26.3 二次函数与一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 围绕二次函数与一元二次方程核心知识点，通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，实现从单一概念到综合运用的知识进阶，培养运算能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线与x轴交点个数、坐标求解、函数值计算|以选择填空为主，直接考查判别式、解方程等基础运算，如第1-6题| |中档应用|截线长计算、近似根估计、不等式解集确定|结合图象与计算，如第15题求交点距离、第16题表格法估计近似根| |综合拓展|多知识点结合的综合问题|如第33题融合方程解、不等式解集、取值范围，培养模型观念与推理能力|

26.3 二次函数与一元二次方程 重点知识点 归纳练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、抛物线与x轴的交点问题 1．二次函数的图象与x轴的交点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．若抛物线（c是常数）与x轴没有交点，请写出一个符合条件的c的值：_______． 3．二次函数（为常数）的图象与轴相交吗？如果相交，有几个交点？ 二、求抛物线与x轴的交点坐标 4．二次函数的图象与x轴交点的横坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 三、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 7．如图，二次函数的图象经过，，三点，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值y随自变量x的增大而增大 C．当时，x的取值范围是 D．方程有两个不相等的实数解 8．如图是二次函数的图象，则关于的方程根的情况是______． 9．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． (1)任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． (2)已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 四、已知二次函数的函数值求自变量的值 10．已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 11．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 12．已知二次函数，当时，求的值． 五、求x轴与抛物线的截线长 13．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 14．如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 15．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 六、图象法确定一元二次方程的近似根 16．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（    ） 3.23 3.24 3.25 3.26      -0.06 -0.02 0.03 0.09 A．3 B．3 C．3 D．3 17．数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程的实数根时，先画出函数的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程的负的实数根可能是___________（结果保留小数点后一位）． 18．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 1 2 3 4 5 6 7 8 … … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根约等于______（结果保留小数点后一位小数）． 19．利用函数图象求出一元二次方程的近似根，也可以在同一平面直角坐标系中画出函数和的图象，根据两个图象交点的横坐标找出一元二次方程的近似根，请试一试． 七、根据交点确定不等式的解集 20．如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 21．如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 22．如图，一次函数的图像与二次函数（）的图像交于点A、B，且点A 在x轴上，点B在y轴上，则关于x的不等式的解集为___． 23．如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的取值范围； (3)当时，利用图象，直接写出的取值范围． 八、综合练 24．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 25．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 26．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 27．二次函数的部分图象如图，当时，的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 28．二次函数的图像与轴的交点坐标是____________． 29．如果抛物线与直线交于A、B两点，则点A与点B两点之间的距离___________． 30．如图，抛物线与直线的交点为．则关于的不等式的解集为___________． 31．已知二次函数． (1)求顶点坐标； (2)求与x轴的交点坐标． 32．已知抛物线经过点． (1)求抛物线的函数表达式，并判断点是否在该抛物线上． (2)若点在该抛物线上，求m的值． 33．抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 4 7 10 13 16 20 24 25 26 答案 C B A D B C C C A C 题号 27 答案 C 1．C 令，求出的值即可． 解：令，得， 解得，， ∴与x轴有2个交点． 2． 1（答案不唯一，只要满足即可） 抛物线与轴没有交点，说明对应的一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于的不等式，求解得到的取值范围，在范围内取一个符合条件的值即可． 解： 抛物线与轴没有交点， 一元二次方程没有实数根，即， 将，，常数项为代入，得 ， 解得， ∴一个符合条件的c的值可以取1．(答案不唯一) 3．与 x 轴相交，有两个交点 本题主要考查了二次函数的图象与x轴交点的个数．根据二次函数与 x 轴交点个数的判别方法，计算判别式的值，即可求解． 解：， ∵， ∴二次函数的图象与 x 轴相交，且有两个交点． 4．B 本题考查二次函数的性质和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数与x轴交点是对应方程的解，即解方程，通过因式分解求解即可得到答案. 解：∵与x轴交点即， ∴ 解方程， 因式分解得：， ∴或， ∴或， ∴ 交点的横坐标为，. 故选：B. 5． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 6．， 解：当抛物线与x轴相交时，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为，． 7．A 先由题意求出二次函数的解析式为，然后根据二次函数的图象与性质依次排除选项即可． 解：由二次函数的图象经过，，三点，可得： ，解得：， ∴二次函数的解析式为，故A正确； ∴对称轴为直线，开口向上，当时，函数有最小值，最小值为， ∴当时，函数值y随自变量x的增大而减小，故B错误； 由图象可知：当时，x的取值范围是或，故C错误； 由可变形为，所以该方程有两个相等的实数根为，故D错误． 8．没有实数根 解：由图像可知，二次函数的最大值是， 二次函数的图像与的图像没有交点， 方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 9．(1)（答案不唯一） (2)①令，则， ， 一定存在两个“点”． ② 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键． （1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解； （2）①令，则，根据即可求证；②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； （1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ∴； 二次函数满足要求； （2）解：① 略 ②设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 10．D 本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 11．0或2 根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 12． 解：令， 整理得， 十字相乘得， 解得 13．B 本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 14． 本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 15．(1) (2) 证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． （1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）略 16．C 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程的解就是二次函数与x轴交点的横坐标，只需找出函数值由负变正对应的x范围即可． 令（，，，为常数）， ∵当时，， 当时，， ∴当时，必然取到0， 即方程的一个解的范围是：． 17． 先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 解：根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是，且对称轴是，则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是， 所以方程的负实数根可能是． 18．5.9(答案不唯一) 根据表格中的数据可知方程的一个根在之间，据此可得答案． 解：由表格可知，当时，，当时，， ∵， ∴根更靠近6，可估算为5.9， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个实数根可取5.9（答案不唯一）． 19．，． 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．建立平面直角坐标系，根据网格结构作出函数和的图象，然后找出两函数图象的交点坐标，从而得解． 解：在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示： 由图可知，交点坐标为，， 所以一元二次方程的近似根为，． 20．C 本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 21．或 本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 22．或 此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键． 根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式的解集为或， 故答案为：或． 23．(1)， (2) (3)或 （1）利用待定系数法求出对应的函数的表达式，再把表达式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据（1）所求可得函数的增减性和对称轴，求出时的函数值，结合顶点坐标即可得到答案； （3）由对称性可得点在该函数的图象上，再结合函数图象即可得到答案． （1）解：∵二次函数图象经过点和， ∴， ∴， ∴该二次函数的表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得该二次函数的表达式为， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时，，且， ∴当时，函数的最大值小于7， ∵顶点坐标为，即当时，函数的最小值为， ∴当时，； （3）解：由（2）可知，对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可知，点在该函数的图象上， 由函数图象可知，当时，或． 24．C 把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 25．A 令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 由解得，， ， 故选：A． 本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 26．C 本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 27．C 本题考查了二次函数图象的性质，根据图象可得对称轴为直线，则另一个交点为，进而根据，写出的取值范围，即可求解． 解：依题意，抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为和，抛物线开口向下， 当时，图象在轴的下方， ∴或， 故选：C． 28．和 此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案为：和． 29．6 本题考查了抛物线与直线交点间距离计算，熟练掌握解方程组是解题的关键．联立抛物线表达式和直线表达式得到方程组，解出两个交点为，继而即可求解． 解：由题意得， 解得：或， ∴抛物线与直线的两个交点为， ∴， 故答案为：6． 30． 本题考查根据函数图象的交点坐标确定不等式的解集． 根据函数图象的交点坐标可得关于的不等式的解集，即可求解． 解：∵抛物线与直线的交点为， ∴关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 31．(1) (2) 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质． （1）将函数解析式化为顶点式，即可写出该函数的顶点坐标； （2）令求出x的值，即可写出该函数与x轴的交点坐标． （1）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为． 32．(1)，在 (2) 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值，注意计算的准确性即可． （1）将点代入抛物线即可求得解析式，将点 代入抛物线即可判断点是否在抛物线上； （2）求解方程即可； （1）解：将点代入抛物线中得：， 所以抛物线的函数表达式为：， 将点 代入抛物线中得：， ∴点在该抛物线上； （2）解：将点代入抛物线中得： ， 解得：. 33．(1) (2) (3) (4) 考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． （1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $