13.2与三角形有关的线段（小节作业） 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 练习围绕三角形线段核心知识，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖三边关系、高、中线等知识点，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、稳定性、高的概念|选择填空基础题（如第1-4题），直接考查概念辨析与简单应用| |提升|中线性质、周长计算、绝对值化简|填空解答中档题（如第10-17题），结合代数运算深化几何理解| |综合|分类讨论、多知识点结合|解答题综合题（如20-21题），涉及等腰三角形分类、三边关系综合推理，培养模型意识|

13.2与三角形有关的线段 班级：___________ 姓名：____________ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 一．选择题（共8小题） 1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 2．如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是（　　） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．一个三角形的三条边的长度都是整厘米数，其中两条边的长度分别是3厘米和5厘米，那么第三条边的长度有（　　）种可能． A．3 B．4 C．5 D．6 4．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的是（　　） A．B． C．D． 5．若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．3x﹣29 B．﹣3x+29 C．﹣x+19 D．x﹣19 6．如图，在△ABC中，AC边上的高是（　　） A．线段AD B．线段BE C．线段BF D．线段CF 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 8．下列说法正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 二．填空题（共9小题） 9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，则BC边上的高是　 　 ． 第9题图 第10题图 10．如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24cm，AB比AC长3cm．则△ACD的周长为 　 　 cm． 11．一个三角形的两边长分别为3和5，若周长是奇数，则第三边的长为　 　 ． 12．长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有　 　 种选法． 13．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 第13题图 第15题图 14．已知三角形的三边长分别为3，2a﹣1，8．则正整数a的值可以是 　 　 ． 15．如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　 　 ． 16．已知△ABC的三边分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝　 　 ． 17．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 18．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC周长L1比△ABD周长L2多6cm，△ABC的周长L为60cm，BD长为10cm，求AB和AC的长． 19．如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 20．若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8． （1）试确定m的取值范围； （2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长； （3）若△ABC为等腰三角形，试确定另外两边的长． 21．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 答案与解析 一．选择题（共8小题） 1．解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意； B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2．解：自行车的车架使用时不会容易变形的数学原理是三角形具有稳定性． 故选：A． 3．解：设第三条边的长度为x厘米， ∵三角形两条边长分别为3厘米和5厘米， ∴5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8， ∴符合条件的有3，4，5，6，7，共5种可能． 故选：C． 4．解：由图可得，线段BD是△ABC的高的图是D选项． 故选：D． 5．解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴5＜x＜9， ∴|x﹣5|﹣2|x﹣12| ＝x﹣5+2x﹣24 ＝3x﹣29， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 6．解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE， 故选：B． 7．解：线段CD为△ABC的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，故A选项正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC的中线， ∴， ∴∠BCE＝∠B， ∵∠B＝∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACD，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴AB＝2CE，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出AC＝AE＝CE，故无法推出2AC＝AB，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 8．解：A．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故A选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故B选项错误； C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故C选项错误； D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故D选项正确； 故选：D． 二．填空题（共9小题） 9．解：∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∴顶点A到BC边的垂线就是线段AB， ∴BC边上的高是AB． 故答案为：AB． 10．解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB比AC长3cm， ∴AC＝AB﹣3， ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝24cm， ∴△ACD周长＝AC+CD+AD＝AB+BD+AD﹣3＝24﹣3＝21（cm）． 故答案为：21． 11．解：设三角形的第三边的长为x， 由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜x＜5+3， ∴2＜x＜8， ∵三角形的周长是奇数，3+5＝8， ∴x＝3、5或7， 故答案为：3、5或7， 12．解：有两种选法， 根据题意分为四种情况：100cm，30cm，50cm；30cm，70cm，50cm；100cm，70cm，50cm；100cm，70cm，30cm； 在第一种情况中：30+50＝80＜100，不能构成三角形； 在第二种情况中：30+50＝80＞70，能构成三角形； 在第三种情况中：50+70＝120＞100，能构成三角形； 在第四种情况中：30+70＝100，不能构成三角形； 综上，从长为100cm，70cm，50cm，30cm的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 故答案为：2． 13．解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 14．解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜2a﹣1＜8+3， ∴3＜a＜6， ∴正整数a的值可以是4或5． 故答案为：4或5． 15．解：∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴以CE为底时，△AEC的高为AB，， ∵∠D＝90°，即CD⊥AD， ∴以AE为底时，△AEC的高为CD，， ∴， ∴CE•AB＝AE•CD， 把AE＝3，CE＝2，AB＝2.5，代入得： 2×2.5＝3•CD， ∴， 故答案为：． 16．解：由题意得，a+b＞c，c+a＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴原式＝a+b﹣c+（b﹣c﹣a） ＝a+b﹣c+b﹣c﹣a ＝2b﹣2c． 故答案为：2b﹣2c． 17．解：分两种情况： ①当AC＝2AB＝4时，AB＝2， 此时，AC+AB＝BC，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ②当BC＝2AB＝6时，AB＝3， 此时，AC+AB＞BC，能构成三角形，符合题意； 综上所述，边AB的长为3， 故答案为：3． 三．解答题（共4小题） 18．解：由三角形中线可知，BD＝CD， ∴L1﹣L2＝（AC+AD+CD）﹣（AB+AD+BD）＝AC﹣AB＝6， 即AC﹣AB＝6①， ∵△ABC的周长L为60cm，BD长为10cm， ∴AB+AC+2BD＝60，即AB+AC＝40②， ①+②得2AC＝46cm， 解得AC＝23cm， ②﹣①得2AB＝34cm， 解得AB＝17cm． 19．解：（1）∵AC＝10，， ∴， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8， ∵AD是BC边上的中线， ∴； （2）AC不能等于12，理由如下： ∵， ∴当AC＝12时，， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AC﹣AB＝33﹣12﹣18＝3， ∵12+3＝15＜18， ∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形， ∴AC不能等于12； （3）∵， ∴， ∴， 当AB＞BC时，AB﹣BC＜AC＜AB+BC，即， 解得AC＜11； 当BC＞AB时，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即 解得， ∴． 20．解：（1）根据三角形的三边关系得 ， 解得3＜m＜5； （2）∵△ABC的三边均为整数， ∴m＝4， ∴△ABC的周长＝m﹣2+2m+1+8＝19； （3）当m﹣2＝2m+1时， 解得m＝﹣3（不合题意，舍去）， 当m﹣2＝8时， 解得，m＝10＞5（不合题意，舍去）， 当2m+1＝8时， 解得，m， 所以若△ABC为等腰三角形，m， 则m﹣2，2m+1＝8， 所以，另外两边的长为和8． 21．解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． $