四川省成都市第七中学2027届高三上学期开学考试数学试卷

27届高三数学试题 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.设集合A={x|x之I},B={x-1<x<2,则A∩B=() A.{x|x>-l} B.{xx21} C.{x|-1<x<1}D.{x|1≤x<2 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，a2+a6=16,S4=20,则a,=（) A.5 B.4 C.6 D.7 3.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为-O.9,且样本数据的平均数分别 为x=3,=3,则y关于x的经验回归方程可能是() A.y=-0.9x+6.7 B.y=-2x+9 C.y=0.9x+0.3 D.y=2x-3 4.已知角A为△ABC的一个内角，向量m=(N3,-l),n=(cosA,sin).若m⊥n,则∠A=() A.号 B牙 c.君 D. S.若两个随机事件4B相互独立，满足PAB)=P80=,则PA+B)=C A B c D. 22 25 6.已知函数f(x)=-8x2+e在(0，o)上的最小值为0，则实数a的值为() A. e 9 e B. C. e D. C父+的左右焦点分别为，乃，点P在椭圆上，os∠FPS= 平分线与x轴交于点A,则川PA=() A.5 B.2W5 C.3/10 D.35 4 4 8.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,若f(3x+2)为奇函数，f(x+1)+x为 偶函数，80)=2，则克g)=（) k=0 A.-12 B.-14 C.-15 D.-16 试卷第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.若乙，z2为复数，则下列选项一定正确的是() A.名z2=z2 B. C.名云=同 D.名，+z2≤+2 10.如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,ADIIBC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1, ,则() CF=8 E B A.BD⊥EC B.BF∥平面ADE C.平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为？ D.直线CE与平面BDE所成角的止弦值为 山，已知各项都是正数的数列aa©N)的前n项和为S,且S,号+则下列结论中 正确的是（) A,{an}是单调递增数列 B.S+S2<2S 1,1,1、S-2 c.1 一十 +…+ S S2 S,2 D. 5.-2sIIn 3Sn-24 试卷第2页，共4页 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线-上=1的一条渐近线的倾斜角为60，则m= 3-m m 13.820除以7的余数为 14.函数f(x)=a2e-2lnx-x+b(a>0)有且仅有一个零点，则a2+b最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.已知函数f)=Asin(ox+p)A>0,0<o<3,网<) 的部分图象如图所示 YA 12 (I)求f(x)的解析式： (2)求f(x)的单调递减区间： (3)若不等式f(x)≥m [ 上恒成立，求m的取值范围. 16.为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生 进行调研，所得数据如下表所示： 抗压能力 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生参加 校园社团 合计 校园社团与抗压能力强弱有关？ 弱 强 (2)从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机 参加 20 40 60 抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名 学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为X,求X的分 不参加 35 25 60 布列与数学期望. 合计 55 65 120 试卷第3页，共4页 n(ad-be)2 附：X (a+bc+d)(a+c)b+d其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 3.841 6.635 17.如图所示，四棱锥P-ABCD底面为菱形，点E,F为棱PD的三等分点，点G是棱BC 中点 (I)过A,E,G三点的平面a与线段PC交于点H,求证：CF∥EH; (2)若PAL面ABCD,PA-l,点B到平面PCD的距离为)，求四棱锥P-ABCD体积的最 小值 18.已知描圆C号+芳=a>b>0的E鱼点为，C的离心率为9，且C过】 2 (1)求椭圆C的方程： (2)已知M(8,O),N(1,O),过点N的直线与C交于A,B两点(A,B不在x轴上). (i)求证：∠NMA=∠NMB; (iⅱ)求△FAB面积的最大值. 19.已知函数f(x)=2lnx+ax(a∈R), (1)讨论f(x)的单调性： (2)若a=1,正实数x,x2满足f(x)+x+f(x2)+x号=4，证明：x+x2≥2： (⊙)设g)=+(),若g(20对任意的xe(Q+)恒成立，求a的取值范围。 试卷第4页，共4页 27届高三数学试题答案 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A={x|x之l},B={x-1<x<2,则A∩B=() A.{x|x>-l}B.{x|x≥1} C.{x|-1<x<l}D.{x|1≤x<2 【答案】D 【详解】因为集合A={x|x≥}，B={x-1<x<23,所以A∩B={x1≤x<2} 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，a2+a。=16,S4=20,则a,=() A.5 B.4 C.6 D.7 【答案】C 【详解】设等差数列{an}首项a,公差d, a+a6=a+d+a+5d=16 则 +4×3d=20 S4=4a+2 ，解得a=2,d=2, 所以an=2n,则a3=6. 3.已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为O.9,且样本数据的平均数分 别为x=3,=3,则y关于x的经验回归方程可能是() A.y=-0.9x+6.7 B.y=-2x+9 C.y=0.9x+0.3 D.y=2x-3 【答案】B 【详解】因为x与y的样本相关系数为O.9<0,可知x与y为负相关，故C,D错误： 又因为经验回归方程过样本中心点(3,3)， 对于A项，y=0.9x+6.7,则3≠0.9×3+6.7，故A错误； 对于B项，y=-2x+9,则3=-2×3+9，故B正确. 4.已知角A为DABC的一个内角，向量m=(5,-1),n=(cosA,sin).若m⊥n,则∠A= 答案第1页，共15页 () A B. 4 c君 D. 2 【答案】A 【详解】：m1nmn=V3cosA-sinA=2 2 cos A 2 -sin A 2am引-0， ”∠A是三角形内角，∠A+亚=匹， 3,故A正确。 5.若两个随机事件4B相互独立，满足P4回)-gP(0-号，则4+)=() A号 3 B. 13 C.25 D器 【答案】C 【详解】因为两个随机事件A,B相互独立， 所以两个随机事件A,B也相互独立， 由Mm-写- -P4890- P(B) 由0--”a-间-1 P()5 55 所以=P+P-P=P+r-PP-专号号-号 -X 6.已知函数f()=r+心在(Q,o)上的最小值为0，则实数a的值为（) B号 C. e2 D. e2 4 【答案】C 【详解】由题意得f(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，且能取等， 即-日≥0在(0，o)上恒成立，且能取等， x2-2 令g-兰号x>0,则2（国的最小值为0， 因为g)=ec(x-2 所以当x∈(0,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减： 答案第2页，共15页 当x∈(2，+o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增： ∴8(=g2)=-号=0，解得a= 42 7.设椭圆c:女+y -+ 43 =1的左右焦点分别为，B,点P在椭圆上，cos∠FP5=号∠FPS 的平分线与x轴交于点A,则|PA=() A.√5 B.25 c.3V10 D. 3W5 4 4 【答案】D 【详解】椭圆C:+上=1的焦点F(-1,0,F,0,1PF1+P5上4，不妨令点P在第一 43 象限， 在aFPR中，4 SEP-PEP+PEP-2P听∠FPR=I6-91 PEHIPE, 则PEH-IPE非？，解得PR卡多PR卡多，IPEFAPEF+1FRP,则PR上F5, 由H平分所为--号面H卡2，则子 所以P4得+身3 故选：D F OA F2 8.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R,若f(3x+2)为奇函数，f(x+1)+x 为偶函数，g0)=-2,则兑g)=（) k-0 A.-12 B.-14 C.-15 D.-16 【答案】D 【详解】因为f(3x+2)为奇函数，所以f(-3x+2)=-f(3x+2). 对上述等式两边求导得-3f'(-3x+2)=-3f'(3x+2): 即f'(-3x+2)=f'(3x+2),所以g(x)=f'(x)的图象关于x=2轴对称. 答案第3页，共15页 因为f(x+)+x为偶函数，所以f(-x+I)-x=f(x+)+x. 对上述等式两边求导得-f'(-x+1)-1='(x+)+1,即-2=f'(x+)+f'(-x+), 所以g(x)='(x)的图象关于点(1，)中心对称， 所以g(x)为周期为4的函数，且g()=-1. 由g(0)=-2,g()=-1,以及对称性可得g(2)=0,g(3)=-1, 则g(0)+g)+g(2)+g(3)=-4, 则∑g(k)=4×4=-16. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.若，22为复数，则下列选项一定正确的是() A.z=B.2=2 C.z=间 D.名+zs+l 【答案】ACD 【详解】设z=a+bi,z2=c+,a,b,c,deR, 对于A,Z,'z2=(a+bi)(c+d)=ac-bd+(ad+bc)i, zz=Y(ac-bd)'+(ad+be)=a2+bd+ad+bo, z=Va+b.Ve+d=Va@+bd+ad+bo, 所以名z=,故A正确： 对于B,子=(a+bi)=ad2+2abi-b2,=a2+b2,所以z子=2不恒成立，故B错误； 对于C,z=a-bi,z=(a+bi)(a-bi)=ad+b2, 同-层+√a+(-b=d2+b2,所以名云=闯，故C正确： 对于D,3+z2=(a+c)+(b+d)i, l3+z22=(a+c)}+(b+d)2=a2+c2+2ac+b2+d+2bd, 答案第4页，共15页 al+}=(Na2+B+2+d=a2+b+c2+d+2N+Fe+, 又a2d2+b2c2≥2abcd,所以a2c2+b2d2+a2d2+bc2≥a2c2+b2d2+2abcd, 即(a2+b2)(c2+d2)2(ac+bd)2,也即Va+bV2+d≥ac+bd, 所以名+z≤(a+)2,即名+z≤+，故D正确。 IO.如图，AE⊥平面ABCD,CF∥AE,ADIIBC,AD⊥AB,AE=BC=2, MB=AD=l,CF=芳则() 8 E B A.BD⊥EC B.BF∥平面ADE C,平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 59 D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值 【答案】BC 【详解】对于A,根据题意可知AD⊥AB,AE⊥平面ABCD, 不妨以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示， ZA E B 可得8t0o.ct2.0,D@o,E@a,2.F2》 则D=(L0,BC=L2-2)BE=(-0,2)F-02) 答案第5页，共15页 所以BD.EC=-1×1+1×2+0×(-2)=1≠0，所以BD,EC不垂直，故A错误； 对于B,依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的一个法向量， 又F-Q2》可将际-砺=0，则F1, 又因为直线BFC平面ADE,所以BFII平面ADE,故B正确： 对于C,设m=(a,b,c)为平面BDE的一个法向量， m.BD=-a+b=0 则 ,令b=2→a=2,c=1,可得m=(2,2,1), m.BE=-a+2c=0 设n=（x,y,z)为平面BDF的一个法向量， m.BD=-x+y=0 m所=2+号=0令2-7=4=4，可得=4-7列. 8 m词 91 所以平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为cos(m,n》= 习V9x83故C正 确： 对于D,设直线CE与平面BDE所成角为0，而EC=(1,2,-2), 则m低外同万号D指 EC.m 4_4 1.已知各项都是正数的数列{a,aeN)的前n项和为S,且S,=号+2，则下列结论 2 a 中正确的是() A.{an}是单调递增数列 B.S+S2<2S C. t⊥>Sn-2 D. S,-2sLIn S S2 S 2 3Sn-24 【答案】BCD 2 【详解】因为S,-号+2，所以当n≥2时，S=+ 2 an 2a- 两成政，写将队受学+子子 所以8+a=2g1-a) 2 andn- 答案第6页，共15页 所以a,-a1=-,g+a<0, 所以{an}是单调递减数列，故A错误； 当n=1时，S=2+2=4,所以4=2 当n≥2时，8=-S+2 2+3,-3,化简整理得S-2=4, 所以数列{S}是等差数列，其首项为4，公差为4， 所以S%=4+4(n-1)=4n, 所以(Sn+S2)-2S=[V4n+V4n+2]-2√4n+d =2(Vn-Vn+1+/n+2-/n+1) 1 1 =2-n+n++n+2+n+ 三十 )<0, 所以Sn+Sn+2<2Sn1,故B正确； 11 1 因为32n+n => -=Vn+1-/n, 1,1 ，11,1 1 所以了+区++区2十22++2 +… >(W2-+(3-√2)+…+(Wn+1-√ =Vn+1-1=-2 2 11 所以了+区++区>2，故C正确： +…+ +1>-2」 设函数x20.则-， 2x(3x-1)2 因为x≥1，所以f=-9x》≤0， 2x(3x-1)2 所议四-机树)上单调莲减 所以m号动s0-0, 取x=n,neN心，所以n-lnns0,即n-shn 3Vn-12 3n-14 又因为冬22名-二，所以及2n故D正确 3Sn-26Wn-23Vn-1 3Sn-24 答案第7页，共15页 故选：BCD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线，亡-上=1的一条渐近线的倾斜角为60，则m= 3-m m 【答案】}225) 【分析】利用双曲线的渐近线求解。 【详解)：方程亡上=1表示双曲线， 3-m m .(3-m)m>0,解得0<m<3. 由题意知，a2=3-m,6=m,k= =tan60°=5， a 所以号=3，即n-3,整理得m=9,解得m-} 3-m 13.820除以7的余数为 【答案】1 【详解】因为82w=(7+1)=C9m×7120x1°+Cm×71x1'++C8×7×9+C0×7×120 =7(C0×79+C20×78+C0×77+…+C8）+1, 所以820除以7的余数为1. 14.函数f(x)=a2e-2nx-x+h(a>0)有且仅有一个零点，则d2+b最小值为 【答案1h2-月 【详解】函数f(x=ar2e-2lnr-x+b(a>0),∴.f(x)=ae2ne-(2nr+x)+b. 设2lnr+x=1,则有h(t)=ae-t+b,h(t=ae-l, 令0>0，解得1>h日令0<0，解得1<h。 h0在如。+网上单调递增，在(m,h日)上单调递减。 a 若满足函数有且只有一个零点，只有n）0,ae-h+h=0,=h上-1. a ..d+b=d+l--1=d-Ina-I. g(a)-d-la-Na>0:.g(a)-2a- 答案第8页，共15页 令g'a)>0,解得a>5,令g(a回)<0，解得0<a<5 单调递减， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.已知函数f)=4si(@r+p4>00<0<3,<孕)的部分图象如图所示。 (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)的单调递减区间： 若不等式f2m在云资 π5π 上恒成立，求m的取值范围。 【答案】0=2sm2x+ a[+a+a]e 3)(-o,刂 【详解】(1)由函数图象可知A=2,f0)=2sinp=2, 则sinp= ,因为受所以p-子 4 由/得)-2m食0+}2，得o+-+2ae0, 8 42 即o=2+16k(k∈Z), 因为0<0<3，所以0=2，所以f)=2sm2x+到 (2)由经+2as2x+开s受+2hke,得+asx5受+te刀， 42 8 答案第9页，共15页 所以f(x)的单调递减区间为 (3)因为不等式f(x)≥m在 π5π 24'24 上恒成立，所以f(x)≥m, 因为xe π5π π「π2π] 2424 所以2x+463 当2x+ =时，fx)om=2sin5 =1, 4 6 则m≤1，即m的取值范围为(-o, 16.为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学 生进行调研，所得数据如下表所示： 抗压能力 校园社团 合计 弱 强 参加 20 40 60 不参加 35 25 60 合计 55 65 120 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有 关？ (2)从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从 这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为X,求X的分布列 与数学期望. 附：X2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' 其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 Xa 3.841 6.635 【答案】(1)认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关： (2)分布列为 0 2 答案第10页，共15页 5 3-5 5 E(X)=1 【详解】(1)零假设为H。:学生参加校园社团与抗压能力强弱无关， 根据表中的数据，可得x2_120x20x25-40x35≈752>6635. 60×60×55×65 依据小概率值α=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关 (2)这6名学生中抗压能力弱的有0× ×6=2人，抗压能力强的有6-2=4人， 60 则X的所有可能取值为0,1,2. Px==是-分5x=-受-x-2小-答5 则X的分布列为 X 0 1 2 1 3 1 5 5 5 3 故E(X)=0×二+1×2+2×二=1. 5 17.如图所示，四棱锥P-ABCD底面为菱形，点E,F为棱PD的三等分点，点G是棱 BC中点， (I)过A,E,G三点的平面a与线段PC交于点H,求证：CF∥EH: 2)若PA⊥面ABCD,PA=1,点B到平面PCD的距离为)，求四棱锥P-ABCD体积的最 小值 【详解】(1)(1)取线段AE的中点M,连接MF,MG,由于MF∥AD∥CG, 1 MF=CG=二AD,所以四边形MFCG为平行四边形，即CFIIMG, 2 答案第11页，共15页 又MGc平面AEHG,CF文平面AEHG,所以CF∥平面AEHG. 又CFc平面PCD,平面AEHG∩平面PCD=EH,故CFIEH. (2)连接AC,BD交于点O,因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD 又PA⊥平面ABCD,所以如图建立空间直角坐标系O-xz, 设OB=a,OC=b,则B(a,0,0),C(0,b,0),D(-a,0,0),A(0,-b,0),P(0,-b,1), 得BC=(-a,b,0),CD=（-a,-b,0),PC=(0,2b,-1). 设平面PCD的法向量m=(x,y,z), m.CD=-ax-by =0 则 m=(b,-a,-2ab) m.PC=2by-z=0 BC.m 网+b+4F2′化简得12a26=a2+b, 2ab 1 所以点B到平面PCD的距离为 因为d+b2≥2ab,所以12a≥2ab,即ab≥，当且仅当a=b=6时，等号成立 6 6 故m-写*2x2ax2bx1=号ab≥g 11 2 3 ≥)即四棱锥P-ABCD体积的最小值为)： M B G ⑧，已知椭圆C若+钉a>>0的左焦点为，C的璃心率为的 2 ,且C过点 (2,2) (1)求椭圆C的方程； (2)已知M(8,O),N(1,0),过点N的直线与C交于A,B两点(A,B不在x轴上). (i)求证：∠NMA=∠NMB: (iⅱ)求△FAB面积的最大值. 【详解】(1)由e=2-e。 2 a V -白可得ad=260 答案第12页，共15页 由回列在后+茶=1上，则异+后=1@ 联立①②得a=2√2，b=2, 所以椭圆C的方程为号+上 8+41: (2)(1)设过点N(1,0)的直线AB的方程为x=my+1,A(:,y),B(x,), [x=my+1 由+y=1得(m+2P+2my-7=0,4>0, 84 -2m -7 所以头+y2= m2+2’y= m2+21 因直线仙.w的斜率分别为加产如产。 因为kw+k则=片。+五=伍-8+2G-8) x-8x2-8(x-8)x2-8) =my-7)+(m-)_2m4-70y+2 (x-8)(x2-8) (x-8)(x2-8) 2m.- -7-7.-2m m2+2m2+2= -14m+14m 伍-86-8)G-805-8m+2=0 则AM,BM的倾斜角互为补角，故∠NMA=∠NMB (i)因|FN=1-(-2)=3,则 S-Ny+FN=NX-为-2+为-4g 3 -2m2 283 32m2+56 =32 4m2+7 2m2+2 m2+22V(m2+2) (m2+22 令m+2-02.设a0-92-2. 12 则g0=--024.4+2<0, 所以g)在2，+o)上单调递减，则g0≤g(2)-子， 故当1=2，即m=0时，Sk取到最大值32×5_34 22 答案第13页，共15页 19.已知函数f(x)=2lnx+ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性： (2)若a=1,正实数x,x2满足f(x)++f(x)+号=4，证明：x+为2≥2： (3)设g(=e+分().若g(创20对任意的xe(0,m)恒成立，求a的取值范围。 【详解11D由怒意知了化)-子+a=“2, x, 当a≥0时，f(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增： 当a<0时，令f()>0,解得0<x<-2,令f(y)<0,解得x>-名 所以因在Q-名引}上单词递增，在（名+树上单调递减。 所以，当a≥0时，)在(@+m上单调递增：当a<0时，f八)在(0，寻)上单调递增， 在名上单调递减。 (2)(2)证明：当a=1时，f(x)=2nx+x, 令h(x)2nx+2+x,则n(x)=2+2x+1>0, 所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 又h()=2,因为f(x)+x+f(x)+号=4，所以h(x)+h(x)=4=2h(0), 若x,x都大于1，则h(x)+h()>2h()=4,不合题意， 同理x,x2都小于1也不满足， 设0<x≤1≤，，欲证x+x2≥2，即证x2≥2-x,即证h(x2)≥h(2-x), 即证4-h(x)2h(2-x),即证4≥h(2-x)+h(x). 令F(x)=h(2-x)+h(x),x∈(0，， F因-42a-[2+20-2,240 x(x-2） 所以F(x)在区间(0，]上单调递增，所以F(x)≤F()=2h()=4,则原不等式得证. 答案第14页，共15页 3》因为8（网）=e+2)8(闭=e一+血x+m, 若8()20对任意的x∈(0，+o)恒成立，则8(0=1+2a20,解得a22. 下面证明：a≥-2时符合题意. 当a2-2时，8()=e+x+m2之e+nx-, 以下证明：e+xnx-x2≥0， 令c=+nr-, x 则c()--+1-1-x-+x-_x-e-】 x2 r2 令H(x)=e-x,则H'(x)=e4-l, 令H'(x)>0,解得x>1:令H'(x)<0,解得0<x<1, 所以H(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以H(x)2H(①)=0， 所以当0<x<1时，G(x)<0,当x>1时，G(x)>0, 所以G(x)在(0，)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以G(x)≥G()=0. 综上，a的取值范围是[-2，+∞). 答案第15币什1s页