四川省成都市树德中学2026-2027学年高三上学期零诊模拟数学试题

**基本信息** 结合马尔可夫链（科技前沿）和西梅检测（生活实际）情境，覆盖函数、几何、概率等核心模块，梯度设计合理，适配高三开学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线、函数切线、等差数列等|基础概念辨析，注重数学眼光的初步应用| |多选题|3/18|等比数列、立体几何、函数性质|多选项设计考查思维严谨性，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3/15|二项式定理、解析几何、马尔可夫链|融入科技情境（马尔可夫链），考查数学语言表达| |解答题|5/77|统计概率（西梅检测）、数列、立体几何翻折、双曲线、函数新定义|综合性强，如函数新定义证明考查创新意识，立体几何翻折考查空间观念，体现数学思维与语言的综合应用|

树德中学外国语校区高2024级高三上期零诊模拟数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.抛物线的焦点坐标是(     ) A. B. C. 　　 D. 2.已知函数，则曲线在点处的切线方程为(     ) A. B. C. D. 3.在等差数列中，若，则(     ) A. B. C. D. 4.甲、乙、丙、丁等人分成，两技术小组，要求每组人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案(     ) A. B. C. D. 5.已知随机事件，满足，，，则(     ) A. B. C. D. 6.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 A. B. C. D. 7.已知直线：与椭圆：相交于点，，且线段的中点为，则椭圆 的离心率为(     ) A. B. C. D. 8.若函数有极值，则的取值范围为(     ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.记为等比数列的前项和，为的公比，且，若，，则(     ) A. B. C. D. 10.如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，且，平面，则(     ) A. 平面平面 B. C. D. 平行六面体的体积为 11.已知函数，则下列说法正确的是(     ) A. 函数在处取得极大值 B. 时，方程有两个不同的实数根 C. D. 若不等式在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，项的系数为           ． 13.，与轴交于点，与轴交于点，与交于、两点，，则           ． 14.马尔可夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用马尔可夫链因俄国数学家安德雷马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，次状态无关现有，两个盒子，各装有个黑球和个红球，从，两个盒子中各任取一个球，交换后放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中恰有个红球的概率为则的值为           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.分西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了箱西梅，其中有箱测定为一等品． 分现从这箱中任取箱，求恰好有箱是一等品的概率 分以这箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取箱，记X表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望． 16.分已知数列的前项和满足． 求的通项公式； 分设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 17.分如图，四边形中，，，为中点，在上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面所成的二面角为 证明：平面 分求平面与平面所成二面角的正弦值． 18.分在平面直角坐标系中，已知点，，，点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于，两点两点均在轴左侧． 分求曲线的方程 分若点在轴上方，且，求直线的方程 分过点作轴的平行线，直线与直线交于点，线段的中点为，若直线与直线交于点，求证：点恒在一条定直线上． 19.分若存在正实数，对任意，使得，则称函数在上是一个“函数”． 已知函数在区间上是一个“函数”，求； 分判断函数在区间上是否一个“函数”； 分证明：． 答案和解析 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7. 8.  9.  10.  11.  12.  13.  14.  14.【解析】设第次操作后盒子中恰有个红球的概率为， 则没有红球的概率为． 由题意知，，， 因为 所以   ，又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，所以． 15.【答案】解:(1)设抽取的3箱西梅恰有1箱是一等品为事件,则P()==； 因此,从这10箱中任取3箱,恰好有1箱是一等品的概率为； (2)由题意可知,从这10箱中随机抽取1箱恰好是一等品的概率为=， 的所有可能取值为0,1,2,3，则~B(3,)， P(=0)==，P(=1)==， P(=2)==，P(=3)==， 所以的分布列为 0 1 2 3 P E()=3=.  16.【答案】解：，当时，， 当时，，，两式相减得：， 为非零定值，，即是以为首项，公比的等比数列， ； ， 所以， ， 两式相减：， 整理得．由得，故， 即存在使成立， 由于随着增大，的值在减小，故当时，，故求的取值范围是   17.【答案】证明：，由翻折的几何性质可知：． 平面，平面，平面． ，平面，平面，平面． 又平面，平面，，平面平面． 又平面，平面，得证． 解：由翻折的几何性质可知，，． 又，．是平面和平面所成二面角的平面角． 以点为坐标原点，，过点且垂直平面向上方向，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系． 设，则，． 设平面和平面的法向量分别为和． 则即 令得， 设平面和平面所成的二面角为， 即平面和平面所成的二面角的正弦值为．  18.【答案】解：由题知：点的轨迹是以、为焦点，且实轴长为的双曲线， 因此，所以曲线方程为； 设直线：，，， 由，得，显然， 因此，，， 因为，所以，因此，， 所以，解得， 因为，两点均在轴左侧，且，所以直线的斜率，即， 因此，所以直线方程为； 证明：因为直线的方程为：， 令，得，因此点的坐标为， 所以点的坐标为， 所以直线的方程为：， 设，因为直线的方程为：， 所以 而由知：，， 因此，解得， 所以点恒在定直线上  19.【答案】解：由在区间上是一个“函数”， 所以任意，恒成立，即， 令，，则，，要使恒成立，则，可得； 要证在区间上是一个“函数”，需证时，， 证明如下： 令，，则， 令，则，即在上单调递增，且， 当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，，则，令，则， 或时，，即在和上单调递增； 时，，即在上单调递减；又，，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，所以，即， 综上，，故结论得证； 证明：当，则，由知且，故， 所以，即有， 令，则，有， 所以 ，得证．   第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $