结果求集合元素个数 1.已知集合，，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据并集的概念和运算即可. 【详解】由， 得，共6个元素. 故选：C 2.已知集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据集合的并集得出，进而得出集合的个数即可. 【详解】因为集合且， 所以， 则集合为：， 所以集合的个数是8个. 故选：C． 3．设集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【详解】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 题型6：补集的概念及运算 1.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集定义易得. 【详解】由，易得. 故选：A. 2.已知全集，集合，则的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数. 【详解】由全集，，得， 因此中有3个元素，其真子集个数为. 故答案为：7 3.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集概念求解出结果. 【解答过程】因为，， 所以， 故选：B. 4.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，又， ∴．故选：C． 5.已知集合则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为,所以，故选:A. 6.设全集为，集合，集合. (1)求. (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的定义计算可得； （2）根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】（1）因为集合，集合， 所以； （2）因为，所以， 则 7.已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据集合补集的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知集合，则， 故答案为： 8.若全集，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据子集的定义结合补集运算即可判断. 【解答过程】因为，， 所以集合A不是集合B的子集，集合B不是集合A的子集， 又，且，所以. 故选：D. 9.已知全集，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】因为全集，， 所以或.故选：B 题型7：根据补集结果求集合或参数 1.设全集，若集合满足，则M的子集个数为（ ） A．3 B．1 C．4 D．2 【答案】C 【分析】由补集运算求得集合，再根据子集的概念即得. 【详解】因为全集，，所以. 则M的子集有共4个. 故选：C. 2.设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：.故选：A. 3.（多选）若全集，集合满足，则的值可能为（ ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【解析】因为，所以根据元素互异性可知，所以， 显然， 则或.故选：AB 4.已知全集，集合，，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由集合，可得，解得， 又由且， 可得，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为. 5.设，，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】由得，解得或， ，可得, 故， 故答案为： 6.设集合，，，若，则 ， ． 【答案】 1 【解析】因为，则， 注意到，可得 ，解得. 故答案为：1；. 7.设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【详解】由题知， 由，得． 故选：C 8.已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 9.已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 题型8：交并补混合运算 1．已知全集，集合，，求，，. 【答案】，， 【分析】由集合的交集，并集，补集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，， 因为，所以. 2.设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集与补集的定义求解即可. 【解答过程】由题意，. 故选：C. 3.已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，而，所以.故选：A 4.若全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以.故选：B. 5.若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确.故选：D． 6.设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误； 对于B, ，当时，结论不成立，则B错误； 对于C，，当时，结论不成立，则C错误； 对于D，因为，，所以，又，所以，则，则D正确. 7.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【答案】16 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 8.已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 【答案】 【详解】已知，， 所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6， 因为，， 所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9， 集合A、B中没有0，1，10， 综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10， 所以． 9.已知全集．若集合、满足，，则________． 【答案】 【详解】说明； 说明，所以. 或解： 10已知集合A＝{x|x2﹣x≤0}，B＝{x|2x＞1}，则A∪B＝　 ． 【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x≤0}＝{x|0≤x≤1}， B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}， ∴A∪B＝[0，+∞）． 11.设集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，全集U＝R，则＝　 ． 【解答】解：由|2x﹣1|＜3，得﹣1＜x＜2，故A＝{x|﹣1＜x＜2}， 所以当全集U＝R时，＝{x|x≤﹣1或x≥2}． 故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）． 12.已知全集U＝R，集合，则＝　 　． 【解答】解：不等式化为：，即， x（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞0， 则M＝{x|x＜﹣1或x＞0}， 所以． 13.已知集合A＝{x|x2﹣9≥0}，B＝{x||x﹣4|＜2}，C＝{x|＜0}． （1）求A∩B、A∪C； （2）若全集U＝R，求∩B． 【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣9≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣3}， B＝{x||x﹣4|＜2}＝{x|2＜x＜6}， C＝{x|＜0}＝{x|﹣2＜x＜8}， ∴A∩B＝{x|3≤x＜6}，A∪C＝{x|x≤﹣3或x＞﹣2}； （2）∵全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣9≥0}＝{x|x≥3或x≤﹣3}， B＝{x||x﹣4|＜2}＝{x|2＜x＜6}， ∴＝{x|﹣3＜x＜3}， ∴∩B＝{x|2＜x＜3}． 14.已知全集，集合，.求，，. 【答案】，或， 【分析】根据交集、补集、并集的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以，，或， 则或，. 15.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据集合的交集和补集运算求解即可；解法二：取特值检验即可. 【详解】解法一：因为，故， 又，故， 解法二（特殊值法）：因为且， 所以，结合选项可知ABC错误，D正确. 故选：D. 16.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，，故. 17.已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解． 【解答过程】由题意，，所以. 故选：D. 18.设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的运算法则计算可得. 【解答过程】因为，， 所以，， 所以，或， ，或， 所以， 或. 故选：B. 19.已知集合，或，则 . 【答案】 【分析】根据交集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】因为或，所以， 又， 所以. 故答案为：. 20.集合，集合，则集合的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【详解】解：由题意得： 集合 集合子集的个数为，，，，，，， 故集合的子集个数为8个. 21.设全集U为自然数集N，记E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}，那么N可以表示为（　　） A．E∪F B． C． D． 【解答】解：因为E＝{x|x＝2n，n∈N}，F＝{x|x＝4n，n∈N}＝{x|x＝2•2n，n∈N}， 故F⊆E， 所以E∪F＝E，不符合题意； ∪F≠N，B不符合题意； E＝N，C符合题意； ＝，D不符合题意． 故选：C． 22．已知集合． (1)求集合； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念，即可求解； （2）根据补集和交集的概念，即可求解. 【详解】（1）集合，， 不等式，即，解得，集合， 所以，. （2），则， 所以. 23．已知全集，集合，． (1)求，； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】先将集合化简，然后分别计算即可. 【详解】（1）由题可知，， 所以， （2）由题可知 所以,得 24.已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 【答案】(1)， (2)或， 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）由交集、并集、补集运算即可求解； 【详解】（1）因为， 所以， （2）由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 25.已知集合， 或． （1）若全集，求、； （2）若全集，求； 【答案】（1）或；或；（2） 【解析】（1）由题意可得，或 且或，则或 （2）根据题意，且，则可得 则 26.设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）集合. 因为，所以. （2）因为集合，，所以, 所以或. 题型9：根据交并补混合运算确定集合或参数 1.已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】由，得到，分与讨论即可. 【解答过程】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A. 2.已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 3.已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【解题思路】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解答过程】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 4.已知集合，，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合，， 可得， 因为，所以，解得， 即实数的取值范围是.故选：C. 5.已知集合A＝{x||x﹣1|＞2}，集合B＝{x|mx+1＜0}，若A∪B＝A，则m的取值范围是（　　） A． B． C．[0，1] D． 【解答】解：集合A＝{x||x﹣1|＞2}＝{x|x＜﹣1或x＞3}， 集合B＝{x|mx+1＜0}，A∪B＝A， ∴B⊆A， 当m＝0时，B＝∅，满足要求； 当m＞0时，B＝{x|x＜﹣}， 由B⊆A，得﹣，解得m≤1，∴0＜m≤1； 当m＜0时，B＝{x|x＞﹣}， 由B⊆A，得﹣≥3，解得m，∴﹣． 综上，m的取值范围是[﹣]． 故选：B． 6.设集合，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，，故. 7.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为，所以， 若即，则，满足题意； 若即， 因为，所以解得， 综上，实数的取值范围是， 8.设集合，，集合，则实数的值为_____． 【答案】1或3或4. 【详解】由解得或，所以， 由解得或， （i）若，则，满足； （ii）若，则，因为， 所以或， 综上实数的值为1或3或4. 9.设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________． 【答案】 【详解】 ，即或 又 ，即或 又因为 所以且 又因为 所以或 所以只有成立， 所以是方程的根，即 故，即 所以或 当时，方程变为 所以不满足，故不符合题意舍去. 当时，方程变为 所以满足，和，满足题意. 10.已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 11.已知集合，. (1)求集合 (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由补集的运算，可得答案； （2）由交集的结果可得集合之间的包含关系，利用分类讨论，分别建立不等式组，可得答案. 【详解】（1），或. （2）由，则， ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，可得，解得； 故m的取值范围是. 12.已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 13.设全集，集合，. (1)若集合A中恰有一个元素，求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）即方程只有一个实数根，由判别式等于0可得答案； （2）由题可得，据此可得及集合B，后由题意可得答案. 【详解】（1）由题意，即只有一个实数解，    （2）由题意知，  得 的根为或， 又     得   14.设集合，. (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若全集，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求； （3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得. 【详解】（1），. ，，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 所以，若，则实数a的取值范围为. （3）若全集，，则，即. ，. 故，且， 则，且， 解得且且. 若，则实数a的取值范围为. 15.已知集合U＝R，A＝{x|1≤3x≤27}，B＝（1，+∞）． （1）求； （2）若C＝{x|a﹣1≤x≤2a}，且A∩C＝C，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）解不等式1≤3x≤27可得：0≤x≤3， 所以集合A＝[0，3]，又由已知可得＝（﹣∞，1]， 所以A＝（﹣∞，3]； （2）因为A∩C＝C，则C⊆A， 当C＝∅时，a﹣1＞2a，解得a＜﹣1满足题意， 当C≠∅时，只需，解得1， 综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣1）． 16.已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，又， 所以； （2）由解得，， 若，则，，符合题意； 若，由于，所以； 综上所述，实数的取值集合为. 17.已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），； 时，，故 （2）由于，故，解得，所以实数的取值范围为. 18..记不等式的解集为A，集合或． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，即， 当时，，又集合或 ； （2）由已知， ，，. 19.已知集合或，． （1）若，求的取值范围； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知：； ，； ①当，即时，满足，此时； ②当时，若，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. （2），， ，即，解得：，，； ①当，即时，， ，解得：； ②当，即时，， ，解得：； ③当，即时，，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 20.已知集合，. （1）若，，求实数的取值范围； （2）若，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵集合，， ∴， 若，则， 若，故解得， 综上：，即实数m的取值范围是. （2）， 由题意得，∴， ∴实数m的取值范围是． 题型10：Veen图的应用 1.图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或，故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 2．已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定阴影部分表示的集合，结合集合的基本运算可得结果. 【详解】由图得，阴影部分所表示的集合为. 由题意得，， ∴. 故选：C. 3．设全集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断表示的集合怎么表示，再利用交集和并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，， 而阴影部分表示的集合是， 则图中阴影部分表示的集合是，故B正确. 故选：B 4．已知全集，则正确表示集合,关系的韦恩（Venn）图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求集合，再根据两个集合的元素，确定集合的包含关系，即可判断选项. 【详解】由条件可知，，，则. 故选：B 5.（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得. 【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者. 故选：AD. 6.已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 7.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为， 8.已知全集为R，对任意集合A，B，下列式子恒不成立的是（　　） A．A∪B＝A∪ B．A∩B＝A∩ C．∩B＝∪B D．∩B＝A∪ 【解答】解：取A＝R，则对任意集合B，都有A∪B＝A∪，故A错误； 取A＝∅，则对任意集合B，都有A∩B＝A∩，故B错误； 取＝B，则∩B＝∪B，故C错误； 对于D，若A＝R，B＝∅，则∩B＝∅，A∪＝R，∩B≠A∪； 若A＝∅，B＝R，则∩B＝R，A∪＝∅，∩B≠A∪； 若A＝B，则∩B＝∅，A∪＝R，∩B≠A∪； 若A∩B＝∅，如图， 则∩B＝B，A∪＝，∩B≠A∪； 若A∩B≠∅，如图， 则∩B为图中阴影部分，A∪为图中非阴影部分，∩B≠A∪； 若A⊂B，如图， 则∩B为图中阴影部分，A∪为图中非阴影部分，∩B≠A∪； 若A⊃B，如图， 则∩B＝∅，A∪＝，∩B≠A∪． 综上所述，∩B＝A∪恒不成立． 故选：D． 9.如果全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，，则B＝　 　． 【解答】解：全集U＝{a，b，c，d，e，f}，A＝{a，b，c，d}，A∩B＝{a}，， 作出韦恩图， 则B＝{a，e}． 故答案为：{a，e}． 10.设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 【解答】解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中； 故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B）， 故答案为∁U（A∩B）∩（A∪B）． 11.已知全集为U，则图中阴影部分表示的集合是 　 ．（用含A、B或、集合语言表示）． 【解答】解：由图可得：图中阴影部分表示的集合是：B∩（∁UA）＝B∩． 故答案为：B∩． 12.设全集为U＝R，集合，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}． （1）求如图阴影部分； （2）已知C＝{x|3x﹣t＜0}，若B∪C＝C，求实数t的取值范围． 【解答】解：（1）因为集合＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|﹣7≤2x﹣1≤1}＝{x|﹣3≤x≤1}， 则A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}， 又图中阴影部分为∁A（A∩B）＝{x|1＜x≤2}； （2）因为C＝{x|3x﹣t＜0}＝{x|x}，又B∪C＝C，则B⊆C， 则，得t＞3， 则实数t的范围为（3，+∞）． 13.已知全集,则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题中条件知，图中阴影部分表示集合,进一步计算即可. 【解答过程】因为全集， 所以，则由韦恩图知阴影部分为， 故选：D. 14.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先求得集合，得到，结合，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 因为，可得， 所以阴影部分所表示的集合为. 故选：A. 15.如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据题图中阴影区域，再利用集合的交、补定义及运算即可求出结果. 【解答过程】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是， 故选：C. 16.设全集，则图中阴影部分对应的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】图中阴影部分表示，， 则或， 因为， 所以，故选：D． 17.（多选）如图中阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 A选项：，则，故A正确； B选项：，则，故B错误； C选项：，则，故C错误； D选项：，，故D正确.故选：AD. 18.如图所示，用集合A、B及它们的交集、并集、补集表示阴影部分所表示的集合，正确的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】阴影部分由两部分构成， 左边部分在内且在外，转换为集合语言为， 右边部分在内且在外，转换为集合语言为， 故阴影部分表示的集合为，C正确； 其他选项，经过验证均不合要求.故选：C 19.如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分， 即.故选：C. 题型11：容斥原理 1.为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 2．某年级先后举办了数学、历史、化学讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了化学讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了化学讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的定义，结合集合，，的元素个数可得解. 【详解】A选项：由已知，则，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 3．学校统计某班30名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，已知每人至少参加了1个兴趣小组，其中参加音乐、科学、体育小组的人数分别为19，19，18，只同时参加了音乐和科学小组的人数为4，只同时参加了音乐和体育小组的人数为2，只同时参加了科学和体育小组的人数为4，则同时参加了3个小组的人数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】设同时参加了3个小组的人数为，然后结合题意用维恩图求解即可； 【详解】如图，设同时参加了3个小组的人数为x，则， 解得，即同时参加了3个小组的人数为8． 故选：D. 4.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有 人. 【答案】44 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，结合Venn图与容斥原理可知，当取最大值时最大，验证即可得. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合. 由题意知， 且， 则，    由 ， 可得， 当且仅当时，即. 验证：此时各区域人数如图所示，满足题意所有条件.    故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人. 故答案为：. 5.某校学生积极参加社团活动，高年级共有100名学生，其中参加合唱社团的学生有63名，参加科技社团的学生有75名(并非每个学生必须参加某个社团).在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有多少名学生？最少有多少名学生？ 【答案】同时参加合唱社团和科技社团的最多有名学生，最少有名学生. 【解析】根据题意直接判断当参加合唱社团的63名学生都参加科技社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最多，且有63人；当每个学生都参加某个社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最少，且有人. 【详解】解：由题意：当参加合唱社团的63名学生都参加科技社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最多，且有63人； 当每个学生都参加某个社团时，同时参加合唱社团和科技社团的学生最少，且有人， 所以同时参加合唱社团和科技社团的最多有名学生，最少有名学生. 【点睛】本题考查利用补集运算的思想解决实际问题，是基础题. 6.学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（　　）人． A．3 B．9 C．19 D．14 【答案】C 【知识点】利用Venn图求集合、容斥原理的应用 【分析】利用文氏图，列式求解. 【详解】设只参加田径的人数为，同时参加田径和球类比赛的人数为，只参加球类的人数为，则由韦恩图得： ，解得，所以只参加一项比赛的有人， 故选：C． 7.高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【知识点】集合的应用、利用Venn图求集合 【分析】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】把学生50人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合， 选择化学科的人数组成集合，选择生物颗的人数组成集合， 要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多， 除这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人， 单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少3人， 单选物理、生物的最少3人，单选生物的最少4人， 以上人数最少32人，可作出如下图所示的韦恩图， 所以单选物理、化学的人数至多8人， 所以至多选择选择物理和化学这两门课程的学生人数至多人. 故选：C.    【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力. 8.七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为 . 【答案】40 【知识点】利用Venn图求集合、集合的应用 【分析】根据集合的交集运算，结合韦恩图即可求解. 【详解】设为七宝中学高一某班全体学生， 集合参加大舞台的学生， 集合参加风情秀的学生， 设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为， 两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为， 则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三， 得， 解得， 所以总的人数为人. 故答案为： 9.某班参加数､理､化竞赛时，有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛，其中三科竞赛都参加的有7人，只参加数､理两科的5人，只参加物､化两科的3人，只参加数､化两科的4人，若该班学生共50名，则没有参加任何一科竞赛的学生有 人 【答案】5 【知识点】利用Venn图求集合 【分析】本题首先可根据题意确定只参加数学竞赛、只参加物理竞赛以及只参加化学竞赛的学生人数，然后用学生总数减去参加比赛的学生人数即可得出结果. 【详解】由Venn图表示，A，B，C分别代表参加数学，物理，化学的人，因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加数、化两科的有4名，只参加物、化两科的有3名，分别填入Venn图， 又因为有24名学生参加数学竞赛，28名同学参加物理竞赛，19名同学参加化学竞赛， 故只参加数学竞赛的有名，只参加物理竞赛的有名，只参加化学竞赛的有名， 则没有参加任何一科竞赛的学生有名， 故答案为：5. 【点睛】关键点睛：本题考查学生解决实际问题的能力，能否明确题意中给出的各个条件之间的关系及用Venn图表示集合是解题的关键，考查学生的推理能力，体现了综合性，是中档题. 10.某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 【答案】4 【解析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、， 同时参加数学和物理小组的人数为， 因为每名同学至多参加两个小组， 所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示： 由图可知：，解得， 所以同时参加数学和化学小组有人.故答案为：4 11.我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即，解得， 三项都参加的有4人，故选：C. 题型12：集合新定义 1.已知全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（　　） A．mn B．n﹣m C．m+n D．m﹣n 【解答】解：由题意得，＝∁U（A∩B），即（）∪∁U（A∩B）＝U， ∵全集U＝A∪B中有m个元素，中有n个元素，A∩B非空， 则A∩B的元素个数为m﹣n． 故选：D． 2.已知，其中a1＜a2＜a3＜a4，且a1、a2、a3、a4均为整数，若A∩B＝{a3，a4}，a1+a3＝0，且A∪B中的所有元素之和为270，则集合A中所有元素之和为 　　． 【解答】解：∵a1+a3＝0，∴， ∵，且a1，a2，a3，a4均为整数， ∴， ∵A∪B中的所有元素之和为270，而162＝256＜270，172＝289＞270， ∵a4＝16时，则a1＝﹣4，a3＝4， ∵A∩B＝{a3，a4}，∴＝4，解得a2＝±2， 当a2＝2时，A＝{﹣4，2，4，16}，B＝{4，16，256}，则A∪B＝{﹣4，2，4，16，256}， A∪B中所有元素之和为274，不合题意，舍去； 当a2＝﹣2时，A＝{﹣4，﹣2，4，16}，B＝{4，16，256}，则A∪B＝{﹣4，﹣2，4，16，256}， A∪B中所有元素之和为270，符合题意． 此时集合A中所有元素之和为﹣4﹣2+4+16＝14， 当a4＝9，此时a3＝3，但3不是某个整数的平方，不合题意，舍去， 同时可知，当a4为其他整数时，均不合题意． 故答案为：14． 3.设,为非空集合，定义，且，已知，，则（    ） A． B．或 C．或 D． 【解题思路】由题意先求，进而求出 【解答过程】由于，， 所以， 所以或， 故选：C． 4.对于集合，，定义，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据与，利用集合交、并、补运算的法则可得到答案. 【解答过程】集合，， 则，， 由定义可得：且，且， 所以， 选项ABD错误，选项C正确． 故选：C. 5.定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【解答过程】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D. 6.设， (1)是否存在，，使得，，说明理由； (2)若，求，的值 【答案】(1)，; (2)或，. 【详解】（1）由，可得，再由，可得 ，所以， 即. 所以，存在，，使得，. （2）若，可得， 或，，带入中，可得，带回方程可得，，由，则，或，所以或，. 7.定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 【答案】(1)不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断； （2）由是偶数，所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论； （3）先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可. 【详解】（1）不是“完美集”， 因为去掉2时，所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合； （2）记为集合中的所有元索之和，是偶数， 所以与必定同奇同偶. 当为奇数时，也是奇数，是奇数个奇数相加，故是奇数： 当为偶数时，也是偶数，设，则也是“完美集”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数； 所以得证： （3）最小值是7. 设是等差数列，. 当时，去掉时，，不成立： 当时，，不妨设， 去掉，假设可以拆分成两个交为空且和相等的集合， 则有两种情况： ①，因为，这与矛盾； ②，因为，这与均为正整数矛盾，故假设不成立： 故，下证的最小值为7. 当时，构造（写出一个即可），. 去掉； 去掉； 去掉； 去掉； 同理去掉； 去掉； 去掉； 所以，是“等差完美集”. 综上所述，的最小值为7. 【点睛】思路点睛：对于第二小问：由是偶数， 所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论； 第三小问：先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可. 8．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【详解】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 9.已知集合，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”． (1)分别判断数集与是否是集合S的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有； (3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值． 【答案】(1)集合P不是集合S的“好子集”；集合Q是集合S的“好子集”；理由见解析 (2)证明见解析 (3)334 【分析】（1）根据“好子集”定义，在P中找到整除，即可判断，对于中元素两两作差作和，发现满足“好子集”定义. （2）采取反证法，首先排除的情况，然后假设存在A中的任意两个不同的元素，使得，从而得出与原条件相矛盾的结论. （3）假设集合是集合好子集，通过（2）可知其中任意两元素差值大于等于3，则（，2，3，…），通过累加法得到．得到，解出范围得到最值. 【详解】（1）由于整除，所以集合P不是集合S的“好子集”； 由于不能整除，不能整除，不能整除， 所以集合Q是集合S的“好子集”． （2）（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以，（因为若等于1，则必会被整除）. 假设存在A中的任意两个不同的元素x，，使得， 则x与y同为奇数或同为偶数，从而是偶数， 此时，能整除，与A是S“好子集”矛盾． 故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有； （3）设集合是集合S的一个“好子集”， 令：，（，2，3，…）， 由（2）知，（，2，3，…） ，， 于是累加得． 从而：， 所以：． 另一方面：取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是好子集， 此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”， 故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334． 【点睛】本题是集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况. 10.设，若，则称A为集合M的元“好集”． (1)写出实数集的一个二元“好集”； (2)请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由； (3)求出正整数集上的所有三元“好集”． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3). 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”； （2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证； （3）记正整数集上的一个三元“好集”为，利用条件可推得的值，进而求得，从而得到正整数集上的所有三元“好集”. 【详解】（1）因为， 所以是实数集的一个二元“好集”. （2）假设是正整数集上的一个二元“好集”，则，不妨设， 则有，故，得， 因为，所以，而，显然不成立，矛盾， 所以假设不成立，故正整数集上不存在二元“好集”. （3）设正整数集上的一个三元“好集”为，则，不妨设， 则有，故， 又因为且，所以， 将其代入得，故， 所以正整数集上的所有三元“好集”为. 11.已知集合具有性质：对任意，（），与至少一个属于. (1)分别判断集合，与是否具有性质，并说明理由； (2)证明：； (3)具有性质，当时，求集合. 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3). 【知识点】集合新定义 【分析】（1）由性质定义判断， （2）由性质定义证明， （3）由（2）得，再由性质定义求解， 【详解】（1）集合具有性质，集合不具有性质 理由如下： 对集合，由于 所以集合具有性质； 对集合，由于，故集合不具有性质. （2）由于，则 ，故， ，故得证. （3）由于，故， 又，故， 又，故， . 因此集合. 12.给定数集A，若对于任意a，，有，，则称集合A为闭集合. (1)判断集合，是否为闭集合，并给出证明； (2)若集合C，D为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合C，D为闭集合，且，，证明：. 【答案】(1)不是闭集合，B为闭集合，证明见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【分析】（1）根据闭集合的定义判断即可；（2）举例子，，由，即可求解；（3）利用反证法，假设，由条件可得存在，，，，可得或，与和为闭集合矛盾，即可求证. 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，，则且，所以，同理，，故B为闭集合； （2）结论：不一定； 不妨令，，则由（1）可知， D为闭集合，同理可证为闭集合，因为2，3，，因此，不一定是闭集合，所以若集合C，D为闭集合，则不一定为闭集合； （3）不妨假设，则由，可得存在且，故.同理，存在且，故，因为，所以或.若，则由C为闭集合且，得，与矛盾.若，则由D为闭集合且，得，与矛盾， 综上，不成立，故. 13.对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合与是否为“和谐集”（不必写过程）； (2)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)不是“和谐集”，不是“和谐集” (2)证明见解析 (3)7 【知识点】集合新定义 【分析】（1）由“和谐集”的定义判断 （2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明 （3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解 【详解】（1）对于，去掉2后，不满足题中条件，故不是“和谐集”， 对于，去掉3后，不满足题中条件，不是“和谐集” （2）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同 ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合B也是“和谐集”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数 （3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”， 去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集” 当，设， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7 14.设是正整数，集合，对于集合A中的任意元素和.记 (1)当时，若，求和的值； (2)当时，若的值为奇数，求所有满足条件的元素； (3)给定不小于2的正整数，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素满足，写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由. 【答案】(1)， (2)或或或或或或或 (3)，理由见解析 【详解】（1）由得， ； （2）， 其中为奇数， 故或或或或或或或； （3）由得，所以与必然一个为0，一个为1；或与均为0， 综合得与中相同位置上的数字不能同时为1，所以集合中元素个数最多为， . 15.对于给定的整数，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”. (1)分别判断集合是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由； (2)证明：不存在“减2集”； (3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由） 【详解】（1）解：根据题意，对于结合，，由于，所以，集合是 “减0集”； 对于结合，，由于，所以，集合不是 “减1集”； 所以，集合是 “减0集”，不是“减1集”. （2）证明：假设存在“减2集”，记为，则，，对任意、，若，则； 所以，令，则对任意，，都有，故， 所以，中的最小元素为， 所以，当时，由于，故， 所以，当时，由于，故， 以此类推，，， 所以，中至少有一个属于集合， 若，则，故； 若，则，故； 所以，与中至少有一个属于集合矛盾， 所以，不存在“减2集” （3）解：存在“减1集”， 因为，故假设，则集合中除了元素以外，必然还有其他元素， 所以，当时，由于，故， 当时，由于，故， 以此类推，，， 若，，故； 若为偶数，则必存在使得，与矛盾，不成立； 所以，为奇数， 由于都成立，且， 所以，且， ①若中有最大元素，设为，则为奇数， 因为，故， 所以，，即 所以，或 ②若中无最大元素，下面证明. 首先，必有， 若存在某个奇数，则只能有； 否则，若存在某个，使得，则必有，则与矛盾； 但是，这样一来，中最大元素，这与中无最大元素矛盾. 所以，， 综上，或或 16.设A是非空实数集，且．若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质． (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质； (3)设全集，是否存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合A；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由，可得恰含有两个元素且具有性质的集合； （2）若集合A具有性质，不妨设， 由非空数集A具有性质，有． ①若，易知此时集合A具有性质． ②若实数集A只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合A具有性质． ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合A具有性质， 所以有，这说明集合A具有性质； （3）不存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质， 由于非空实数集A具有性质，令集合， 依题意不妨设，， 因为集合B具有性质，所以， 若，则，， 因为非空实数集A具有性质，故，这与矛盾， 故集合B不是单元素集， 令，且， ①若，可得，即，这与矛盾； ②若，由于，，所以，因此，这与矛盾， 综上可得：不存在具有性质的非空实数集A，使得集合具有性质． 巩固练习 【选择题】 1.已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】且，当时，；当时，； 当时，；当时，；所以， 所以. 故选：B 2.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C. 3.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可. 【详解】集合，又，故. 故选：C. 4.满足｛1，2，3｝∪B＝｛1，2，3，4｝的集合的个数是（    ） A．16 B．8 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据并集概念逐一列举即可. 【详解】解：∵{1，2，3}∪A＝{1，2，3，4}， ∴A＝{4}；{1，4}；{2，4}；{3，4}；{1，2，4}；{1，3，4}；{2，3，4}；{1，2，3，4}， 则集合A的个数为8． 故选：B 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 5.记集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集和交集的定义运算. 【详解】由题意，所求集合中的元素满足：且，有三个元素满足条件， 所以. 故选：C. 6.已知全集，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，根据条件得到，，分，和三种情况，得到满足要求. 【详解】， ，故，， 若，此时，满足要求， 若，此时，不合要求， 若，此时，不合要求， 综上，. 故选：C 7.已知集合，且，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】根据交集的结果直接求解即可. 【详解】因为， 且，所以，解得． 故选：D． 8.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图得阴影部分为，即可求解； 【详解】由图可知，阴影部分为， 故选：A 9.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合集合的补运算，直接求解即可. 【详解】集合，又，故. 故选：C. 10.集合,，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义直接判断即可. 【详解】由知集合中的元素为3的整数倍，由知集合中的元素为2的整数倍， 所以集合中的元素既是3的整数倍，又是2的整数倍，所以中的元素为6的整数倍，所以. 故选：A 【填空题】 1.已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【答案】16 【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 2.设全集，且，若，则 . 【答案】4 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 3.班上共有45名学生，其中40人会打乒乓球，30人会骑自行车，25人会打羽毛球，则三个运动项目都会的同学至少有 人． 【答案】5 【分析】先确定至少有1个项目部会的人数的最大值，再求三个项目都会的人数的最小值. 【详解】由题意：不会打乒乓球的有人，不会骑自行车的有人，不会打羽毛球的有人. 所以至少有1个项目不会的人数最多为：人. 所以三个项目都会的至少有人. 故答案为：5 【解答题】 1.已知全集，集合，集合．求： (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由交集，并集和补集的定义易得结果. 【详解】（1）由并集定义得：； （2）由交集定义得：； （3）由补集定义得：，所以 2.设全集为，集合，．求，，. 【答案】，, 【分析】根据集合间运算的定义分别可得解. 【详解】由已知，， 则，， 或， 所以. 3.已知全集，集合，集合.求： (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据交集的概念计算； （2）根据并集的概念计算； （3）先求补集，然后求交集即可. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意， （3）由题意，，则 4.已知全集，，，且. (1)求实数，的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的混合运算集结果求得，进而得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合集合的交并补运算即可得解. 【详解】（1）因为全集，且， 所以，则， 又，， 所以，解得. （2）由（1）可知，， ， 所以，故. 5.设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 6.设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 7.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说我们三人去过同一个城市，判断乙一定去过哪个城市. 【答案】A城市 【解析】先从乙说的,可以推出乙可能去过A城市或B城市,再结合甲说的,可以推出甲去过两个城市A,C，乙只能去过A和B城市中的一个,再结合丙说的,利用交集即可得到答案. 【详解】先从乙说的出发,可以推出乙可能去过A城市或B城市, 再由甲说的,可以推出甲去过两个城市A,C，乙只能去过A和B城市中的一个, 再结合丙说的,利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过城市. 【点睛】本题考查交集的应用，重点考查学生的逻辑推理能力;属于基础题. 8.设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【答案】(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解； （2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论； （3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）证明：考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3）解：由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 巩固练习2 一、填空题 1．已知，则= . 【答案】 【分析】根据交集定义求解. 【详解】解得，所以. 故答案为: . 2．已知集合，则 . 【答案】 【分析】利用数轴法根据并集运算法则即可得出结果. 【详解】根据并集运算法则，画数轴表示出集合如下图所示 易知. 故答案为： 3．若已知A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有 个． 【答案】4 【分析】利用交集和交集的性质，列举出满足条件的集合A，由此能求出结果． 【详解】解：∵A∩{﹣1，0，1}＝{0，1}，且A∪{﹣2，0，2}＝{﹣2，0，1，2} ∴满足条件的集合A有： A＝{0，1}，A＝{﹣2，0，1}，A＝{0，1，2}，A＝{﹣2，0，1，2} ∴满足上述条件的集合A共有4个． 故答案为：4． 4．设全集，则 ． 【答案】 【分析】根据集合的交并补运算直接求解. 【详解】由题可得,所以. 故答案为：. 5．已知全集中有个元素，中有个元素．若非空，则的元素个数为 个． 【答案】 【分析】法一：由韦恩图判断；法二：由及补集概念即可求. 【详解】法一：因为中有个元素，如图所示阴影部分， 又中有个元素，故中有个元素； 法二：因为有个元素，又全集中有个元素， 故的元素个数个． 故答案为：. 6．设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出全集，然后可求出集合的补集 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 7．设全集，若，，，则A= . 【答案】 【分析】写出全集U，作出韦恩图，将全集U中的元素放置在合适的区域内即可求出集合A. 【详解】依题意，全集，作出韦恩图，如下图所示： 观察韦恩图知集合. 故答案为： 8．设是两个非空的有限集合，全集，且中含有个元素，若中含有个元素，则中所含有元素的个数为 . 【答案】/ 【分析】利用集合并集、补集以及交集之间的关系求解即可. 【详解】全集中含有个元素，中含有个元素，又， 中含有个元素. 故答案为：. 9．设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 10．若，，且，则实数的值为 ． 【答案】0，1， 【分析】由得，讨论，，根据元素与集合的关系，即可得满足条件的所有实数的值. 【详解】解：集合，若，则， 则当时，； 当时，，所以或， 所以或， 综上，的值是0，1，. 故答案为：0，1，. 11．（设全集为，集合是的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为 ． 【答案】 【分析】根据图，得到集合关系即可. 【详解】由图可知元素属于但不属于， 即阴影部分对应的集合为， 故答案为： 12．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意. 【详解】因为，所以，易知， 当时，，此时，，不合题意舍去； 当时，，此时，，满足题意， 所以. 故答案为： 二、单选题 13．若，且，，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析集合、的元素特征，再根据交集的定义、空集的定义以及集合的包含关系判断即可. 【详解】解：由，即集合的元素为集合的所有子集， ，即集合的所有子集组成集合， 因为，即与没有相同的元素，但是，， 即，， 所以，故B正确，A错误，D错误； 因为，，所以或，故C错误； 故选：B 14．给定全集，，是的子集，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系及交集、并集的定义判断即可. 【详解】解：因为，是的子集，且， 显然成立，故A正确； 所以，，故B，C错误； 当时，有可能,∴不一定是的子集，故D错误； 故选：A 15．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 16．集合A，B，C是全集U的子集，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合韦恩图及排除法判断不合要求的选项，即可得正确答案. 【详解】若，如下图示， 由图知：、、不成立，A、B、D排除； 故选：C 三、解答题 17．已知集合，集合，用列举法表示集合. 【答案】 【分析】集合A,B中的元素均为函数图像上的点，故A与B的交集即为与的交点的集合. 【详解】联立，解得：或，故 18．已知全集，集合，集合，求：． 【答案】，，，. 【分析】根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以，，， 故，， 19．已知集合，集合，且集合，求实数、的值以及． 【答案】 【分析】根据交集的定义和一元二次方程的根求解. 【详解】将两个方程中都代入，得：， 解得：或3， 或3， 所以 . 20．已知，若，求实数的值. 【答案】. 【分析】由韦达定理可知的两根之积为，从而，再利用两根之和等于即可求，又，所以，利用方程解得含义即可求得 【详解】因为中，且两根之积为，又， 故，所以，则， 由上知：，所以，代入得，显然满足. 所以. 21．若集合，． (1)若，写出的子集个数； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)8个 (2) 【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A，B，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集的个数； （2）由，得到，分中没有元素即，中只有一个元素和中有两个元素求解. 【详解】（1）解：， 若，则，此时，    ． 有3个元素，故子集个数为个，即8个． （2）因为，所以，                                ． ①若中没有元素即，则，此时；        ． ②若中只有一个元素，则，此时． 则，此时． ③若中有两个元素，则，此时． 因为中也有两个元素，且，则必有， 由韦达定理得，则，矛盾，故舍去． 综上所述，当时，． 所以实数的取值范围：． 【点睛】． 22．已知集合，. (1)若全集，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集得定义即可得解； （2）由，可得，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）解：由， 得或； （2）解：因为， 所以， 当时，则，得， 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 23．已知全集为，集合； (1)若集合，存在，使得，求实数的取值范围； (2)若集合，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由，讨论与集合的关系求范围，然后取并； （2）由题设知的根为或或无解，分类讨论即可求参数范围. 【详解】（1）由题设， 因为存在，使得， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. 综上，. （2）由知：的有一个根或两个根或无解， 当方程有一个根或时，，得或， 若时，此时方程根为，不合要求； 若时，此时方程根为，满足； 所以； 当方程有两根和时，且，无解； 当方程无解时，，得或. 综上，或. 24．（1）设集合，集合，且，求实数的值； （2）已知集合，，求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据给定的条件，结合交集的结果求出a值，再验证作答. （2）由交集结果求出集合A，再由并集确定B中元素即可求解作答. 【详解】（1）集合，，而，因此，解得或， 当时，，符合题意，当时，，且，与集合的元素互异性矛盾， 所以. （2）因，则有，解得，此时， 而，于是得，，即是方程的等根，则， 所以. 25．设集合为非空数集，定义，、，，、． (1)若，，写出集合、； (2)若，，，，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)1348. 【分析】(1)根据新定义，直接得出集合； (2)根据两集合相等即可得出的关系； (3)通过假设A集合， 求出相应的，根据列出不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题意知，， 得； （2）由于集合，且， 所以集合中有且仅有4个元素，即 剩下的元素满足，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以，，所以， 因为，由容斥原理，， 最小的元素为0，最大的元素为，所以， 所以，解得， 实际上当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 依题意，有，即，所以m的最小值为674， 于是当时，集合A中的元素最多，即时满足题意. 综上所述，集合A中元素的个数的最大值为1348. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 能力提升 一、单选题 1．已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】因为，所以，因为，所以 所以，故A错误，B正确； 所以，故C错误； 所以，故D错误； 故选：B． 2．集合中的元素个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据，取值验证即可得集合中所有元素. 【详解】因为，即，所以的可能取值为， 分别代入可得，所以集合中共有8个元素. 故选：D 3．已知集合中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】原问题转化为方程至多只有一个根，分，即可求解. 【详解】由题意，原问题转化为方程至多只有一个根， 当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，所以，解得． 综上，实数a的取值范围为． 故选：D 4．已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B 5．设集合，，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据，可得或，分别确定，再进行验证. 【详解】因为，所以. 所以或. 若，此时，，不成立，故不合题意； 若，此时，，成立. 故. 故选：C 6．已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 【答案】B 【知识点】列举法表示集合、子集的概念 【分析】根据题意得到A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5，一定不包含4和6，从而得到集合A的个数为2个. 【详解】集合A满足，， ∴集合A中一定包含元素1，2，3，还有可能包含5， 一定不包含4和6， 所以满足条件的集合A的个数为2个，分别为 故选：B． 7．某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（    ） A．27 B．23 C．25 D．29 【答案】A 【知识点】容斥原理的应用 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 【详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 8．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 二、多选题 9．已知非空集合，，均为的真子集，且.则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】判断两个集合的包含关系、交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据真子集关系，结合集合间的运算逐项分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：可知，故A错误； 对于选项B：因为，所以为的真子集，故B错误； 对于选项C：可知为的真子集，故C正确； 对于选项D：因为为的真子集，且， 所以，故D正确； 故选：CD. 10．给定集合P，Q，定义且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据并集运算和新定义逐一判断即可. 【详解】， 故，故A正确； 由新定义可知，，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD． 三、填空题 11．若集合，则 ． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，利集合相等和集合中元素的性质，求得，进而得到答案. 【详解】因为，可得，所以， 当时，，显然不成立； 所以，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 12．已知集合且，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】直接根据集合的包含关系得到参数范围. 【详解】集合且，则. 故答案为： 四、解答题 13．已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论即可. 【详解】因为集合有且仅有两个子集， 所以A中只有一个元素， 若，此时，符合题意； 若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根， 即，即， 综上满足条件的实数组成的集合为. 14．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 15．已知为实数，，． (1)当时，求的取值集合； (2)当时，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）分、两种情况讨论，求出集合，根据可得出关于的等式，即可求得实数的值； （2）分、、且三种情况，求出集合、，根据可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：因为， 所以当时，，当时，． 又，所以，此时，满足． 所以当时，的取值集合为． （2）解：当时，，不成立； 当时，，，成立； 当且时，，，由，得，所以． 综上，的取值集合为． 16．设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】(1)； (2)4； (3)不存在，理由见解析. 【知识点】判断元素与集合的关系、列举法表示集合、集合新定义 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得. 【详解】（1）因为，所以， 所以； （2）设，不妨设， 因为， 所以中元素个数大于等于4个， 又，则，此时中元素个数等于4个， 所以生成集B中元素个数的最小值为4； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集由组成， 又， 所以， 若，又，则，故， 若，又，则，故， 所以，又，则，而， 所以不成立， 所以假设不成立， 故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 综合测评 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值情况，分析判断集合中元素的特征得不等式，求解即得. 【详解】因，， 则 故． 故选：D． 2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为， 所以或， 所以， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：. 3．已知集合为全集的子集，，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，利用即可得到结果. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故选：C. 4．已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到 ，即可求解. 【详解】， 由，可得， 当，满足，， 当，或，由可得： 故， 综上所述：. 故选：C 5．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集运算得到，把转化为，最后利用包含关系得到答案. 【详解】因为，， 因为，所以， 所以， 故选：A. 6．设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 7．已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据图示，利用集合运算表示出来，分步进行，结合交并补运算，可得答案. 【详解】或，或， ，； 由题意，阴影部分表示的是或. 故选：A. 8．设集合，其中为自然数集，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合子集的定义即可判断A；结合交集的定义可判断B；结合并集的定义可判断C；分析可得，进而结合交集的定义可判断D. 【详解】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； 又，而，则， 所以，故D正确. 故选：D. 9．已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的 包含关系验证或可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 10．设集合，，且M，N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定集合、的“长度”，根据它们都是的子集，且“长度”最小，所以集合、应该在集合的两端，可求“长度”的最小值. 【详解】易得：集合的“长度”为， 集合的 “长度”为. 因为它们都是的子集，要使“长度”最小， 集合、应该在的两端. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的 “长度”为：. 若集合在左，集合在右，则，， 此时，，， 所以的“长度”为：. 综上可知，“长度”的最小值为. 故选：C 11．（多选）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】A选项，根据题意得到且中元素不能出现在中，故；B选项，与是相同的，所以；C选项，推出；D选项，表达出，结合，，得到，故. 【详解】A选项，且，则， 故，且中元素不能出现在中，故，A正确； B选项，且，则， 即与是相同的，所以，B正确； C选项，因为，所以，故，C错误； D选项，， 其中，， 故， 而， 故，D错误. 故选：AB 12．（多选）下列选项正确的有（    ） A．已知全集，，，则实数p的值为3 B．若，则 C．已知集合中元素至多只有1个，则实数a的范围是 D．若，，且，则 【答案】AD 【分析】求出集合，再求出p的值即可判断A；由集合相等求出判断B；利用已知分类讨论求解判断C；利用集合的包含关系分类讨论求解判断D. 【详解】对于A，， 因为，所以， 即方程的根为， 所以，故A正确； 对于B，由，得， 因此，解得，则，故B错误； 对于C，依题意，当时，由，得，此时集合中只有一个元素， 当时，集合中最多只有一个元素， 即一元二次方程最多一个实根， 于是，解得， 所以实数a的范围是或，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，解得， 当时，，解得， 综上，，D正确. 故选：AD. 13．（多选）定义集合与的运算：，．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据新定义，结合交并补概念逐个计算即可. 【详解】由，以及定义运算可知，，所以，A正确； 又，所以，B正确； 又，则，所以，C错误； 又，则， 所以，D正确． 故选:ABD． 14．已知，，、、、，满足：对任意，则，如果，则的最小元素不等于中的最大元素，也不等于中的最大元素. (1)当时，列出，，； (2)当时，求出的最大值并说明理由. 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】（1）由已知求解可得； （2），一方面，考虑为的非空子集，另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类，讨论可得结论. 【详解】（1），，； （2）， 一方面，考虑为的非空子集，令，显然满足要求， . 另一方面，所有的子集中，去除和，剩下所有集合分两类， 类：最大元素为，1任取，：最大元素为，1到取法与互补. 两类集合一一对应，且不能同时取. 举例：，，因此. 综上所述. 15．设全集为，集合，． (1)当时，求和 (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2) 【分析】（1）首先解二次不等式求得集合，然后将代入确定集合，最后根据集合的交、并、补运算法则进行求解即可； （2）首先根据集合间运算的结果可得，然后分和两种情况分类讨论求解参数取值范围即可 【详解】（1）由不等式，解得：或，因此可得：或， 将代入集合中可得：， 因此或； 又或，得：或. （2）选①由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选②由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 选③由，可知， 当时，，解得：； 当时，可得：，无解，或，解得：； 综上所述； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$