1.2 子集、全集、补集（思维导图+3大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（苏教版201

1．2 子集、全集、补集 目录 01 学习目标 3 02 题型归纳目录 3 03 思维导图 4 04 知识梳理 5 知识点一：子集与真子集 5 知识点二：补集 5 知识点三：有限集合的子集、真子集个数 6 05 题型归纳，典型例题 7 题型一：集合子集、真子集及个数求解 7 题型二：韦恩图运用 8 题型三：集合关系求参数范围 10 题型四：集合基本关系辨析 12 题型五：集合相等性判断 14 题型六：集合相等求参数值 16 题型七：空集特性应用 17 题型八：补集运算处理 18 1、理解子集、真子集的概念，能用符号和Venn图、数轴表达集合间的关系． 2、了解全集的含义及其符号表示，理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集． 知识点一：子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A 或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； （2）对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； （3）若A⊆B且B⊆A，则A=B； （4）规定∅⊆A （1）对于集合A，B，C，若AB且BC， 则AC； （2）若，则∅A 知识点二：补集 1、补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 定义 符号语言 ∁SA={x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 （1）A⊆S，∁SA⊆S；（2）∁S（∁SA）=A； （3）∁SS=∅，∁S∅=S 2、全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U． 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U． 知识点三：有限集合的子集、真子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为，真子集个数为，非空子集个数，非空真子集个数为． 题型一：集合子集、真子集及个数求解 【例1】已知集合． （1）写出集合M的子集、真子集； （2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数； （3）猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解析】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个． 【解题总结】 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用． 【变式1-1】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【解析】（1）子集：，；真子集：； （2）子集：，，，；真子集：，，； （3）子集：，，，，，，，； 真子集：，，，，，，． 【变式1-2】已知集合且，且 （1）写出集合的子集，真子集； （2）求集合的子集数，非空真子集数． 【解析】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 【变式1-3】设集合，，且． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求集合A的子集的个数． 【解析】（1）当即时，，符合题意； 当时，有，解得． 综上实数的取值范围是或； （2）当时，，所以集合的子集个数为个． 题型二：韦恩图运用 【例2】（2025·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】全集，集合，， 所以，所以能表示集合、关系的图是选项B． 故选：B 【解题总结】 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】（2025·高一·重庆·期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以BA，B正确． 故选：B． 【变式2-2】下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6， 所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系． 故选：A． 【变式2-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知全集，能表示集合关系的Venn图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】解可得，所以， 又，所以，根据选项的Venn图可知选项A符合． 故选：A 题型三：集合关系求参数范围 【例3】已知全集，集合． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若集合不是的子集，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，得集合或． 因为，所以． 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得． 综上，实数a的取值范围是或． （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得． 所以时，． 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是． 【解题总结】 利用集合关系求参数的关注点 （1）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． （2）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 【变式3-1】已知集合． （1）若，求实数的取值集合． （2）若的子集有两个，求实数的取值集合． （3）若且，求实数的取值集合． 【解析】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为． 【变式3-2】已知集合 （1）若，请写出集合的所有子集； （2）若集合，且，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、． （2）因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解． 综上所述，实数的取值范围是． 【变式3-3】（2025·高一·山东临沂·开学考试）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围． （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）， 当，即时，，满足； 当时，， 因此，要使，则需，解得， 综上所述，的取值范围是或； （2）， 因为，所以或或或，   当时，方程的判别式，即； 当时，由韦达定理有，所以； 当时，有，不成立； 当时，有，不成立； 综上所述，实数a的取值范围为． 题型四：集合基本关系辨析 【例4】（2025·高一·福建·期中）集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 【解题总结】 （1）判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或Venn图． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且， 由集合的包含关系可得． 故选：B． 【变式4-2】已知集合，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因此， ，因此对任意的，必有，但，，因此有， 故选：C． 【变式4-3】（2025·高一·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【解析】因为或 ， 又或 或 ， 所以． 故选：A 题型五：集合相等性判断 【例5】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B．集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C．，得，即，故C正确； D．集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误． 故选：C 【解题总结】 判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同． 【变式5-1】已知集合，，，则集合M，S，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ， ， 因为，所以， ∴． 故选：B． 【变式5-2】已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，，故A错误； 对B，中，解得，故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确． 故选：D． 【变式5-3】集合，，之间的关系是（    ） A．真包含于真包含于 B．真包含于 C．真包含于 D．真包含于 【答案】C 【解析】，，， ，，， 真包含于， 故选：C． 题型六：集合相等求参数值 【例6】（2025·高一·上海·期中）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以，且， 所以，且，， 因为， 所以或， 由，可得（舍去）， 由，可得（舍去）或， 所以． 故答案为：． 【解题总结】 元素相同，注意满足集合元素的三大性质． 【变式6-1】若，则 ， ， 【答案】 【解析】因为，又， 所以中必有，则，故， 则，所以． 故答案为：；；． 【变式6-2】设，若，则 ． 【答案】 【解析】由题意，集合， 因为，可得，解得， 所以 故答案为：． 【变式6-3】已知，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】因为， 当解得：或，都不符合集合元素的互异性， 当解得：或（结合集合元素的互异性舍去） 所以． 故答案为： 题型七：空集特性应用 【例7】（多选题）（2025·高一·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【解析】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误． 故选：BD 【解题总结】 空集不含任何元素的集合． 【变式7-1】（2025·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 ． 【答案】 【解析】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是． 故答案为：． 【变式7-2】（2025·高一·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【答案】 【解析】若不等式的解集为，则，所以，符合题意， 故a的取值集合为． 故答案为：． 【变式7-3】（2025·高一·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 ． 【答案】1 【解析】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1． 题型八：补集运算处理 【例8】（2025·高一·河南郑州·开学考试）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】全集，集合，则． 故选：C． 【解题总结】 （1）求补集的方法 ①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． ②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． 【变式8-1】已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 【答案】C 【解析】集合为空集，则，解得， 集合为空集，则，解得， 因此集合均为空集时，， 所以实数的取值范围为或且． 故选：C 【变式8-2】已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以，即，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与互异性矛盾， 所以2， 故选：B 【变式8-3】已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，，所以或． 故选：B 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．2 子集、全集、补集 目录 01 学习目标 3 02 题型归纳目录 3 03 思维导图 4 04 知识梳理 5 知识点一：子集与真子集 5 知识点二：补集 5 知识点三：有限集合的子集、真子集个数 6 05 题型归纳，典型例题 7 题型一：集合子集、真子集及个数求解 7 题型二：韦恩图运用 8 题型三：集合关系求参数范围 9 题型四：集合基本关系辨析 10 题型五：集合相等性判断 10 题型六：集合相等求参数值 11 题型七：空集特性应用 11 题型八：补集运算处理 11 1、理解子集、真子集的概念，能用符号和Venn图、数轴表达集合间的关系． 2、了解全集的含义及其符号表示，理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集． 知识点一：子集与真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A 或BA 读法 集合A包含于集合B或集合B包含集合A A真包含于B或B真包含A 图示 性质 （1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； （2）对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C； （3）若A⊆B且B⊆A，则A=B； （4）规定∅⊆A （1）对于集合A，B，C，若AB且BC， 则AC； （2）若，则∅A 知识点二：补集 1、补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 定义 符号语言 ∁SA={x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 （1）A⊆S，∁SA⊆S；（2）∁S（∁SA）=A； （3）∁SS=∅，∁S∅=S 2、全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U． 在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集U． 知识点三：有限集合的子集、真子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为，真子集个数为，非空子集个数，非空真子集个数为． 题型一：集合子集、真子集及个数求解 【例1】已知集合． （1）写出集合M的子集、真子集； （2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数； （3）猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【解题总结】 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏． （2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集． 【变式1-1】（1）写出集合的子集和真子集． （2）写出集合的所有子集和真子集． （3）写出集合的所有子集和真子集． 【变式1-2】已知集合且，且 （1）写出集合的子集，真子集； （2）求集合的子集数，非空真子集数． 【变式1-3】设集合，，且． （1）求实数的取值范围； （2）当时，求集合A的子集的个数． 题型二：韦恩图运用 【例2】（2025·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用． 【变式2-1】（2025·高一·重庆·期末）已知全集，能表示集合，，关系的图是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知全集，能表示集合关系的Venn图是（    ） A．   B．   C．   D．   题型三：集合关系求参数范围 【例3】已知全集，集合． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若集合不是的子集，求实数的取值范围． 【解题总结】 利用集合关系求参数的关注点 （1）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． （2）此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集． 【变式3-1】已知集合． （1）若，求实数的取值集合． （2）若的子集有两个，求实数的取值集合． （3）若且，求实数的取值集合． 【变式3-2】已知集合 （1）若，请写出集合的所有子集； （2）若集合，且，求的取值范围． 【变式3-3】（2025·高一·山东临沂·开学考试）（1）设集合， ，当时，求实数的取值范围． （2）已知，，若，求实数a的取值范围． 题型四：集合基本关系辨析 【例4】（2025·高一·福建·期中）集合，， 的关系是（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或Venn图． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，集合表示直线上的所有点，从这个角度看，若有集合，则集合、之间有什么关系？（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知集合 ，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·上海·期末）已知集合或， 集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 题型五：集合相等性判断 【例5】下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同． 【变式5-1】已知集合，， ，则集合M，S，P的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】集合，，之间的关系是（    ） A．真包含于真包含于 B．真包含于 C．真包含于 D．真包含于 题型六：集合相等求参数值 【例6】（2025·高一·上海·期中）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【解题总结】 元素相同，注意满足集合元素的三大性质． 【变式6-1】若，则 ， ， 【变式6-2】设，若，则 ． 【变式6-3】已知，，若，则 ． 题型七：空集特性应用 【例7】（多选题）（2025·高一·广西柳州·期末）下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【解题总结】 空集不含任何元素的集合． 【变式7-1】（2025·高一·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 ． 【变式7-2】（2025·高一·上海长宁·开学考试）若不等式的解集为，则a的取值集合为 【变式7-3】（2025·高一·上海浦东新·期中）关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 ． 题型八：补集运算处理 【例8】（2025·高一·河南郑州·开学考试）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【解题总结】 （1）求补集的方法 ①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． ②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． 【变式8-1】已知集合．若集合、中至少有一个非空集合，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或且 D．且 【变式8-2】已知集合，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】已知全集，集合，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$