广东深圳市2026-2027学年高三上学期开学考预测练习卷数学试题

**基本信息** 广东深圳2027届高三开学考数学预测卷，以集合、向量、概率等核心知识为载体，通过细胞分裂概率、“起源数列”新定义等创新题型，梯度考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配高三开学复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、向量数量积、充要条件判断|单选基础巩固（如第1-5题），多选综合辨析（如第10题次品概率）| |填空题|3题15分|不等式恒成立、格点最短路线、抛物线对称点|第13题结合几何直观考查计数原理，体现数学眼光| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何二面角、双曲线、概率应用、新定义数列|第18题细胞分裂概率模型（数学思维），第19题“起源数列”创新定义（逻辑推理），贴合高考命题趋势|

广东深圳市2027届高三上学期开学考预测练习卷数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题5分）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知向量，满足，，则（   ） A． B． C．0 D．1 3．（本题5分）“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 5．（本题5分）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）若实数是方程在区间上不同的两根，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）设定义在上的偶函数满足对任意，都有，且当时，．若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，满足，上有一点，上有一点，有，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（本题6分）已知复数，其共轭复数分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则（为虚数单位） D．若，其中，则 10．（本题6分）某工厂生产的12件产品中有可能混入了至多3个次品，且次品数量不确定．记事件共有件次品，．已知，，．现对12件产品进行逐一检测，事件前10件产品检测出都是正品，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（本题6分）已知方程所表示的曲线即为函数的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数不存在零点 D．曲线上第一象限内的点到直线与的距离之积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（本题5分）若关于的不等式在上恒成立，则__________． 13．（本题5分）先从A点走到点，再从点走到点，则可供选择的最短路线有___________条．（走格点） 14．（本题5分）已知在抛物线： 上存在两个不同的点，关于直线：对称，则的最大值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）在中，角的对边分别是，且满足. (1)求角； (2)设为边上的点，平分，且，若与的面积比，求的长. 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，在线段上，且． (1)若平面，求的值； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 17．（本题15分）已知双曲线（，）经过点且其离心率为2，点为双曲线上一动点，过点的直线与双曲线的两条渐近线交于点，（，在轴同侧）． (1)求双曲线的方程； (2)证明点到两条渐近线的距离之积为定值，并求出该值； (3)求（为坐标原点）面积的最小值． 18．（本题17分）有一种不断分裂的细胞，在每个时间周期内可能发生以下情况，有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞．每个细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞的分裂相互独立．设有一个初始的细胞，在第一个周期内开始分裂，记个周期结束后，细胞的数量为． (1)若，求的分布列和数学期望； (2)若，求的取值范围； (3)若该细胞在分裂过程中灭绝的概率不超过，求的最大值． 19．（本题17分）定义：已知函数，若数列满足：对任意的，均有，则为函数的一个“起源数列”． (1)若已知，求的一个“起源数列”的通项公式． (2)若已知，数列为的“起源数列”，证明：对任意的，均为数列中的一项． (3)若已知，数列，分别为的两个“起源数列”()，且对任意的，，． （i）证明：； （ii）当时，比较与的大小，并证明你的结论． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【详解】因为，所以，所以，所以， ，所以，则，，且， 所以， 2．B 【详解】由，，两式相加得，所以， 所以，所以. 3．A 【详解】由得，即，，解得或， 由，得或， 因为或是或的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 4．C 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 5．D 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 6．A 【详解】， 故， 因为，所以， 其中，故，即， 则 . 故选：A 7．A 【详解】因为函数是偶函数，所以，即是以2为周期的周期函数， 因为对任意，都有，所以函数的图象关于直线对称， 当时，，即函数在上单调递增， 又，，，且， 所以，所以． 故选：A． 8．B 【详解】如图，以点为原点，、、分别作为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 由于点在侧棱上，满足，所以，解得，所以， 由于点在上，不妨设，即，解得， 同理，点在上，设，解得， 则， 由于，，则， 化简得，解得， 因此 ，所以，故B正确. 9．AB 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，故，故B正确； 因为，则，则，故C错误； 由，因为，则，故D错误． 10．ACD 【详解】因为，，即，解得，A正确； 事件共有件次品，即件正品，故，B错误； ，， ， ， ，C正确； ，D正确. 11．ACD 【详解】首先拆解曲线方程： 当，（第一象限）时：，，方程化为，即； 当，（第四象限）时：，，方程化为，即； 当，（第二象限）时，，，方程化为，即，无实数解，不存在对应曲线； 当，（第三象限）时，，，方程化为，即. 作出图象： 对于A：由图可知，三段图象全部随增大增大，在全体实数域单调递增，A 正确. 对于B：将中的替换成，替换成，得与不相同， 故的图象不关于直线对称，故B错误. 对于C：直线为双曲线与双曲线的一条公共的渐近线， 且直线与曲线无公共点， 则直线与函数的图象没有公共点，则函数不存在零点，C正确. 对于D：设曲线上第一象限内的点为，则，即， 所以点到直线的距离， 点到直线的距离， 所以，故D正确. 12． 【详解】不等式在上恒成立等价于且， 当时，解得， 若，即，所以， 当时，解得， 若，即，所以， 综上. 13．18 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 从到的最短路径，总要向右走2个单位，向上走2个单位，共走4个单位长度，有种走法， 从点走到点最短路线，总要向右走2个单位，向上走1个单位，共走3个单位长度，有种走法． 所以先从点走到点，再从点走到点，根据乘法原理，可供选择的最短路线共有种走法. 14． 【详解】由题意知，，则. 设直线：，，，中点. 联立，整理得. ， 因为，所以①. 所以，，所以. 因为中点在上， 则，即，所以. 又在上，则， 所以，整理得②. 将②代入①中，得，整理得，解得. . 因为在内，所以当时，取得最大值， 此时. 15．【详解】（1）由题设及正弦定理边角关系可得：， 则， 而，且，则. （2） 因为平分，∴， 又因为，且 所以 则，即 ① 由 ，得 所以，代入①式得 由于 ，故解得. 16【详解】（1）取的中点为． 因为是以为斜边的等腰直角三角形，且，所以，且． 又因为平面平面，平面平面，平面，且，所以平面． 由，且三点共线，得； 又因为平面，所以． 因此、与过点且平行于的直线两两垂直． 以为坐标原点，以所在方向为轴正方向，以平行于的方向为轴正方向， 以所在方向为轴正方向，建立空间直角坐标系． 由，，，， 可得 因为在线段上，且，所以，且因此 于是 设平面的一个法向量为． 因为，，所以，． 取，则，，则． 因为平面，所以，即，解得． （2）由（1）可知，当时，平面的一个法向量可取． 由所建空间直角坐标系可知，平面为坐标平面，所以可取平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角为． 因为，，的模为，且两个平面的法向量夹角的锐角等于两平面所成的锐二面角， 所以． 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 17．【详解】（1）由题知，，故，结合，得：，将点代入双曲线方程得：，解得，，所以双曲线的方程为； (2)证明：双曲线的渐近线方程为：，点到两条渐近线的距离分别为：，，则，因在双曲线上，所以，代入解得为定值；定值为 （3）设过点的直线方程为，联立直线与渐近线的方程得：，，，因为在轴同侧，所以，而，又因为，所以 原点到直线的距离，则， 又利用与，得： 因此， 所以面积最小值为. 18.【详解】（1）若，则在每个时间周期内，细胞消失的概率为，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个细胞， 第一个周期结束后，的概率为，的概率为， 所以的值可能为， 所以，， ，， 所以的分布列为： 数学期望为； （2） ， 令， 则，所以单调递减， 所以，所以， 所以的取值范围为； （3）设一个细胞最终灭绝的概率为，则两个细胞最终灭绝的概率为， 则，整理得， 解得或， 由于灭绝概率不超过，故舍去，仅需考虑的情况， 由题可知，解得，即的最大值为. 19．【详解】（1）由 “起源数列” 的定义得，即， 两边取自然对数，可得. (2)证明： 因为与均为上的增函数，故在上单调递增. 由定义知，对任意成立，且方程的解唯一. 任取，记.由于为正整数，为正整数，则也为正整数，于是. 结合单调递增，函数值相等则自变量相等，得，即存在正整数，使得，因此是数列中的一项. (3)（i）证明： 由起源数列定义得，且. ①证：由，两边取自然对数，得. ②证：令，，，故在上单调递增. 当时， ，由单调性得 . 因此，两边取对数得. 综上得证. （ii）当时，. 证明： 由题意因为，令，则， 代入第二个等式得，于是有. 构造函数， 求导得， 故在单调递增， 又，因此当时，，即. 假设.记，，则在单调递增. 由，得，即. 结合，得，即. 当时，，此时，矛盾，故假设不成立，因此，即. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $