26.4 第1课时 二次函数与图形面积-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

26.4 实际问题与二次函数 @第1课时 二次函数与图形面积 1 基础在线沙知识要点分美 邻的正方形板材，当AM的长x为 m时， 截取的板材面积最小. 知识点1求二次函数的最值 7.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD 1.y=x2+5x+1,当x= 时，y有最 =4cm,点P,Q分别从点A,B同时出发， 值，为 点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速 2.二次函数y=x2-2x十m的最小值为2，则m 度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每 的值为 秒1cm的速度匀速运动，当一个点到达边的 知识点2利用二次函数解决最大高度问题 端点时，停止运动，另一点也随之停止运动，设 3.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间 运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm). t(s)的关系式是h=一2t+20t+1,若这种礼 (1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取 炮在点火升空到最高点处引爆，则最高点的高 值范围； 度为 m. (2)求△BPQ面积的最大值. 4.甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古 代兵家必争之地.如图①所示的投石机是古代 战争中的攻城首选.已知投石机投出的石块的 运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，建立平 面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度 y(m)和水平距离x(m)具有函数关系y= 100+x+5.当石块飞行高度达到最高时， 飞行的水平距离是 m. y/m x/m 图① 图② 2 能力在线沙方法规律综合练 知识点3利用二次函数解决图形面积问题 5.(杭州月考)已知一个直角三角形两直角边之 8.如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两 和为20cm,则这个直角三角形的最大面积为 条隔断EF,GH的总长为am,且隔断EF, GH分别与矩形的两条邻边平行.设BC的长 ( B.50 cm2 为xm,矩形ABCD的面积为ym,y关于x的 A.25 cm2 函数图象如图②，则下列说法正确的是() C.75 cm2 D.100 cm2 G D y/m2 6.如图，四边形ABCD是一块边 D 长为2m的正方形铁板，在边 AB上选取一点M,分别以 -XM B H AM和MB为边截取两块相 -x m- X/m 图① 图② 43探究在线九年级数学（上） A.矩形ABCD的最大面积为8m B.当x=4时，矩形ABCD的面积最大 C.a的值为12 D.以上说法均错误 9.(中考·宿迁)一块梯形木板ABCD,AD∥ BC,∠BCD=90°，AD=4,BC=10,CD=6,按 如图方式设计一个矩形桌面EFCG(点E在边 AB上).当EF= 时，矩形桌面面积最大 第9题图 第10题图 3拓展在线》塔优报尖提升然 10.(教材P55习题T5变式)如图所示，用长10m ●.。。。。。 的铝合金条制成下部为矩形、上部为半圆的 12.（中考·南通)综合与实践：学校数学兴趣小 窗框（包括窗棂）.若使此窗户的透光面积最 组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活 大，则最大透光面积为 .(用含 动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余 π的式子表示) 部分用总长为60m的栅栏围成，兴趣小组设 11.如图，将球从点O的正上方3m的点A处发 计了以下两种方案： 出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行 方案一 方案二 的水平距离x(m)满足关系式y=一名2十 如图②，围成矩形花圃，有栅 如图①，围成一 栏（栅栏宽度忽略不计）将该 bxc. 个面积为450m2 花圃分隔为两个不同矩形区 (1)若小球运动的水平距离为1m时，小球能 的矩形花圃。 域，用来种植不同花卉，并在 达到最大高度，则小球达到的最大高度为 花圃两侧各留一个宽为3m 的进出口（此处不用栅栏). m; 花圃 wuuuu 花圃 (2)若小球达到的最大高度为4m,求此时小 图① 3m1 区域1 区域2 T3m 球运动的水平距离； 图② (3)在(2)的条件下，在小球的正前方5m(OC (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； =5m)处放一个截面为长方形的球筐 (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行 CDEF,其中CD为2m,DE为1m.小明说 的边的长度为多少米？ 小球能落入筐中，请判断他的说法是否正确. 若正确，请直接写出小球落在筐底处的点的坐 标；若不正确，请说明理由.（不考虑其他因素） ◆/m C D x/m 第二十六章446.(1)图略 (2) 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 -2-5 y=x2 向上 y轴 (0,0) a=7A=-2k=-5 y=(x+2)2 向上 x=-2 (-2,0) y=(x-2)2 向上 x=2 (2,0) (2)抛物线y=2(x一2)2-5的顶点坐标为(2，一5)， 7.A8.右 4 y=-2(x+2)2 9.0≤≤y≤≤8 :点(2，一5)关于x轴的对称点为(2,5)，沿x轴翻折后所 能力在线 得新抛物线的形状不变，开口方向与原抛物线相反， 10.C11.1(答案不唯一)12.613.3 “所得抛物线的函数解析式为y=一专红一2)+5。 14.(1)由题意，点A(1,0). 当x=0时，y=2×(0-1)2=2, 8.y=5(x-1)2-1 .点B(0,2). 能力在线 (2)设点P的坐标为(xp,y)(x>0,ym>0), 9.A10.D11.>12.3 'y=2(x-1), 13.(1)抛物线C的对称轴为x=6,y的最大值为4. .抛物线的对称轴为x=1. 将P(m,3)代入y=-(x-6)2+4,得 ·点C为点B关于对称轴对称的点，点B(0,2), 3=-(m-6)2十4，解得m1=5,m2=7. .点C(2,2)..BC=2 ,点P在抛物线C的对称轴的右侧， .m>6.∴.m=7. :Sam=8,合BCX1,-2=8 (2)平移后的抛物线的解析式为y=一(x一3)2， .平移后抛物线的顶点坐标为(3,0). 即2×2×y,-21=8,解得y=10或y=-6(舍去). 平移前抛物线的顶点坐标为(6,4) ·点P在抛物线上，将y=10代人抛物线y= ,胶片的平移过程为先向左平移3个单位长度，再向下 2(x-1)2,得 平移4个单位长度 2(x-1)2=10,解得x=1±√5， 点P移动的最短路程为√32+4=5. 点P在第一象限内，∴.x=1十√5， 拓展在线 ∴.点P的坐标为(1十√5,10) 14.y=3 拓展在线 (2)由题意，得点P1的纵坐标为5或-5，则抛物线沿着 15.(1)对于y=一x-2,当x=0时，y=一2；当y=0时，x 直线向上平移了1个单位长度或向下平移了9个单位长 -2, 度，即点O的纵坐标为1或-9. .B(0,-2),A(-2,0) 抛物线的顶点为A(一2,0)， 将y=1代人y=子，得x=3: ∴y=a(x十2)2.又抛物线经过点B(0,-2), 1 .-2=4a,解得a=一2 1 将y=-9代入y=3x,得x=-27, 则点0的坐标为(3,1)或(-27，-9). ∴抛物线对应的函数解析式为)y=一合(x十2只。 故平移后二次函数图象所对应的函数解析式为y=(x一 3)2+1或y=(x+27)2-9. (2:点c(m,-号)在抛物线y=-含x+2上， 26.2.3二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 基础在线 -(m+22=-号，解得m=1,m=-5 1z-6+3 (2)-2-4 ∴.m的值为1或-5. 1 (3)如图，设点B关于对称轴的对 2.A3.x=-2 4.A5.D6.C 称点为B',连接OB,OB与对称 7.(1)画函数图象如图所示. 轴的交点即为点P. (2)①-4≤y<12②h≤-1 点B的坐标为(0，一2)，对称轴 ③y<y2<ys 是x=一2， 8.C9.B ∴B(-4,-2),则直线OB的函 能力在线 数解折式为y=子之 10.B11.D12.(-5,0) x=-2, 联立 1解得/x=-2, 18.1或子 y=2x, y=-1. 14.(1)①(-1,2)②2 故点P的坐标为（一2，一1）. (2)证明：二次函数y=一x2+2mx十1=一(x一m)2+m+1, 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 则顶点坐标为(m,m2+1), 基础在线 将x=m代人y=x2+1,得y=m2+1, 1.D2.B3.C 因此，不论m为何值，该函数图象的顶点始终在二次函 4.(1)上(1,2)x=1(2)12(3)减小(4)2≤y≤20 数y=x2+1上. 5.C6.A (3)m≤1 15.(1)由A(1,0),B(一2，一3)易求得该抛物线的解析式为 7.(1)由题意知，抛物线y=合(x十1)2-1向下平移4个单 y=x2+2x-3=(x+1)2-4. 位长度，再向右平移3个单位长度，可得y=a(x十h)2+k, 顶点P的坐标为(-1，一4). “抛物线y=a(x+h)2+k为y=2(x+1-3)2-1-4= (2)令x=0,则y=-3,即C(0,-3), 由A(1,0)易求直线AC:y=3x-3. 20 一探究在线·九 MB∥AC,且直线MB经过点B(一2，一3)， (2)由(1)知，顶点P的坐标为(2,4). 设直线MB的解析式为y=3x十b2, 易求C(2,0),.PC⊥x轴，PC=4,OC=2. 则一3=3×（一2）十b2,解得b2=3, 直线MB:y=3x十3. 令y=-子(x-2)+4=0,解得4=-2,4=6， ,点M是点A向上平移m个单位长度所得， ∴.A(-2,0),.OA=2,由(1)知，OD=3, .点M的横坐标为1，代入直线MB的解析式，得M(1,6). S8AD=S60D十S0彩ePD=合X2X3十号X(3十 .m=6 拓展在线 4)×2=10. 16.(2,-6) 26.3二次函数与一元二次方程 微专题3求二次函数解析式 第1课时二次函数与一元二次方程(1) 1.D2.C3.D4.C5.y=-2x2+4x+66.3 基础在线 7.(1)y=-(x-4)2(或y=-x2+8.x-16) 1.C2.C3.m<-24.D5.C (2)y=(x-1)2-2(或y=x2-2x-1) 能力在线 (3)y=-(x十1)2+2（或y=-x2-2x+1) 6.B7.B 8.(1):抛物线y=a(x一h)2十k的顶点与抛物线 拓展在线 1 y=一(x-2)2+1的顶点相同， 8.40y=-02++0 .h=2,k=1.y=a(x-2)2+1. :对于y=3x-13,当x=3时，y=3×3-13=-4, (2)(5+4W2)m .A(3,-4). (3)令-x2十x+品0-1.6，解得x=1或x=9, 将A(3,-4)代人y=a(x-2)2+1,得a×(3一2)2+1= ∴.她与小江的水平距离为3一1=2(m)或9一3=6(m) 一4，解得a=一5， 第2课时二次函数与一元二次方程(2) .这条抛物线的函数解析式为y=一5(x一2)2+1. 基础在线 (2)所得抛物线的函数解析式为y=一5(x一6)2-1. 1.C2.B3.A 阶段测评2(26.1~26.2) 能力在线 1.C2.A3.B4.C5.A6.D7.C 4.D 8=2z+1-39.310.四1.512. 5.11,)2)7 (3)-1≤x≤2 13.(1)由题意，得2m-1>0,m>2 1 (4)x<-1或x>1(6M≤号 (2)由题意，得m-2<0,m<2. 6.(1)y=(x-2)2-10 (3)由题意，得m十1|=2， (2)如表、如图 .m=1或-3. —2 02 46… (4)由题意，得m2十m=2且m<0, .m=-2. -6-10-66.. 14.(1)-1y=(x-2)2-1 (2)抛物线的图象如图所示。 -3-2-102345x (3)-10≤y<6(4)-1.2或5.2 拓展在线 3 7.A (3)①n≤2②y=-(x-2)2+1 微专题4二次函数的图象与字母系数之间的关系 15.(1)二次函数的解析式为y=子2. 1.D2.B3.C4.D5.②③④6.②③④ 26.4实际问题与二次函数 （2)将y=1代人y=子2，解得五=2，=-2， 第1课时二次函数与图形面积 ∴.点M,N的坐标分别为(-2,1)，(2,1) 基础在线 .MN=2-(-2)=4,FM=FN=2. 1.-号小-号2.33.514505B6.1 :△PMN是等边三角形， ∴.易得点P在y轴上，且PM=4. 7.(1)SAmro-PB.BQ,PB=AB-AP-18-2z,BQ-z, MN∥x轴，∴∠PFM=90°..PF=√4-2=2√5. 点F的坐标为(0,1)， ∴y=218-2a0z, .点P的坐标为(0,1十23)或(0,1-23). 即y=-x2+9x(0<x≤4). 16.(1由题意易得D0,3),代人y=-子(x一2)+，得 (2②)由1知y=-2+9zy=-(-2）+头 子×0-22+及=3，解得及=4. :当0<x≤号时，y随x的增大面增大， “抛物线表示的函数解析式为y=-子（红一2）+4. 而0<x≤4， .当x=4时，y有最大值20， 年级数学（上）一 即△BPQ面积的最大值是20cm2. 解得x1=10或x2=20, 能力在线 要使顾客优惠程度更大，应降价力度更大，故应降价20元. 8.C9.5 10. (2）m (3)由(2)，得每天的利润w=-20x2+600x十8000= -20(.x-15)2+12500, 11.(1)13 故w的最大值为12500元，即不可能达到12800元. 拓展在线 (2)A(0,3),c=3, 9.(1)当45≤x≤90时，y=(160-2x)(70-20)=-100x+8000. y=- 4x2+bx+3, (2)当1≤x<45时， y=(160-2x)(x+30-20)=-2x2+140x+1600= ,小球达到的最大高度为4m, -2(x-35)2+4050, 4x(-日)×3-6 .当x=35时，y最大=4050. =4,解得b1=1或b2=一1（舍去）. 当45≤x≤90时，y=一100x+8000,y随x的增大而减小， 4x(-) 当x=45时，y大=3500， 6 综上所述，该商品第35天时，当天销售利润最大，最大利 =2 2x(-) 2x(-日) 润是4050元. (3)在销售的前45天内，∴.1≤x<45. 答：小球达到的最大高度为4m时，小球运动的水平距离 根据题意，得y=(160-2x)(x十30-20-a)=一2x2十 为2m. (140+2a)x+1600-160a, (3)小明的说法正确， 函数的对称辅x=-140+24-35+, 由(2)，得y=一r+x+3, -4 令y=0,即0=-2+x十3，解得=6或=一2（舍去， ∴当x=35+号时，y大=3872. .OC=5,CD=2,.OD=7. -2(35+号）'+(140+2a)(35+号）+1600-160a “5<6<7,且当=5时y=子>1， =3872.解得a=2或178 ∴.小球落在筐底处的点的坐标为(6,0) 1≤x<45,1≤35+号a<45.-68<a<20. 拓展在线 a>0,.0<a<20.∴a=178舍去.a=2. 12.(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则与墙平行的边的长 第3课时抛物线形问题 度为(60-2x)m,根据题意，得 基础在线 x(60-2x)=450,解得x1=x2=15 1.C2.y=-g(x+62+4 答：与墙垂直的边的长度为15m. (2)设与墙平行的边的长度为tm,花圃的面积为Sm, 3.(1)由题意，得大孔抛物线的顶点坐标M(0,8), 根据题意，得 A(-90）,B(2o）,即A(-10,0,B10,0, S=34(6-0=-30+24=-号（：-3)2+363. 设大孔抛物线的解析式为y=ax2+8(a≠0)， :-号<0，当1=3时，S有0最大值363. 将点B(10,0)代入，得100a十8=0，解得a=- 25 答：当与墙平行的边的长度为33m时，花圃的面积最大 所以大孔抛物线的解析式为y=一云2+8(-10<≤10。 第2课时二次函数与商品利润 基础在线 (2)该巡逻船能安全通过大孔.理由如下： 1.D2.250 由(1)得大孔抛物线的解析式为y= 25x2+8(-10≤x 3.(1)由题意，设y=kx十b, ≤10)， 图象过(130,50)，(150,30)， …+8 将x=号=4代入，得y=一号×华+8=672， 因为2+4=6<6.72， ∴.k=-1,b=180..y=-x+180. 所以该巡逻船能安全通过大孔. (2)由(1)，得销售量y=-x+180, 4.D5.8 ,每件的利润为(x一100)元， 6.(1)如图所示，以O为原 y(m)4 ∴.w=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000= 点，OA为x轴，建立平面 -(x-140)2+1600. 直角坐标系， a=-1<0,.当x=140时，w=1600为最大值 .8-6=2, ∴售价定为140元时，才能使每天的利润0最大，最大利 抛物线顶点坐标为(2， 润为1600元 3),经过点A(8,0) 4.B5.D 设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3, 能力在线 6.D7.(60+x) 将点A(8,0)代入，得a×(8-2)2+3=0,解得a=一12' 8.(1)(200+20x) (2)由题意，得每天的利润w=(200十20x)(40一x)= ·该抛物线对应的函数解析式为y=一2(x-2)2十3. -20x2+600x+8000, (答案不唯一) 要使该模型平均每天销售利润达12000元，则得方程 -20x2+600x+8000=12000, (2)由题意，得当x=0时，y=一 ×0-2)+3=8 一探究在线·九 2.44, 和为4一0=4. 小罗此次射门不能射人球门内. 能力在线 ∴Sac=×4MQ-2(-2m2+2m）=-(m-2)2+4. 7.C ∴.当m=2时，△MBC的面积最大，最大值为4， 8.1)由题意，得顶点坐标为（受，8），即(6,8）， 此时-名m+m+4=-号×2+2+4=4， 设抛物线的解析式为y=a(x一6)2+8(a≠0)， ∴.△MBC面积的最大值为4，此时点M的坐标为(2,4). 将点(12,0)代入，得aX(12-6+8=0,解得a=-号， 微专题6二次函数中的存在性问题 1.(1)y=-x2-2x+3 抛物线的解析式为y=-号(z-6+8(0≤≤12). (2)存在.设点M(a,b),由题意可知，△ABC中，底AB= (2)能安全通过.理由如下： 4,商0C=3号50=10. 如图，由题意，得4=号-号-3=2， 在△ABM中，以AB=4为底，则高为|b, 将x=2代人y=-号(x一6)+8，得y-想， SAam=4XDl=号Sac=10, M点在x轴的下方，∴.b<0..b=-5. 智-35-贵>0,5能安全通过 点M在抛物线上，所以满足抛物线解析式.代入，得 a2-2a十3=一5，解得a=-4或a=2, 拓展在线 .M点的坐标为（一4，一5）或(2，一5). 9.2 微专题5二次函数与图形最值问题 2.(1)将B(1,0),C(2,5)代入y=a.x2十bx-3(a≠0)，得抛 物线的解析式为y=x2十2x一3. 1.(1)对于二次函数y=一x2一2x十3，当y=0时，一x2-2x十3 (2)①令y=0,则x2十2x-3=0, =0,解得x1=一3，x2=1, 解得x=-3或x=1, .A(-3,0),B(1,0) 点A的坐标为(-3,0). 当x=0时，y=3,∴.C(0,3). ②-3<x<1 :二次函数y=x2十bx十c的图象（记为G2)经过点A,C, (3)存在.设点P的坐标为(0，a), :(9-36十c=0,解得6=4：b=4,c=3. A(-3,0),C(2,5), c=3, c=3. ∴.AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+ (2),b=4,c=3, (a-0)2=9+a2,Cp2=(0-2)2+(a-5)2=a2-10a+29. .二次函数y=x2+bx十c的解析式为y=x2+4x+3. △ACP是以AC为直角边的直角三角形， ,直线x=t与x轴垂直， .分以下两种情况讨论： .M(t,--2t+3),N(t,2+4t+3). 若AP为斜边，则AP2=AC心+CP, ∴.MN=yM-yw=-t-2t+3-(t+4t+3)=-2t-6t .9+a2=50十a2-10a+29.解得a=7,.P1(0,7). 312 =-2(+)°+号(-3<<0. 若CP为斜边，则CP2=AC+AP2, .a2-10a十29=50+9十a2.解得a=-3,.P2(0,-3). :-2<0,当=-号时，MN取得最大值为号 综上所述，存在符合条件的P点，P1(0,7),P2(0,一3 2.(1)由A(一2,0)及对称轴x=1易得B(4,0). 3.(1)在二次函数y=一x2+2x十3中，令y=0,得 将点A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx十4，得 -x2+2x+3=0, 解得x1=一1，x2=3, a=- 2,6=1, ∴.A(-1,0),B(3,0) .AB=3-(-1)|=4 ∴函数解析式为y=一x十x十4， (2)如图，连接CD,OD,BD, (2)把x=0代入y=-7x+x+4,得y=4,C0,4). 1 由y=-x2+2x十3=-(x2-2x)+3 =一(x-1)2十4，得顶点D(1,4). 如图，连接BC,交直线x=1于点P,连 令x=0,得y=3,即C(0,3). 接PA, ∴.△BCD的面积=S△aDD十S△oD 由轴对称的性质可得PA=PB， 由两点之间线段最短可知， S6m=2×1×3+号X3X4-号×3X3=3. (PA十PC)最小=PB十PC=BC,此时点 (3)存在点M使得以A,B,C,M为顶点的四边形是平行四 P即为所求. 边形，满足条件的点M的坐标为(-4,3)，(4,3)，(2，-3). 由B(4,0),C(0,4)易求直线BC的解析式为y=-x+4. 4.(1)-2-3 点P在对称轴x=1上， (2)存在点P,使四边形POP'C为菱 点P的横坐标为1. 将x=1代入函数y=一x+4,得y=一1十4=3， 形，点P的坐标为(2+严，-) .点P的坐标为(1,3). 理由如下： (3)如图，过点M作MN⊥x轴于点N,交BC于点Q, 由△POC沿CO翻折，得到四边形 设M(m,-2m+m十4)0<m<4),则Q(m,-m+4), POP'C, 得PP'⊥CO,垂足为E,则PE=EP',PP∥x轴 六MQ=-2m+m十4-(-m+4)=- 2m2+2m. 四边形POPC为菱形，C(0,-3), B(4,0),C(0,4), 0E=EC.E(0,-号) ∴.△CMQ的MQ边上的高与△BMQ的MQ边上的高之 年级数学（上）一 21