26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程关联，通过基础巩固与综合应用分层设计，构建从概念理解到问题解决的递进路径，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数与坐标轴交点、方程根的范围、对称轴计算|以选择填空为主，如与y轴交点坐标（题1）、利用表格数据确定根范围（题3），强化单一知识点应用| |提升层|图像与系数关系、多结论判断、函数综合应用|含多结论选择题（题5、7）、动态平移问题（题19），需结合图像与代数推理，提升综合分析能力|

26.3 二次函数与一元二次方程 一、单选题（共28分） 1．（本题4分）抛物线与y轴的交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题4分）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题4分）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（本题4分）关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 5．（本题4分）已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 6．（本题4分）已知抛物线上有三点，其中，有下列结论：①；②抛物线的顶点坐标为；③当时，的值随值的增大而增大；④此抛物线向上平移5个单位长度后与坐标轴有2个交点．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（本题4分）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a＋2b＋c＞0；③4ac﹣b2＞8a；④； ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（共24分） 8．（本题4分）若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____． 9．（本题4分）已知二次函数，当时，的值为______． 10．（本题4分）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则方程的两个根为________． 11．（本题4分）已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 12．（本题4分）已知二次函数的对称轴是直线，若关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________． 13．（本题4分）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标__________． 三、解答题（共48分） 14．（本题6分）已知二次函数，求二次函数图象与轴交点的坐标． 15．（本题6分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的表达式． (2)求出二次函数的图象与轴的另一个交点坐标． 16．（本题6分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)写出方程的根； (2)写出不等式的解集； (3)若方程有且只有一个实数根，写出的值． 17．（本题10分）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围； (3)若点在抛物线上，若存在，使成立，求m的取值范围． 18．（本题10分）如图，，是一次函数与二次函数的图象的两个交点． (1)求m的值和二次函数的表达式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集． 19．（本题10分）如图，抛物线：过点，顶点为M． (1)求b的值及点M的坐标 (2)点在上，若，直接写出的取值范围： (3)抛物线： (t为常数，且)，顶点为N． 与交于A，B(A在B的左侧)两点． ①当时，求交点A，B的坐标； ②连接、，且与交于点P，直接写出点P的纵坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与与y轴交点，横坐标为0． 将代入抛物线，求得即可． 【详解】解：将代入抛物线得，， 即与y轴交点的坐标是， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴与顶点坐标，解决本题的关键是根据二次函数图像读出信息． 根据二次函数的图像开口方向可判断A选项，根据二次函数的对称轴与顶点坐标的纵坐标可判断B选项与C选项，根据抛物线与轴的一个交点在与之间， 可判断D选项． 【详解】解：由函数图像可知，函数图像开口向下，即，A选项错误； 由函数图像可知，该函数的对称轴为， ∴，即，即，B选项正确； 由函数图像可知，该函数顶点纵坐标为正数， 即，由， 可得，即，C选项错误； 由函数图像可知，抛物线与轴的一个交点在与之间， ∴，D选项错误． 故选：B ． 3．C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 4．B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 5．C 【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 、、 之间的关系， 对照 4 条结论判断其正确与否， 由此即可得出结论； 【详解】抛物线开口向上， 则 ， 抛物线与 轴交于正半轴， 则， 对称轴在 轴的左侧， 则 ， ∴， ①错误； 抛物线与 轴只有一个交点， 则 ，②正确； ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴， ∴，即 ，③正确； ∵， ∴，④正确； 故选：C 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 轴的交点抛物线与 轴交点的个数确定是解题的关键 6．C 【分析】先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后用函数的性质逐项判断即可．本题考查抛物线与轴交点、平移的性质和二次函数的性质，掌握待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 【详解】解：点在二次函数的图象上， ， 解得， 二次函数， 二次函数图象与轴的交点坐标为，， ， ，， ， 故①不正确，不符合题意； ， 抛物线的顶点坐标为，当，的值随值的增大而增大， 故②不正确，③正确； 将抛物线向上平移5个单位，所得抛物线解析式为， 当时，则， 解得：或 平移后的抛物线与坐标轴有2个交点， 故④正确． 故选：C． 7．C 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向上可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据交点及对称轴、根的判别式即可判断③；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出④的正误． 【详解】解：①∵函数图象开口向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y==0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线x=1， ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0， ∵8a＞0， ∴4ac﹣＜8a，故③错误； ④∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c＜-1 ∵-， ∴b=-2a， ∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a， ∴-2＜-3a＜-1， ∴＜a＜；故④正确 ⑤∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a， ∵a＞0， ∴b-c＞0，即b＞c； 故⑤正确； 故选C． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 8．（答案不唯一） 【分析】设与交点为，根据题意关于y轴对称和二次函数的对称性，可找到的值（只需满足互为相反数且满足即可）即可写出一个符合条件的方程 【详解】设与交点为， 根据题意 则 的对称轴为 故设 则方程为： 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，熟悉二次函数的性质和找到两根的对称性类比二次函数的对称性是解题的关键 9．6 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式． 利用平方差公式化简函数表达式，再代入x的值计算． 【详解】解：由二次函数，根据平方差公式，得， 当时，， 故答案为：6． 10．或3 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．利用抛物线的对称性可以求得抛物线与轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【详解】解：由图象知，抛物线的对称轴为：， ∵抛物线与轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一个与轴的交点为， ∴方程的两个根为或3． 故答案为：或3 11． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握利用抛物线对称性求与x轴交点坐标的方法是解题的关键． 先令函数值为得到关于的一元二次方程，结合抛物线的对称性求出与轴的交点坐标，再代入函数解析式即可求出的值. 【详解】解：令，则，整理得. 二次函数的对称轴为直线，又因其图像与x轴两交点间的距离为2，根据抛物线的对称性，可知两个交点的横坐标分别为和，即两交点坐标为和. 将代入中，得，即， 解得. 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，以及抛物线的对称性，明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称是解题的关键．根据抛物线的对称性，可知的图象与x轴的两个交点关于直线对称，两交点的横坐标即为方程的两根，根据对称性建立关系式即可求解． 【详解】解：设方程的另一根为， 方程整理为， ∵二次函数的对称轴是直线，关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得， ∴另一根为， 故答案为：． 13． 【分析】，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 【详解】解：， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 14． 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，令，求出一元二次方程的解，即可得出结果． 【详解】解：令，则， 即， 解得； ∴二次函数图象与轴交点的坐标为． 15．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征列方程求解，以及将抛物线与x轴交点问题转化为解一元二次方程． （1）将已知点代入函数解析式，列方程组求出的值，得到二次函数表达式； （2）令，解一元二次方程，得到抛物线与x轴的另一个交点坐标． 【详解】（1）解：将点，分别代入，得： 即， 将代入，解得， 二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 整理为，因式分解得， 解得， 已知一个交点为，故另一个交点坐标为． 16．(1)， (2) (3) 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，； （2）解：观察图象可知：不等式的解集为； （3）解：由图象可知，时，方程有且只有一个实数根． 17．(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据公式，即可求出对称轴； （2）将点，代入抛物线，根据题意列不等式，即可解答； （3）根据题意，可得在时，，再根据分别列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为； （2）解：将点，代入抛物线，可得：，， ， ， 解得； （3）解：若点在抛物线上，若存在，使成立， ， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数求不等式的解集，熟知性质是解题的关键． 18．(1)， (2)或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）将点代入一次函数可求出的值，从而可得点的坐标，再根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）不等式表示的是一次函数的图象位于二次函数的图象的下方（含交点），结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， ∴， 将点，代入二次函数得：， 解得， 则二次函数的表达式为． （2）解：不等式表示的是一次函数的图象位于二次函数的图象的下方（含交点）， 结合函数图象可知，不等式的解集为或． 19．(1)， (2) (3)①，；② 【分析】（1）将代入求出，将二次函数化为顶点式，即可求解； （2）当时，，当时，，根据对称轴和取值范围即可求解； （3）①当时，求出抛物线的解析式，联立与的解析式，即可求解； ②设、，，联立、的解析式得，由韦达定理得，， 由中点坐标得，，线段的中点坐标为，求出线段的中点坐标为，线段与线段的中点重合，即可求解． 【详解】（1）解：过点， ， 解得， ， ． （2）解：当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线， ， ． （3）解：①当时， 抛物线： ， 联立与得， 解得，， ，． ②设、， 联立、的解析式得， ， 整理得， ，， ，， ， ， ，， 线段的中点坐标为， 抛物线： 顶点， ， ， ， 线段的中点坐标为， 线段与线段的中点重合， 线段与线段只有一个交点， ， 故点的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法，二次函数的性质，中点坐标等；熟练利用二次函数的性质及中点坐标求解是解题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $