26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆|抛物线与x轴交点个数、方程根的情况等单一知识点|12道选择题，聚焦概念理解，如判断交点个数、根的情况，强化抽象能力与几何直观| |★★☆|交点坐标、取值范围、对称轴与交点关系等综合概念|8道填空题，如结合对称轴求交点、确定y>0时x的范围，发展推理意识| |★★★|解析式求解、实际应用（如喷射水柱）、图像法解方程等综合应用|6道解答题，含实际情境建模（如游乐场水柱），突出模型意识与应用意识|

第二十六章 二次函数 26.3 二次函数与一元二次方程 难度：★☆☆ 1. 抛物线 y = x² - 2x - 3 与 x 轴交点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 抛物线 y = x² + 2x + 3 与 x 轴交点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴有两个交点，则方程 ax² + bx + c = 0 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 无实根 D. 只有一个根 4. 抛物线 y = -x² + 4x - 4 与 x 轴的交点坐标为（ ） A. (2, 0) B. (0, 2) C. (-2, 0) D. (4, 0) 5. 一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个根，就是抛物线 y = ax² + bx + c 与（ ） A. x 轴交点的横坐标 B. y 轴交点的横坐标 C. 顶点的横坐标 D. 对称轴的位置 6. 已知抛物线 y = x² - 4 与 x 轴交于 A、B 两点，则线段 AB 的长度为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 抛物线 y = x² - 5x + 6 与 x 轴交点的横坐标，分别是方程（ ）的两个根 A. x² + 5x + 6 = 0 B. x² - 5x + 6 = 0 C. x² - 5x - 6 = 0 D. x² + 5x - 6 = 0 8. 若抛物线 y = ax² + bx + c 与 x 轴只有一个公共点，则（ ） A. b² - 4ac > 0 B. b² - 4ac = 0 C. b² - 4ac < 0 D. a = 0 9. 二次函数 y = x² + kx - 3 的图像与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是（ ） A. k > 0 B. k < 0 C. k ≠ 0 D. 任意实数 10. 利用图像法估计方程 x² - 2x - 1 = 0 的近似根，观察抛物线 y = x² - 2x - 1，当 y = 0 时 x 的值约为（ ） A. x ≈ -0.4 或 x ≈ 2.4 B. x ≈ -2.4 或 x ≈ 0.4 C. x ≈ -1 或 x ≈ 3 D. x ≈ 1 或 x ≈ -1 11. 抛物线 y = 2x² - 3x + 1 与 x 轴交点的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴没有交点，则方程 ax² + bx + c = 0（ ） A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 无实根 D. 有一个实根 难度：★★☆ 13. 已知抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于点 (-1, 0) 和 (3, 0)，则方程 x² + bx + c = 0 的两根为______。 14. 抛物线 y = -x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），则 A、B 的坐标分别为______；当 y > 0 时，x 的取值范围是______。 15. 抛物线 y = ax² + bx + c 的对称轴为直线 x = 1，且与 x 轴的一个交点为 (2, 0)，则它与 x 轴的另一个交点坐标为______。 16. 若抛物线 y = x² - 4x + m 与 x 轴有两个交点，则实数 m 的取值范围是______。 17. 抛物线 y = a(x - 1)(x - 5) 与 x 轴的两个交点坐标为______，对应的方程 a(x - 1)(x - 5) = 0 的两根为______。 18. 二次函数 y = x² - 2x - 8，当 y < 0 时，x 的取值范围是______。 19. 已知抛物线 y = 2x² - 4x + k 与 x 轴只有一个公共点，则 k = ______，此时顶点的坐标为______。 20. 方程 x² - 3x + 2 = 0 的两个根为 x₁、x₂，则抛物线 y = x² - 3x + 2 与 x 轴两交点坐标为______。 难度：★★★ 21. 已知抛物线 y = ax² + bx + c 经过 A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, -3) 三点。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 求方程 ax² + bx + c = 0 的两根； (3) 当 y > 0 时，求 x 的取值范围。 22. 某游乐场的喷射水柱形状可看作抛物线。水柱从地面点 O 处喷出，最高点距地面 5 m，落地点距 O 点 10 m。以 O 为原点、水平方向为 x 轴、竖直向上为 y 轴建立坐标系。 (1) 求水柱所在抛物线的解析式； (2) 求水柱落地时（y = 0）对应的 x 值； (3) 若在距 O 点 4 m 处竖立一根高 3 m 的挡板，判断水柱是否会越过挡板。 23. 已知二次函数 y = x² - 6x +5。 (1) 求该抛物线与x轴的交点坐标； (2) 解方程x² - 6x +5=0； (3) 根据图像直接写出y＜0时自变量x的取值范围。 24. 利用图像法求方程 x² - 3x - 1 = 0 的近似根（精确到 0.1）。 (1) 写出对应的二次函数； (2) 取 x 的整数值列表，确定两个根各自所在的区间； (3) 通过逐步逼近，估计两个根的近似值。 25. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像与 x 轴交于 (-1, 0)、(2, 0) 两点，且过点 (1, -6)。 (1) 求 a、b、c 的值； (2) 写出方程 ax² + bx + c = 0 的解； (3) 若直线 y = k 与该抛物线有两个交点，求 k 的取值范围（结合图像说明）。 26. 已知抛物线y=-x2+2x+3。 (1) 求抛物线的顶点坐标； (2) 解方程-x2+2x+3=0； (3) 结合图像写出-x2+2x+3<0时x的取值范围。 参考答案 1. C 2. A 3. A 4. A 5. A 6. B 7. B 8. B 9. D 10. A 11. C 12. C 13. x₁ = -1，x₂ = 3 14. A(-1, 0)，B(3, 0)；-1 < x < 3 15. (0, 0) 16. m < 4 17. (1, 0)，(5, 0)；x₁ = 1，x₂ = 5 18. -2 < x < 4 19. k = 2；(1, 0) 20. (1, 0)、(2, 0) 21. (1) 设 y = a(x + 1)(x - 3)，代入 C(0, -3)：-3 = a·1·(-3)，得 a = 1，故 y = x² - 2x - 3 (2) 方程 ax² + bx + c = 0 的两根为 x₁ = -1，x₂ = 3 (3) 抛物线开口向上，y > 0 时 x < -1 或 x > 3 22. (1) 与 x 轴交于 (0,0)、(10,0)，顶点 (5,5)，设 y = ax(x - 10)，代入 (5,5)：5 = a·5·(-5) → a = -0.2，故 y = -0.2x² + 2x (2) 令 y = 0，得 x = 0 或 x = 10（即水柱落地位置） (3) x = 4 时，y = -0.2×16 + 8 = 4.8 > 3，故水柱能越过 3 m 高的挡板 23. (1)令y=0， x² - 6x +5=0，解得x1=1，x2=5，交点(1,0)，(5,0) (2) 方程的解x1=1，x2=5 (3) 开口向上，y < 0 时 ，1 < x < 5 24. (1) 对应二次函数 y = x² - 3x - 1 (2) x = -1 时 y = 3 > 0，x = 0 时 y = -1 < 0，故一根在 (-1, 0)；x = 3 时 y = -1 < 0，x = 4 时 y = 3 > 0，故另一根在 (3, 4) (3) 负根：x = -0.3 时 y ≈ -0.01 ≈ 0，约为 -0.3；正根：x = 3.3 时 y ≈ -0.01 ≈ 0，约为 3.3。两根约为 -0.3 与 3.3 25. (1) 设 y = a(x + 1)(x - 2)，代入 (1, -6)：-6 = a·2·(-1) → a = 3，故 y = 3x² - 3x - 6，即 a = 3，b = -3，c = -6 (2) 方程的解为 x₁ = -1，x₂ = 2 (3) 抛物线开口向上，顶点 (0.5, -6.75)，当 k > -6.75 时直线 y = k 与抛物线有两个交点 26. (1) (1, 4) (2) x₁ = -1，x₂ = 3 (3) x ＜ -1或 x ＞ 3 学科网（北京）股份有限公司 $