广东深圳市桃源居中澳实验学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 聚焦全国联考核心考点，通过基础巩固与综合应用梯度设计，检测数学抽象、运算推理及模型构建能力，适配高三开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/60|集合、复数、函数性质、向量运算等|基础概念辨析，如集合运算、复数求解，体现数学抽象与运算能力| |填空题|5/30|向量坐标运算、导数定义、二项式定理等|知识综合应用，如导数关系式求导数值，考查数学思维严谨性| |解答题|4/60|数列通项与求和、解三角形多问递进、椭圆方程与中点问题、导数综合证明|多问分层设计，如解三角形结合三等分点与面积取值范围，检测模型构建与逻辑推理，呼应联考对综合能力的要求|

答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年度第一学期 中澳国高港澳台高三开学考试 数学试卷 考试范围：全国联考范围；考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题6分，共60分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，复数z满足：z(1-i)=4-3i，则z=（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，的夹角为，，，则 A．4 B．2 C． D． 5．以下关于函数的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则（    ） A． B． C．8 D．2 7．同时抛掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 10．在，，，四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题） 二、填空题（每小题6分，共30分） 11．已知向量，，则_______________. 12．已知函数的导函数为，且满足关系式，则______. 13．已知的展开式中所有项的系数和为32，则______． 14．已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的表面积为，则该圆锥的体积为______. 15．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 三、解答题（每小题15分，共60分） 16．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 17．在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程与焦距； (2)若直线与椭圆交于两点，记线段AB的中点为，证明：． 19．已知曲线在处的切线过点. (1)试求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. $ 《2026-2027学年高三第一学期开学考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D A C B D B 1．A 解：∵，，∴.故选：A. 2．A 解：由题意可得：． 故选：A 3．C 【分析】先根据指数函数的单调性判断与1的大小关系，再由对数函数的单调性判断与0的大小关系，最后判断与0和1的大小关系即可求解. 解：因为，，，所以， 故选：C. 4．B 【分析】将两边平方，利用向量数量积的运算求解得出数值，然后开方得到结果. 解：依题意.故选B. 5．D 【解析】利用特殊值法可判断ABC选项的正误，利用指数幂的运算性质可判断D选项的正误. 解：对于A选项，取，则，， 此时，A选项错误； 对于B选项，取，则，， 此时，B选项错误； 对于C选项，取，则，， 此时，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确. 故选：D. 6．A 【分析】根据自变量的取值直接代入求解即可. 解：因为函数，则.故选：A． 7． C 【分析】求出抛掷两颗骰子的试验基本事件总数，再列举出所求概率的事件，利用古典概率公式求解作答. 解：依题意，同时抛掷两颗质地均匀的骰子的试验，基本事件有：36种 ， ， ，共36种， 两颗骰子出现的点数之和为4的事件包含的基本事件有：，共3个， 所以两颗骰子出现的点数之和为4的概率是．故选：C 8．B 【解析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 解：， 所以，故选：B 9．D 【分析】先判断双曲线的焦点位置，由渐近线方程得到，再求离心率即可. 解：因双曲线 的焦点在轴上，由其渐近线方程，可得， 则双曲线的离心率为. 故选：D. 10．B 解：满足为上凸函数，如图： 分别考虑四个函数在上的图象， 可知在四个函数中，只有在上是上凸函数，故选：B． 【点睛】主要考查函数图象的判断，结合上凸函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 11． 【分析】根据向量，，利用数量积的坐标运算，先求得，再代入公式求解. 解：因为向量，，所以， 所以，故答案为： 12． 解：由题得 所以. 故答案为： 13．3 解 令可得，解得， 故答案为：3 14． 解：设圆锥母线长为，底面圆半径长， 因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为， 所以，即，因为表面积是侧面积与底面积的和， 所以，所以，则圆锥的高， 所以. 故答案为： 15． 【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系得，再结合可求得离心率. 解: 如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ，，化简得，， 由，解得，，即. 故答案为：. 16．(1). (2) 略 证明：由（1）可得为正整数， 所以. 【分析】（1）由已知列方程求出公差，可得数列通项； （2）裂项相消法求和得出，由结果证明不等式. 【解】（1）设等差数列的公差为. 由题可得，，解得， 所以. （2）证明：由（1）可得为正整数， 所以 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将等式化简，结合和差倍角的正弦公式即可求得. （2）先用基底向量将表示出，然后两边进行平方，并利用向量数量积的定义求出，最后根据三角形面积公式求出面积. （3）利用正弦定理求出的表达式，然后根据锐角三角形的角的范围求出结果即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）由正弦定理可得，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，· 所以，所以， 所以，所以的取值范围. 18．(1)椭圆的标准方程为，焦距为； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知可得，再由离心率求出a及半焦距c作答. （2）联立直线l与椭圆C的方程，利用韦达定理结合平面向量数量积计算得，再利用直角三角形性质推理作答. 【详解】（1）因为椭圆经过点，且离心率为，则， ，解得，半焦距， 所以椭圆C的标准方程为，焦距为. （2）由得，设， 则有，而， 因此 ， 于是得，即，而M为直角三角形ABN斜边AB的中点，则， 所以. 19．(1)0；(2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (3)略 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，再代入计算即得. （2）求出函数的导数，再分类讨论求出单调区间. （3）由（2）求出函数的最小值，利用分析法，构造函数并利用导数证明不等式. 【解】 （1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为，即， 依题意，，所以则. （2）由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）得， 要证明，即证，即证， 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即恒成立， 所以当时，. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $