广东省深圳市2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷

**基本信息** 融合文化传承（如蚊香几何画法）与科技情境（如AI绘画质量评估），梯度覆盖函数、几何、概率等高三核心知识，适配开学起点检测，体现数学眼光与思维的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、三角函数、数列、函数性质、立体几何|第6题以传统蚊香为背景，结合等边三角形与圆弧长度考查数列求和，体现数学观察现实世界的能力| |填空题|3题/15分|二项式定理、向量、双曲线|第14题以等腰直角三角形在双曲线上的位置关系，考查解析几何与最值问题，培养数学建模意识| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数|第17题以AI绘画软件评估为情境，设计概率分布与条件期望问题，强化数学思维的逻辑性与数据应用能力；第19题导数题多问递进，考查函数单调性、零点与极值点关系，契合高考命题趋势|

2026-2027学年广东省深圳市高三上学期开学考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集 是小于的正整数，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复数运算法则先计算出后利用复数模长公式计算即可得. 【详解】由，则，即， 则，故，故. 3．已知中，假如，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 所以． 4．已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用等差数列重要性质：，，成等差数列， 则，所以， 所以．故C正确． 5．已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可. 【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 则第段圆弧的半径为，弧长记为，则， 所以. 故选：D． 7．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 8．已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线方程的定义及性质，结合向量夹角的余弦公式构造方程，利用韦达定理结合三角函数公式求解． 【详解】抛物线方程为， 其焦点，准线为， 为抛物线上的点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为， 设，则，， ， ， ， ， ，， ，化简整理得， 设过焦点的直线为，联立抛物线得：， 由韦达定理得， ，即， 设直线的倾斜角为，则， ， ，解得， ，解得，则，故B正确．    故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线MN与直线所成角为 B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质定理可得可判断A正确；由平行的传递性可判断B不正确；先证明，由线面平行的性质定理可判断C正确；由锥体的体积公式可判断D正确. 【详解】对于A，因为平面， 因为平面，所以， 所以直线MN与直线所成角为，故A正确； 对于B，因为相交，而，所以不平行，故B错误； 对于C，连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以直线平面，故C正确；    对于D，由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故D正确； 故选：ACD. 10．已知直线与圆交于两点，则（   ） A．恒过定点 B．不存在最小值 C．不存在最大值 D．面积的最大值为2 【答案】ACD 【分析】令，即可得直线的定点，进而判断A，设定点为，当直线与垂直时，即可求的最值，即可判断B，求圆心到直线的距离，进而得，即可判断C，由，得的面积为，即可判断D. 【详解】令，，所以直线恒过定点，故A正确； 设定点为，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大值为， 所以，故B错误， 由圆心到直线的距离为，因为，所以， 所以弦长，所以，所以无最大值，故C正确； 由，所以的面积为， 当时，即时，，故D正确， 故选：ACD. 11．在数列中，，则下列结论成立的是（   ） A．数列是等比数列 B．当时，数列的前项和小于1 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【分析】根据等比数列的定义判断A选项；根据裂项相消判断B选项；根据放缩判断C选项；利用换元法通过计算判断D选项. 【详解】 对于A选项，当时可得，所以，此时不是等比数列， 当，时因为，所以， 两式相除，得，此时是以为公比的等比数列，故A错误； 对于B选项，当时，， 故，，， 所以， 所以数列的前项之和为 ，故B正确； 对于C选项，当时记， 则， 则， 所以，故C错误； 对于D选项， 令，原式可化为 ， 所以，，，， 故原式, 即，故D正确． 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为_____________. 【答案】240 【分析】写出通项公式，令的指数为，得到，从而常数项为. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，， 故答案为：240. 13．已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为______. 【答案】6 【分析】根据三点共线和为的重心，可得，进而可得， 的最小值可利用基本不等式可得. 【详解】 因为点为的重心，所以 ，则. 因为三点共线， ， 所以 ， ，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6. 14．在平面直角坐标系中，点A，B，C在双曲线上，满足为等腰直角三角形，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】通过设点和向量表示等腰直角三角形顶点坐标，结合点在双曲线上的约束条件将面积转化为单变量函数，进而求解最小值. 【详解】法一：不妨设等腰直角的直角顶点为，设，由且，得，故，. ∵ 点在双曲线上，即满足， ∴ 对点：  --- (1) 对点：，展开并代入(1)整理得：  --- (2) 对点：，展开并代入(1)整理得：  --- (3) 将(2)+(3)，得，整理得，即. 将代入(2)， 化简可得. 三角形面积，代入的表达式，得. 令，由(1)得，即，故. 代入面积表达式得. 对求导得：. 令，结合得. ∵ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴ 时，取得最小值，. 法二：∵ 原双曲线方程为，为等轴双曲线，将坐标系顺时针旋转， 变换公式为，代入双曲线方程整理得. 旋转变换为正交变换，保持角度、长度、面积不变，故仅需在新坐标系下求解最小值. 设，则， ∴ 设等腰直角三角形的直角顶点为， ∴另外两个顶点为、. ∵ 均在双曲线上， ∴ ，展开得 ① 同理，展开得 ② 将①+②整理得③. 由①、②相乘，并利用③， 所以由基本不等式得 故 以下取一组满足条件的实数，使得（进而由可确定一个满足条件的，使得）． 考虑的取等条件，有，即． 不妨要求，结合，得 由①知，故由③得，其中，从而有 综上，的面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，求边上的高长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和把角转换成角，，再由两角和差公式展开化简即可. （2）先根据余弦定理和基本不等式得到的最小值，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）∵，， ，∴， 化简得， 即， 即，在锐角中，， 即，∴，又即， ∴，即,∴. （2）由余弦定理得， 又，∴， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为9，此时，是等边三角形，且， 又∵，∴ 即，又，∴. ∵函数在上单调递减， ∴当时. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1)取的中点，连接.因为点为棱的中点， 所以，且，又因为，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. (2) (3)在棱上存在点，满足，此时 【分析】（1）取的中点，构造平行四边形，从而得到，最后利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再利用向量法求出直线的方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值， 即为线面角的正弦值； （3）设比例参数，写出，利用垂直向量数量积为0建立方程求出，且在范围内，说明该点存在. 【详解】（1）略 （2）依题意，以点为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为点为棱的中点，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 不妨设，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）假设在棱上存在点，满足， 设，则， 因为， 故， 由，得，解得，满足， 所以在棱上存在点，满足，此时. 17．（15分） 某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． (1)求一幅图像最终成为优质图像的概率； (2)设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； (3)在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 【答案】(1) (2)分布列如下． 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）一幅图像最终成为优质图像有两种情况：第一次和第二次评估都通过；第一次评估通过，第二次评估未通过，但人工微调后成为优质图像．分别计算这两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解． （2）已知抽取的3幅图像中优质图像的幅数服从二项分布，根据二项分布的概率公式分别计算取不同值时的概率，进而列出分布列． （3）可先求出优质图像总数为2且第一幅优质时的概率，再求出优质图像总数为3且第一幅优质时的概率，最后用数学期望公式即可求解． 【详解】（1）一幅图像成为优质图像有两条途径， 第一条：直接通过两次评估，概率为．     第二条：第一次通过、第二次未通过但微调成功，概率为．     所以一幅图像最终成为优质图像的概率． （2）抽取3幅图像，由题可得， 则，， ，．     则的分布列如下． 0 1 2 3 （3）设事件为“第一幅图像是优质图像”，事件为“优质图像总数至少为2”． 当且第一幅优质时，后两幅中恰有1幅优质，概率为．     当且第一幅优质时，后两幅必须均为优质，概率为．     因此．     则，     ，     此时． 答：此时优质图像总数的数学期望为． 18．（17分） 已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 【答案】(1)； (2)直线经过定点，理由如下： 如图所示，已知，，设动点，均在椭圆上（不同于顶点）， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 直线的方程为，令，得点纵坐标，即， 已知，即， 代入坐标得，即，化简得，则有， 设直线的方程为，将直线代入椭圆方程，得，展开得， 由韦达定理可得， 同时，， 由条件，代入，，得，化简得， 代入，得， 整理得，即， 代入 ，得， 要使该式对任意满足条件的恒成立，需的系数为，即， 此时常数项为，等式恒成立， 所以直线：恒过定点. 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质即可求解； （2）设动点，均在椭圆上，根据得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到关于的表达式，令的系数为，求出即可. 【详解】（1）已知椭圆（）的左右顶点分别为，，右焦点， 根据题意，，即，所以， 又因为，其中，， 将代入中，得，解得， 根据椭圆性质 ，可得， 椭圆 的方程为，离心率. （2）略. 19．（17分） 已知函数的导函数为． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若是在区间上的一个零点，设，函数，求证：； (3)设，是函数的两个极值点，且． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1) (2)由， 得，， 令函数， 记，则，所以在上单调递增， 则， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此，当时，， 可得，即．     令函数， 则． 因为在上单调递增， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此，当时，， 可得，即，所以． (3)（i）（ii） 【分析】（1）利用导数与函数单调性间的关系，将问题转化成在上恒成立，再求出的最小值，即可求解； （2）构造函数，，利用导数与函数单调性的关系，分别求出的最小值，进而可得，，即可求解； （3）（i）根据条件，利用极值的定义，即可求解；（ii）根据条件可得，构造函数，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】（1）， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以，即，即的取值范围是. （2）略 （3）（i）因为，所以， 因为，是函数的两个极值点， 所以，是的两个根，即，是方程的两个正数根， 所以，，故， 所以的取值范围是. （ii），，， ， 令，则， 又， 由，得，所以， 又，解得， 因为，， 所以， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，， 所以的取值范围是． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年广东省深圳市高三上学期开学考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集 是小于的正整数，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（   ） A．2 B． C． D． 3．已知中，假如，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）    A． B． C． D． 7．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 8．已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（    ） A． B． C． D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线MN与直线所成角为 B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为 10．已知直线与圆交于两点，则（   ） A．恒过定点 B．不存在最小值 C．不存在最大值 D．面积的最大值为2 11．在数列中，，则下列结论成立的是（   ） A．数列是等比数列 B．当时，数列的前项和小于1 C．当时， D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为_____________. 13．已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为______. 14．在平面直角坐标系中，点A，B，C在双曲线上，满足为等腰直角三角形，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，求边上的高长的最大值． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，满足？若存在，求出的值：若不存在，说明理由． 17．（15分） 某款绘画软件每次生成一幅图像时，会独立进行两次质量评估：第一次评估通过的概率为，若未通过则图像被丢弃；通过第一次评估的图像进入第二次评估，第二次评估通过的概率为，通过则为“优质图像”，未通过则进入“人工微调”环节，微调后成为优质图像的概率为，否则被丢弃．每幅图像最终要么是优质图像，要么被丢弃．现从该软件生成的一批图像中随机抽取3幅（各图像生成过程相互独立）． (1)求一幅图像最终成为优质图像的概率； (2)设抽取的3幅图像中优质图像的幅数为，求的分布列； (3)在抽取的3幅图像中，若第一幅图像是优质图像，且优质图像总数至少为2，求此时优质图像总数的数学期望． 18．（17分） 已知椭圆的左右顶点分别为，，右焦点，，．动点，均在椭圆上（不同于顶点），直线交轴于点，直线交轴于点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)若点，满足，试判断直线是否经过定点．如果是，求出该定点坐标，如果不是，说明理由． 19．（17分） 已知函数的导函数为． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若是在区间上的一个零点，设，函数，求证：； (3)设，是函数的两个极值点，且． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $