1.1集合的概念及表示 讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦集合的概念及表示核心知识点，系统梳理集合与元素的定义、元素三性（确定性、互异性、无序性）、元素与集合关系符号（∈、∉）、常用数集符号（N、N*、Z、Q、R）及列举法、描述法，构建从概念理解到表示应用的学习支架，为后续集合关系与运算奠定基础。 资料以新课标核心素养为导向，通过实例辨析元素确定性培养数学眼光，互异性求参数回代检验训练数学思维，规范描述法书写提升数学语言表达。随堂与分知识点精练分层设计，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1 集合的概念及表示 2026 年高中数学暑期同步讲义 · 苏教版必修一 【学习目标】 理解集合、元素的概念，能够判断一些对象能否组成集合； 掌握集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性； 能用符号 ∈、∉ 表示元素与集合的关系； 熟记常用数集：N、N*（或 N+）、Z、Q、R 的表示； 掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法，能正确进行互化。 【重难点梳理】（表格） 类别 内容要点 突破策略 重点 集合的概念、元素三性、集合的表示 从具体实例出发，多举反例辨析 重点 描述法 {x | p(x)} 的规范书写 明确代表元素和元素满足的条件 难点 由集合元素互异性求参数范围 求出参数后务必回代检验 难点 描述法与列举法的互化 先化简条件，再枚举或画图 易错 “属于∈”与“包含⊆”混淆（本章尚未学包含） 元素与集合用∈/∉，集合间关系留待下节 一、教材知识点盘点（请先独立填写，再对照第四节答案） 1. 集合与元素 一般地，把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（简称“集”）。集合中的每个对象叫做这个集合的___【1】___，通常用小写拉丁字母 a, b, c, … 表示；集合通常用大写拉丁字母 A, B, C, … 表示。 元素与集合的关系只有两种：若 a 是集合 A 的元素，记作___【2】___；若 a 不是集合 A 的元素，记作___【3】___。 集合中元素具有三大特性： ___【4】___性：一个对象要么在集合中，要么不在，二者必居其一； ___【5】___性：同一集合中的任意两个元素互不相同； ___【6】___性：集合中的元素没有顺序之分。 （思考【7】）你班“高个子同学”能否组成集合？为什么？ 2. 常用数集及其符号 数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 __【8】__ __【9】__ __【10】__ __【11】__ __【12】__ 注意：自然数集 N 包含 0，而 N*（或 N+）表示___【13】___。 3. 集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素___【14】___，并用花括号“{}”括起来。例如方程 x²－5x+6=0 的解集可表示为___【15】___。 （2）描述法：在花括号内先写代表元素和取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出元素所具有的共同特征，一般形式为___【16】___。例如不等式 2x－1>3 的解集可表示为___【17】___。 （3）描述法还可按情境写成不同形式，例如区间、点集等。点集 {(x, y) | y=2x+1} 表示___【18】___。 ▲ 图1：元素 a 属于集合 A，元素 b 不属于集合 A ▲ 图2：集合 {x | －1<x≤3} 在数轴上的表示 二、随堂练习 1. 判断下列各组对象能否组成集合，并说明理由： （1）某校 2026 级高一所有男生； （2）与 0 非常接近的实数； （3）平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点； （4）数学成绩比较好的同学。 2. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空： 0____N； －3____Z； ____Q； ____R； π____Q。 3. 用列举法表示下列集合： （1）A={x∈N | 0<x≤5}； （2）B={x | x²=4}； （3）C={(x, y) | x+y=3, x∈N, y∈N}。 4. 用描述法表示下列集合： （1）所有大于 3 的偶数； （2）函数 y=x² 图象上的所有点； （3）平面直角坐标系中第二象限内的点。 5. 已知集合 A={a－3, 2a－1, a²－4}，且 －3∈A，求实数 a 的值。 6. 下列集合相等的是（　） A. {x | x²－1=0} 与 {1} B. {x | x²－x=0} 与 {0,1} C. {(1,2)} 与 {1,2} D. {x | x>0} 与 {x | x≥0} 7. 用描述法表示：被 3 整除的所有整数组成的集合。 8. 集合 A={x∈Z | |x|≤2} 用列举法表示为______，其元素个数为______。 9. 已知集合 A={x | x=2k, k∈Z}（全体偶数组成的集合）。(1) 判断 0.5 是否属于 A，并说明理由；(2) 写出 A 中的两个负元素。 三、分知识点精练 知识点1：集合概念与元素三性 1. 下列对象中能构成集合的是（　） A. 某班学习成绩好的同学 B. 自然数中所有偶数 C. 接近于 1 的实数 D. 比较胖的人 2. 若集合 A 中含有两个元素 a－3 和 2a+1，则 a 不能取的值是（　） A. －4 B. －3 C. 4 D. 3 3. 下列结论中正确的个数为（　） ① 若 {1, 2, 3}={3, 2, 1}，则体现了元素的无序性； ② 若 A={x | x²=4}，则 A={2}； ③ 由 a, 2a, a² 组成的集合中，a 不能取 0 或 2。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 设集合 A={x | ax²+2x+1=0} 只有一个元素，求实数 a 的值。 5. 已知集合 A={1, a, a²－a+1}，若 A 中元素互不相同，则实数 a 的取值范围是______。 6. 判断下列说法是否正确，并说明理由： (1) 所有很大的实数能组成一个集合； (2) 方程 x²+1=0 的实数根组成的集合是空集； (3) 由 1, , 这三个元素组成的集合含有 3 个元素。 知识点2：元素与集合的关系 7. 用符号 ∈ 或 ∉ 填空： －1____N； 0____N*； 2026____Z； 0.333…____Q； √3____R。 8. 若 a∈N 但 a∉N*，则 a=______。 9. 下列关系式中正确的是（　） A. 0∈N* B. π∈Q C. －5∈Z D. ∉N 10. 已知集合 A={x∈N | x=, k∈N*}，用列举法表示 A。 11. 若 ∈ {x | x²=a, a∈R}，则实数 a=______。 12. 已知集合 A={x∈N | x≤5}，B={x | x=2n, n∈N, n≤3}。(1) 分别用列举法表示 A、B；(2) 判断 4 与集合 A、B 的关系。 知识点3：列举法与描述法 13. 用列举法表示下列集合： （1）{x∈Z | －2<x<4}； （2）{(x, y) | x∈{1,2}, y∈{1,2}, x+y=3}； （3）{x | x=|n|, n∈Z 且 |n|≤2}。 14. 用描述法表示下列集合： （1）{1, 2, 3, 4, 5}； （2）{1, , , , …}； （3）平面直角坐标系中到原点距离为 1 的点组成的集合。 15. 下列集合中，与集合 M={x | x=2k+1, k∈Z} 相等的是（　） A. {x | x 是奇数} B. {x | x=4k+1, k∈Z} C. {x | x=2k－1, k∈N} D. {x | x=2k－1, k∈Z} 16. 若集合 A={x | kx²－8x+16=0} 中只有一个元素，求 k 的值。 17. 用描述法表示函数 y=2x 图象上的点组成的集合。 18. 集合 A={x | －2≤x≤2, x∈Z} 与 B={x | |x|≤2, x∈Z} 是否相等？为什么？ 19. 已知集合 A={x | x=3k, k∈N*}，B={x | x=2k－1, k∈N*}。写出其中满足 1≤x≤6 的元素（用列举法）。 20. 集合 {(x,y) | x+y=2, x∈N, y∈N} 用列举法表示为______。 知识点4：综合应用 21. 已知集合 A={a+1, a²+1, a²－a} 中，2∈A，求实数 a 的值。 22. 设集合 A={x∈R | ax²+3x+2=0}，若 A 中至多有一个元素，求实数 a 的取值范围。 23. 用描述法表示下图中粗线部分表示的数集（x 为实数），并用列举法写出其中的所有整数。 24. 已知集合 P={x∈N | 1≤x≤10}，集合 Q={x∈R | x²+px+q=0}，若 P 中的两个元素是方程 x²+px+q=0 的根，且这两个根之和为 8，求 p, q 的值。 25. 已知集合 A={x∈N | x=, n∈N*}。(1) 当 n 取哪些正整数时，x∈N？(2) 用列举法表示 A。 26. 用描述法表示平面直角坐标系中所有横坐标为 0 的点组成的集合，并判断点 (0,5) 是否属于该集合。 四、答案与解析 【教材知识点盘点·参考答案】 【1】 元素 【2】 a∈A　　解析：元素属于集合，用符号 ∈ 连接，读作“a 属于 A”。 【3】 a∉A　　解析：读作“a 不属于 A”。注意 ∈/∉ 只能连接“元素与集合”。 【4】 确定　　解析：判断标准必须客观明确，如“大于 3 的实数”是确定的。 【5】 互异　　解析：相同的对象在同一集合中只算一个元素，如 {1,1,2} 实为 {1,2}。 【6】 无序　　解析：{1,2,3} 与 {3,2,1} 是同一个集合。 【7】 不能。解析：“高个子”没有客观统一的判定标准，不满足元素的确定性，因此不能组成集合。若改为“身高不低于 175 cm 的同学”，标准明确，就能组成集合。 【8】 N　【9】 N*（或 N+）　【10】 Z　【11】 Q　【12】 R 解析：这五个符号务必牢记——N 自然数集（含 0）、N*/N+ 正整数集、Z 整数集、Q 有理数集、R 实数集。 【13】 正整数集，即所有大于 0 的自然数组成的集合（不含 0）。 【14】 一一列举出来（元素之间用逗号分隔，不重复、不遗漏） 【15】 {2, 3}　　解析：x²－5x+6=0 ⇒ (x－2)(x－3)=0 ⇒ x=2 或 x=3。 【16】 {x∈A | p(x)}（或 {x | p(x)}）　　解析：竖线左边写代表元素及其范围，右边写共同特征。 【17】 {x | x>2}　　解析：2x－1>3 ⇒ 2x>4 ⇒ x>2。 【18】 直线 y=2x+1 上所有点组成的集合。解析：代表元素是有序数对 (x, y)，故这是点集而非数集。 【随堂练习】 1. （1）能，对象确定；（2）不能，“非常接近”标准不明确；（3）能，条件确定；（4）不能，“比较好”标准不明确。 2. ∈；∈；∉；∈；∉。 3. （1）{1,2,3,4,5}；（2）{－2,2}；（3）{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}。 4. （1）{x | x=2k, k∈Z 且 k>1}（或 {x∈Z | x>3 且 x 为偶数}）；（2）{(x,y) | y=x²}；（3）{(x,y) | x<0, y>0}。 5. 解：由 －3∈A，分三种情况： ① a－3=－3 ⇒ a=0，此时 A={－3,－1,－4}，符合； ② 2a－1=－3 ⇒ a=－1，此时 A={－4,－3,－3}，出现重复，舍去； ③ a²－4=－3 ⇒ a=±1，a=1 时 A={－2,1,－3} 符合；a=－1 已在②中舍去。 综上，a=0 或 a=1。 6. B　解析：A 中 {x|x²－1=0}={－1,1}≠{1}；B 中 {x|x²－x=0}={0,1}；C 中点集与数集不同；D 前者不含 0 后者含 0，不等。 7. {x | x=3k, k∈Z}。 8. {－2,－1,0,1,2}；5。 9. 解：(1) 0.5∉A，因为偶数必须是整数，0.5 不是整数；(2) 两个负元素如 －2, －4（答案不唯一）。 【分知识点精练】 1. B　解析：只有“自然数中所有偶数”的对象是确定的。 2. A　解析：由互异性 a－3≠2a+1，得 a≠－4。 3. C　解析：①③正确；②中 x²=4 的解为 ±2，故 A={－2,2}，②错。 4. 解：当 a=0 时，方程为 2x+1=0，x=，A 只有一个元素；当 a≠0 时，Δ=4－4a=0 ⇒ a=1。综上 a=0 或 a=1。 5. a≠0 且 a≠1（或 a∈R 且 a∉{0,1}）。 解析：需 a≠1；a²－a+1≠1 ⇒ a(a－1)≠0 ⇒ a≠0 且 a≠1；a²－a+1≠a ⇒ (a－1)²≠0 ⇒ a≠1。综合得 a≠0 且 a≠1。 6. 解：(1) 错，“很大”没有明确标准，对象不确定； (2) 对，x²+1=0 无实数根，故为空集∅； (3) 错，集合元素具有互异性，重复元素只算一个，该集合实际含有 2 个元素。 7. ∉；∉；∈；∈；∈。 8. 0　解析：N* 是正整数集，N 中不属于 N* 的只有 0。 9. C　解析：A 错，0 不是正整数；B 错，π 是无理数；C 对；D 错，√4=2∈N。 10. A={1,2,3,6}。解析：由 x=∈N，k∈N*，k 可取 1,2,3,6。 11. 2。解析：x=√2 时 x²=2=a，故 a=2。 12. 解：(1) A={0,1,2,3,4,5}，B={0,2,4,6}；(2) 4∈A，4∈B。 13. （1）{－1,0,1,2,3}；（2）{(1,2),(2,1)}；（3）{0,1,2}。 14. （1）{x∈N | 1≤x≤5}；（2）{x | x=, n∈N*}；（3）{(x,y) | x²+y²=1}。 15. AD　解析：两者都表示所有奇数。注意 C 中 k∈N，少了负奇数。 16. 解：当 k=0 时，方程为 －8x+16=0，A={2}；当 k≠0 时，Δ=64－64k=0 ⇒ k=1。综上 k=0 或 k=1。 17. {(x,y) | y=2x, x∈R}。 18. 相等。解析：二者化简后均表示 {－2,－1,0,1,2}。 19. A 中满足 1≤x≤6 的元素为 {3,6}；B 中满足 1≤x≤6 的元素为 {1,3,5}。 20. {(0,2),(1,1),(2,0)}。 21. 解：若 a+1=2，则 a=1，此时 A={2,2,0} 舍去； 若 a²+1=2，则 a=±1，a=1 已舍，a=－1 时 A={0,2,2} 舍去； 若 a²－a=2，则 a=2 或 a=－1，a=－1 已舍，a=2 时 A={3,5,2} 符合。 所以 a=2。 22. 解：A 中至多一个元素，包括无实根或一个实根。 当 a=0 时，方程 3x+2=0 有一根，符合； 当 a≠0 时，Δ=9－8a≤0 ⇒ a≥。 综上，a=0 或 a≥。 23. 解：数轴上 1 处为实心点（含端点），5 处为空心点（不含端点），故该数集为 {x∈R | 1≤x<5}。 其中的整数为 1, 2, 3, 4，用列举法表示为 {1, 2, 3, 4}。 24. 解：设两根为 m,n∈P，且 m+n=8，m≠n。可能的组合为 (2,6),(3,5),(1,7)。 由韦达定理 p=－(m+n)=－8，q=mn。 若取 (3,5)，则 q=15；若取 (2,6)，则 q=12；若取 (1,7)，则 q=7。 因此 (p,q) 可能为 (－8,15)、(－8,12)、(－8,7)。 25. 解：(1) x=∈N 要求 n 为 12 的正约数，即 n=1,2,3,4,6,12； (2) 对应 x=12,6,4,3,2,1，故 A={1,2,3,4,6,12}。 26. 解：该集合为 {(x,y) | x=0}；点 (0,5) 的横坐标为 0，故 (0,5) 属于该集合。 学科网（北京）股份有限公司 $