2027年上海市中考数学 一模压轴第24题满分讲义《二次函数综合》

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数综合专题，覆盖抛物线表达式、顶点坐标、平移变换、相似三角形及面积计算等中考核心考点，构建“考点梳理-方法归纳-真题精讲”三阶复习体系，通过15道各区期末真题案例，帮助学生突破数形结合与动态几何难点。 亮点在于“新考纲题型”专项突破与“分层精练”设计，如第12题新定义“开口程度”训练数学抽象能力，第1题篮球运动轨迹问题培养模型意识。设置核心考点精讲与课后巩固练习，配合解题策略指导，助力学生提升推理能力与应用意识，教师可据此精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

2027年上海市中考数学 一模满分讲义 压轴第24题《二次函数综合》 精讲+精练+新考纲题型 核心考点 ·考点精讲 1．（2025秋•杨浦区期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 2．（2025秋•嘉定区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C，与y轴交于点B（0，3），顶点为D，联结AB、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点P在x轴上方时，联结PB、PC，如果，求点P的坐标； ②如果点E在对称轴上，且使△PDE与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． 3．（2025秋•徐汇区期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣2，0）、D（4，﹣6）． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标； （2）将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E，射线BE交线段AD于点F． ①如果AD恰好平分∠CAE，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果△DEF与△ABD相似，求平移的距离． 4．（2025秋•松江区期末）在平面直角坐标系xOy中，一条抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（4，0），与y轴正半轴交于点C，顶点为点D，且OB＝OC． （1）求该抛物线的表达式和点D的坐标； （2）P是抛物线上位于第一象限内的一点，且∠PAB+∠CAB＝90°． ①求点P的坐标； ②将该抛物线向右平移，点P移到点Q，新抛物线的顶点为M．如果新抛物线上存在点N，使得四边形PMQN是平行四边形，求平移的距离． 5．（2025秋•普陀区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝a（x+2）2+k（a＞0）与x轴交于点A（﹣5，0），与y轴交于点B，顶点为P． （1）用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； （2）作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示OC的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作B1，顶点记作P1，当a取m（0＜m＜1）时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作Bm和Pm，如果∠P1PmBm的补角等于∠PmP1B1的两倍时，求m的值． 6．（2025秋•青浦区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C，抛物线M1的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知以点G为顶点的抛物线与抛物线M1相交． ①设抛物线M1、M2的交点为点E，在抛物线M2上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②联结AD、AG，过点G作AD的平行线，交抛物线M2于点N，如果AG平分∠NAD，求m的值． 7．（2025秋•黄浦区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点． （1）试用字母a的代数式表示b； （2）如果二次函数y＝ax2+bx+c图象上存在点C，使得直线AB垂直平分线段OC，求此二次函数的解析式； （3）试问：二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是否可能平分线段AB？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 8．（2025秋•金山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+2n+1（a＜0）的顶点为A，点B（﹣1，1）、C（3，1）． （1）若抛物线经过点B和C，求a的值； （2）如果△ABC的面积小于3，求n的取值范围； （3）点A关于原点的对称点D，联结AC、CD，且AC⊥CD，直线BC与抛物线交于点E、F（点E在点C右侧），当△ACE与△CDE相似时，求抛物线的表达式． 9．（2025秋•奉贤区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图）．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D（1，m）． （1）求点B的坐标及m的值； （2）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为E． ①如果四边形ABDE是梯形，求点E的坐标； ②如果∠EAC＝∠CBD，求平移后新抛物线的表达式． 10．（2025秋•长宁区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点C． （1）已知． ①求抛物线的表达式． ②若点B为该抛物线上一点，且△ABC的重心恰好落在x轴上，求点B的坐标． （2）坐标平面内有点M（0，3）、N（2，3），如果抛物线y＝﹣x2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点，求m的值或取值范围． 11．（2025秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出点B的坐标，并用含a的代数式表示顶点D的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是B，且与y轴的交点为E，联结AC、AE，如果△ACE的面积为6，求a的值； （3）当点D的坐标为（﹣1，﹣4）时，如果点P在抛物线上，且∠ADP＝45°，求点P的坐标． 12．（2025秋•浦东新区期末）新定义：在平面直角坐标系中，抛物线上的点和它的顶点的连线，与这条抛物线的对称轴所夹的角的正切值称为抛物线上这个点的开口程度．规定抛物线顶点的开口程度为0． 根据上述定义，解决以下问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中． （1）如果抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点P，求此抛物线上点P的开口程度kP； （2）已知抛物线y＝x2﹣4x+a与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），如果此抛物线上点A的开口程度kA＝1，求a的值； （3）将抛物线C1：y＝mx2﹣2mx+n（m＞0）平移，使平移后的抛物线C2经过抛物线C1的顶点M，记抛物线C2的顶点为N，C2的对称轴交C1于点Q，如果C1上点Q的开口程度与C2上点M的开口程度相等，均为2，且△QMN的面积为8，试求m的值． 13．（2025秋•宝山区期末）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1绕其顶点旋转180°后再适当平移得到抛物线C2，如果抛物线C2经过抛物线C1的顶点，那么称抛物线C2是抛物线C1的“子抛物线”． 已知抛物线与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0），顶点为D． （1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标； （2）如果抛物线C2是C1的“子抛物线”，且C2经过原点，顶点为E． ①求证：抛物线C1也是抛物线C2的“子抛物线”； ②设直线x＝k与抛物线C1、C2分别交于点M、N，是否存在k，使得四边形DMEN是平行四边形？如果存在，试求k的值；如果不存在，试说明理由． 14．（2025秋•静安区期末）已知平面直角坐标系xOy（如图所示），抛物线y＝kx2﹣2kx+k+1（k≠0）的顶点为D，与y轴交于点A，直线l：y＝kx﹣k+1（k≠0）． （1）求证：抛物线的顶点D在直线l上． （2）如果抛物线与直线l除点D外，同时还经过另一点C，已知点E（0，1），联结CE、AD交于点G，联结CD． ①试说明：S△AEG＝S△CDG； ②当△ADC为等边三角形时，求k的值及∠ECD的正弦值． 15．（2025秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； （3）若点P（t，t2﹣2t﹣3）在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 16．（2025秋•崇明区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•奉贤区期末）在直角坐标平面xOy中，直线yx+2向下平移5个单位后，正好经过抛物线y＝ax2+8ax+2的顶点C，抛物线与y轴交于点B． （1）求点C的坐标； （2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当∠MBC＝∠BCO时，求点M的坐标； （3）将原抛物线顶点C平移到直线yx+2上，记作点C1，新抛物线与y轴的交点记作点B1，当∠BB1C1＝45°时，求BB1的长． 【作业2】（2024秋•闵行区期末）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上． （1）求抛物线C1的解析式及顶点P的坐标； （2）将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到新抛物线C2，新抛物线C2的顶点为Q，与抛物线C1的交点为点B，如果四边形PABQ是平行四边形，求m、n之间的关系式； （3）在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与直线AP交于点E，与抛物线C1交于点F，且S△PEQ：S△BFQ＝3：1，求此时抛物线C1上落在平行四边形PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标t的取值范围． 【作业3】（2024秋•长宁区期末）如图，在直角坐标平面xOy内，以点C为顶点的抛物线y＝x2+bx+c经过点A（4，3），且与y轴交于点B，对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线x＝t，顶点为点P． ①联结AB，如果点P在x轴上且新抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围； ②设新抛物线与直线x＝2交于点D，如果点P在原抛物线y＝x2+bx+c上，且在直线x＝2的右侧，∠CPD＝2∠CBO，求点P的坐标． 【作业4】（2024秋•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m、m+1． （1）联结AD、BD，求cot∠ODA﹣cot∠ODB的值（结果用含a的代数式表示）； （2）如果y轴上存在点C，使得AC⊥BC，且AC＝BC， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且△ADE与△ABC相似，求点E的坐标． 【作业5】（2024秋•金山区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0），f（x）的图象与x轴的两个交点分别为点P、点Q（其中点P在点Q左侧）． （1）若将f（x）的图象向上平移2个单位，得到的新抛物线g（x）经过点（1，﹣3），求新抛物线g（x）的表达式； （2）若f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，求b的取值范围； （3）在（1）中所求的g（x）的图象与y轴的交点记为点B，与x轴的正半轴交点记为点A，点M在g（x）的图象上．当直线MQ与直线PB垂直，且时，求点M的坐标． 【作业6】（2024秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M1：y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）． （1）求抛物线M1的解析式； （2）把抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2，记抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为B′，如果BD∥B′P，求此时点D的坐标． 【作业7】（2024秋•杨浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+6mx+n（m＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为D． （1）求此抛物线的对称轴及点B的坐标； （2）点P是该抛物线上的一点，设对称轴与x轴交于点E，如果BP恰好平分线段DE，求点P的坐标（用含m的式子表示）； （3）在（2）的条件下，联结PD、AP，当∠DPB＝∠PAB时，求m的值． 【作业8】（2024秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+4x+c（c＞0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D． （1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标； （2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P'落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且P'E⊥PP'． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点A'，如果DA'被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【作业9】（2024秋•普陀区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点A的坐标为（1，﹣2），与y轴交于点B．将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． （1）求原抛物线的表达式； （2）求m关于n的函数解析式； （3）在抛物线平移过程中，如果∠NBM是锐角，求平移距离的取值范围． 【作业10】（2024秋•青浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2（a＜0）经过直线y＝﹣x上的点A，已知． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线y＝ax2（a＜0）先向右平移1个单位，再向上平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与y轴相交于点C，如果， ①求k的值； ②设新抛物线的顶点为点D，新抛物线上的点B是点A的对应点．联结OD、CD，在新抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPB＝∠ODC，求点P的坐标． 【作业11】（2024秋•静安区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，其y与x部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 0 2 3 … y … ﹣8 0 2 2 0 … （1）求此抛物线的表达式； （2）设此抛物线的顶点为P，将此抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且△ABP的重心G恰好落在直线l上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线l上所截得的线段长． 【作业12】（2024秋•松江区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）当时，求该二次函数的函数值； （2）定义：对于一个函数y＝f（x），满足f（x）＝x的实数x叫做这个函数的不动点．如果二次函数y＝ax2+bx+2存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； （3）将△AOB绕点B逆时针旋转，点O落在点C处，点A落在点D处，当四边形ABCD是梯形时，点C恰好落在该二次函数图象上，求该二次函数的解析式． 【作业13】（2024秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，联结AC，tan∠CAO＝3，抛物线的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线BC上． ①求点P的坐标； ②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结BM，如果∠MBP＝∠ABD，求点M的坐标． 【作业14】（2024秋•崇明区期末）已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣4）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是抛物线在第一象限内的动点，点P的横坐标为m． ①如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求m的值； ②在y轴正半轴上存在点H，当线段PH绕点H逆时针方向旋转90°时，恰好与抛物线上的点Q重合，此时点Q的横坐标为n（n＞0），求n﹣m的值． 【作业15】（2024秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）． （1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式； （2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D． ①求点C、D的坐标； ②将抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P．设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年上海市中考数学 一模满分讲义 压轴第24题《二次函数综合》 精讲+精练+新考纲题型 核心考点 ·考点精讲 1．（2025秋•杨浦区期末）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【分析】（1）①依据题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5； （2）依据题意，利用待定系数法求此时球运行抛物线形，然后令x＝7，求出y与3.05米比较即可得解． 【解答】解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2．（2025秋•嘉定区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和C，与y轴交于点B（0，3），顶点为D，联结AB、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点P在x轴上方时，联结PB、PC，如果，求点P的坐标； ②如果点E在对称轴上，且使△PDE与△AOB相似，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①先求出3，过P点作PG∥y轴交BC于点G，设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），可得（﹣t2+3t）＝3，求出P（1，4）或（2，3）； ②设P（m，﹣m2+2m+3），当∠DEP＝90°时，E（1，﹣m2+2m+3），当DE＝3PE时，求出P（4，﹣5）；当PE＝3DE时，求出P（，）；当∠DPE＝90°时，过点P作MN∥y轴，过点D作DM⊥MN交于M点，过点E作EN⊥MN交于N点，可得△PDM∽△EPN，当PD＝3PE时，PM＝3EN，求出P（4，﹣5）；当PE＝3DP时，求出P（，）． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； （2）①当﹣x2+2x+3＝0时，解得x＝﹣1或x＝3， ∴C（3，0）， ∴AC＝4， ∴△ABC的面积6， ∵， ∴△PBC的面积＝3， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x+3， 过P点作PG∥y轴交BC于点G， 设P（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3）， ∴PG＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴（﹣t2+3t）＝3， 解得t＝1（舍）或t＝2， ∴P（2，3）； ②由（1）可知，AO＝1，BO＝3， 设P（m，﹣m2+2m+3）， ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 当∠DEP＝90°时，E（1，﹣m2+2m+3）， ∴DE＝4+m2﹣2m﹣3＝m2﹣2m+1，PE＝m﹣1， 当DE＝3PE时，m2﹣2m+1＝3m﹣3， 解得m＝1（舍）或m＝4， ∴P（4，﹣5）； 当PE＝3DE时，3（m2﹣2m+1）＝m﹣1， 解得m＝1（舍）或m， ∴P（，）； 当∠DPE＝90°时，过点P作MN∥y轴，过点D作DM⊥MN交于M点，过点E作EN⊥MN交于N点， ∴△PDM∽△EPN， 当PD＝3PE时，PM＝3EN， ∴m2﹣2m+1＝3m﹣3， 解得m＝1（舍）或m＝4， ∴P（4，﹣5）； 当PE＝3DP时，3（m2﹣2m+1）＝m﹣1， 解得m＝1（舍）或m， ∴P（，）； 综上所述：P（4，﹣5）或（，）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 3．（2025秋•徐汇区期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣2，0）、D（4，﹣6）． （1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标； （2）将抛物线向上平移，设点D的对应点为点E，射线BE交线段AD于点F． ①如果AD恰好平分∠CAE，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果△DEF与△ABD相似，求平移的距离． 【分析】（1）将点A（﹣2，0）、D（4，﹣6）代入抛物线，求出b、c，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得CD∥x轴，∠ADC＝45°，易证△ACD≌△AED（ASA），可得DE＝CD＝4，即可得解； ②先求B（6，0），由①可知∠DAB＝∠ADF＝45°，直线DE与x轴交于点N，过B作BK⊥AD于点K，易得tan∠DBN＝3，tan∠ADB＝2，然后分类套求解即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）、D（4，﹣6）代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为yx2﹣2x﹣6， ∴对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，y4﹣6＝﹣8， ∴顶点M（2，﹣8）； （2）①对于抛物线yx2﹣2x﹣6，令x＝0，得y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 则CD∥x轴，且CD＝4， 过A作AG⊥DC，交DC延长线于点G， ∵A（﹣2，0），D（4，﹣6）， ∴AG＝DG＝6， ∴∠ADG＝45°， 由题可知点D向上平移到点E， 则DE∥y轴，即DE⊥CD， ∴∠ADE＝90°﹣∠ADC＝45°， ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（ASA）， ∴CD＝DE＝4， ∴点D向上平移4个单位到点E，即抛物线向上平移4个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为yx2﹣2x﹣6+4x2﹣2x﹣2； ②方法一：令yx2﹣2x﹣6＝0，得x＝﹣2或6， ∴B（6，0）， 由①可知∠DAB＝∠ADF＝45°， 记直线DE与x轴交于点N，过B作BK⊥AD于点K， 则tan∠DBN3， 由S△ABD， ∴BK4， ∴AK＝BK＝4，则DK＝2， ∴tan∠ADB， 当△ABD∽△DEF时， 则有∠DEF＝∠DBN＝∠NEB， ∴tan∠NEB3， ∵BN＝2， ∴EN， ∴DE＝DN﹣NE，即此时向上平移了个单位； 当△ABD∽△DFE时， 则有∠DEF＝∠ADB＝∠NEB， ∴tan∠NEB2， ∴NE＝1， ∴DE＝DN﹣NE＝5，即此时向上平移了5个单位； 综上，平移的距离为5或个单位． 方法二：设抛物线向上平移了t个单位， ∴E（4，﹣6+t）， 令yx2﹣2x﹣6＝0，得x＝﹣2或6， ∴B（6，0）， 由A（﹣2，0），D（4，﹣6）可得直线AD表达式为y＝﹣x﹣2， 由B（6，0），E（4，﹣6+t），可得直线BE表达式为y（x﹣6）， 联立， 解得，即F（，）， ∴AB＝8，AD＝6，DE＝t，DF， ∵∠FDE＝∠BAD＝45°， ∴分两种情况讨论： 当△ABD∽△DFE时， 则，即， 解得t＝5； 当△ABD∽△DEF时， 则，即， 解得t； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点评】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2025秋•松江区期末）在平面直角坐标系xOy中，一条抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（4，0），与y轴正半轴交于点C，顶点为点D，且OB＝OC． （1）求该抛物线的表达式和点D的坐标； （2）P是抛物线上位于第一象限内的一点，且∠PAB+∠CAB＝90°． ①求点P的坐标； ②将该抛物线向右平移，点P移到点Q，新抛物线的顶点为M．如果新抛物线上存在点N，使得四边形PMQN是平行四边形，求平移的距离． 【分析】（1）求出C点坐标，设出交点式，待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可； （2）①根据∠CAB+∠OCA＝90°，∠PAB+∠CAB＝90°，得到∠PAB＝∠OCA，进而得到，设直线AP与y轴交于点E，则：，求出E点坐标，进而求出直线AP的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出P点坐标即可； ②设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，得到新的抛物线，进而得到，，设N（m，n），根据平行四边形的性质，结合中点坐标公式求出N点坐标，代入新的函数解析式，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵一条抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， ∵OB＝OC，B（4，0）， ∴OC＝OB＝4， ∵抛物线与y轴正半轴交于点C， ∴C（0，4）， 把C（0，4）代入y＝a（x+2）（x﹣4），得a（0+2）（0﹣4）＝4， 解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当x＝1时，， ∴； （2）①∵∠CAB+∠OCA＝90°，∠PAB+∠CAB＝90°， ∴∠PAB＝∠OCA， ∵A（﹣2，0），C（0，4）， ∴OA＝2，OC＝4， ∴， ∴， 设直线AP与y轴交于点E，则：， ∴OE＝1， ∵点P在第一象限， ∴E（0，1）， 设直线AP的解析式为y＝kx+1， 把A（﹣2，0）代入，得﹣2k+1＝0， 解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ②设抛物线向右平移h（h＞0）个单位，得到新的抛物线， ∵， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 由①知：， ∴， 设N（m，n）， ∵四边形PMQN为平行四边形， ∴PQ，MN为对角线， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 解得或； 即平移的距离为或个单位长度． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 5．（2025秋•普陀区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝a（x+2）2+k（a＞0）与x轴交于点A（﹣5，0），与y轴交于点B，顶点为P． （1）用含a的代数式分别表示点B、点P的坐标； （2）作过点B和点P的直线交x轴于点C． ①当a取不同的数值时，点C是否会移动？如果不会，试求出点C的坐标；如果会，试用含a的代数式表示OC的长； ②当a取1时，抛物线与y轴的交点记作B1，顶点记作P1，当a取m（0＜m＜1）时，此时抛物线与y轴的交点和顶点分别记作Bm和Pm，如果∠P1PmBm的补角等于∠PmP1B1的两倍时，求m的值． 【分析】（1）将点A坐标代入可得k＝﹣9a，进而即可得解； （2）①求出直线BP解析式，进而即可得解； ②由题易得B1（0，﹣5），P1（﹣2，﹣9），Bm（0，﹣5m），Pm（﹣2，﹣9m），进而利用等腰构造二倍角：在对称轴上取一点Q，使QP1＝QB1，记对称轴与x轴交点即为点G，易得∠GP1B1＝∠GPmBm，所以四边形PmQB1Bm是平行四边形，则PmQ＝BmB1，求出点Q坐标，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）将A（﹣5，0）代入y＝a（x+2）2+k得，k＝﹣9a， ∴抛物线表达式为y＝a（x+2）2﹣9a， ∴P（﹣2，﹣9a）， 令x＝0，得y＝﹣5a， ∴B（0，﹣5a）； （2）①点C不会移动， 设直线BP表达式为y＝bx﹣5a， 将点P（﹣2，﹣9a）代入得﹣9a＝﹣2b﹣5a， 解得b＝2a， ∴直线BP表达式为y＝2ax﹣5a， 令y＝0，得x， ∴C（，0）； ②当a＝1时，则抛物线表达式为y＝（x+2）2﹣9， 此时B1（0，﹣5），P1（﹣2，﹣9）， ∵0＜m＜1， ∴Pm在P1上方，Bm在B1上方， 如图，在对称轴上取一点Q，使QP1＝QB1，记对称轴与x轴交点即为点G， ∴∠GP1B1＝2∠PmP1B1， 由题知∠GPmBm＝2∠PmP1B1， ∴∠GP1B1＝∠GPmBm， ∴QB1∥PmBm， ∵PmQ∥BmB1， ∴四边形PmQB1Bm是平行四边形， ∴PmQ＝BmB1， 设Q（﹣2，t），则QB1，QP1＝t+9， ∴t+9， 解得t， 当a＝m时，Bm（0，﹣5m），Pm（﹣2，﹣9m）， ∴BmB1＝﹣5m+5，PmQ＝﹣9m， 则﹣5m+5＝﹣9m， 解得m． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、图象和性质、几何变换等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6．（2025秋•青浦区期末）如图，平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C，抛物线M1的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知以点G为顶点的抛物线与抛物线M1相交． ①设抛物线M1、M2的交点为点E，在抛物线M2上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②联结AD、AG，过点G作AD的平行线，交抛物线M2于点N，如果AG平分∠NAD，求m的值． 【分析】（1）待定系数法求出b的值，一般式化为顶点式，求出D点坐标； （2）①根据抛物线的解析式得到G（m，5﹣m），进而得到点G在直线y＝﹣x+5上移动，连接直线和抛物线M1的解析式，求出x的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点G在点H的下方时满足题意，即可得出结果； ②根据两条抛物线的a值相同，得到M2可以看作是M1平移得到，根据GN∥AD，得到AD＝NG，结合AG平分∠NAD推出AN＝NG，进而推出四边形ADGN为菱形，得到AD＝DG，列出方程进行求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入得﹣（﹣1）2﹣b+3＝0， 解得：b＝2，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）； （2）①， ∴G（m，﹣m+5）， 令x＝m，y＝﹣m+5， 则y＝﹣x+5， ∴点G在直线y＝﹣x+5上运动， 令﹣x+5＝﹣x2+2x+3， 解得x1＝1，x2＝2， ∴直线y＝﹣x+5与抛物线M1的交点为（1，﹣1+5），（2，﹣2+5），即（1，4），（2，3）， 设点H（2，3）， ∵抛物线M1、M2的交点为点E，且在抛物线M2上，点E与点G之间的部分是上升的， ∴当点G在点H下方时，符合题意，即m＞2； ②，5﹣m， ∴M2可以看作是M1平移得到， ∵D为M1的顶点，G为M2的顶点， ∴G是由D点平移得到， ∵AD∥GN， ∴点N是由点A平移得到，∠DAG＝∠AGN， ∴AD＝NG， ∴四边形ADGN为平行四边形， ∴AD＝DG， ∵A（﹣1，0），D（1，4），G（m，﹣m+5）， ∴AD2＝（﹣1﹣1）2+42＝20，DG2＝（m﹣1）2+（﹣m+5﹣4）2， ∴20＝（m﹣1）2+（﹣m+5﹣4）2， 解得m． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 7．（2025秋•黄浦区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点． （1）试用字母a的代数式表示b； （2）如果二次函数y＝ax2+bx+c图象上存在点C，使得直线AB垂直平分线段OC，求此二次函数的解析式； （3）试问：二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴是否可能平分线段AB？如果能，请求出此时二次函数的解析式；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）将点A、B代入y＝ax2+bx+c，求出b即可； （2）设OC与AB交于E点，过C点作CF⊥x轴交于F点，根据题意求出C（4，2），再将C点代入函数解析式即可求解； （3）求出对称轴为直线x，再由AB的中点为（，），当对称轴经过AB中点时，对称轴为直线x，此时a无解． 【解答】解：（1）将点A、B代入y＝ax2+bx+c， ∴ab+5＝0， ∴ba﹣2； （2）设OC与AB交于E点， ∵直线AB垂直平分线段OC， ∴OE＝EC，OC⊥AB， ∵∠OBA+∠OAE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠OBA＝∠COF， ∵tan∠OBA， ∴tan∠COF， 过C点作CF⊥x轴交于F点， ∴AF＝2CF， ∵OA，OB＝5， ∴AB， ∴OE， ∴OC＝2， ∴CF2+（2CF）2＝（2）2， 解得CF＝2， ∴OF＝4， ∴C（4，2）， ∴2＝16a+4（a﹣2）+5， 解得a， ∴yx2x+5； （3）二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴不能平分线段AB，理由如下： ∵y＝ax2+（a﹣2）x+5， ∴对称轴为直线x， ∵AB的中点为（，）， ∴当对称轴经过AB中点时，对称轴为直线x， 此时a无解； ∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴不能平分线段AB． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8．（2025秋•金山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+2n+1（a＜0）的顶点为A，点B（﹣1，1）、C（3，1）． （1）若抛物线经过点B和C，求a的值； （2）如果△ABC的面积小于3，求n的取值范围； （3）点A关于原点的对称点D，联结AC、CD，且AC⊥CD，直线BC与抛物线交于点E、F（点E在点C右侧），当△ACE与△CDE相似时，求抛物线的表达式． 【分析】（1）根据对称性求出对称轴为直线x＝1，即可得到n＝1，再将B（﹣1，1）代入函数解析式即可求a的值； （2）求出A（n，2n+1），再由△ABC的面积小于3，可得|2n+1﹣1|＜3，求出n的范围，注意A不能与BC共线； （3）由AC⊥CD，O是AD的中点，可知OC＝OA＝OD，得到，求出n＝1或n（舍）；连接BD，则BD⊥BC，过A点作AM⊥BC交于M，推导出∠ACE＝∠ECD，当∠AEC＝∠DEC时，AM＝BD，不成立；当∠AEC＝∠CDE时，△ACE∽△ECD，EC2＝AC•DC＝16，求出EC＝4，则E（7，1），将点E代入函数解析式即可求a的值，从而确定函数解析式． 【解答】解：（1）∵抛物线经过点B和C， ∴对称轴为直线x＝1， ∴n＝1， ∴y＝ax2﹣2ax+a+3， 将B（﹣1，1）代入，a+2a+a+3＝1， 解得a； （2）∵点B（﹣1，1）、C（3，1）， ∴BC＝4， ∵y＝ax2﹣2anx+an2+2n+1＝a（x﹣n）2+2n+1， ∴A（n，2n+1）， ∵△ABC的面积小于3， ∴|2n+1﹣1|＜3， 解得n， ∵2n+1≠1， ∴n≠0， ∴n且n≠0； （3）∵点A关于原点的对称点D， ∴D（﹣n，﹣2n﹣1）， ∵AC⊥CD，O是AD的中点， ∴OC＝OA＝OD， ∴， 解得n＝1或n（舍）； ∴y＝ax2﹣2ax+a+3， ∴D（﹣1，﹣3）， 连接BD，则BD⊥BC， ∵BD＝BC＝4， ∴∠BCD＝45°， 过A点作AM⊥BC交于M， ∴AM＝2，CM＝2， ∴∠ACM＝45°， ∴∠ACE＝∠ECD， 当∠AEC＝∠DEC时，AM＝BD，不成立； 当∠AEC＝∠CDE时，△ACE∽△ECD， ∴， ∴EC2＝AC•DC＝2416， ∴EC＝4， ∴E（7，1）， ∴49a﹣14a+a+3＝1， 解得a， ∴yx2x． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键． 9．（2025秋•奉贤区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图）．抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D（1，m）． （1）求点B的坐标及m的值； （2）将抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）沿射线BC方向平移，得到新抛物线的顶点为E． ①如果四边形ABDE是梯形，求点E的坐标； ②如果∠EAC＝∠CBD，求平移后新抛物线的表达式． 【分析】（1）用待定系数法求解析式即可求解； （2）①根据题意可知AE∥BD，BC∥DE，构造直线DE和直线AE，则交点E即为所求； ②构造△CFA∽△DCB，可得∠OAE＝90°结合直线DE的解析式可得交点E，根据顶点式即可求解． 【解答】解：（1）由题可知，顶点为D（1，m）， 则对称轴为：， 将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）， 则得a﹣b+3＝0， 解得：a＝﹣1，b＝2， ∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3， 当x＝1时，y＝4， 则点D（1，4），即m＝4， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴点B（3，0）； （2）①由题可知， 若四边形ABDE是梯形，则AE∥BD， 过点E作EF⊥x轴，过点D作DG⊥x轴，过点D作DH⊥EF交射线BC于点K，则DH∥AB， ∵点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）， 设直线BD的表达式为：y＝kx+b， 将点B（3，0），D（1，4）， 代入得， 解得k＝﹣2，b＝6， 则直线BD的表达式为：y＝﹣2x+6， 设直线AE的表达式为：y＝﹣2x+b， 将点A（﹣1，0），代入得2+b1＝0， 解得b1＝﹣2， 则直线AE的表达式为：y＝﹣2x﹣2， 因为抛物线沿射线BC方向平移，则BC∥DE， 设直线BC的表达式为：y＝k2x+b2， 将点B（3，0），C（0，3），代入得， 解得k2＝﹣1，b2＝3， 则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设直线DE的表达式为：y＝﹣x+b3， 将点D（1，4），代入得﹣1+b3＝4， 解得b3＝5， 则直线DE的表达式为：y＝﹣x+5， 则直线DE和直线AE的交点E即为抛物线平移后的顶点坐标， 联立方程得， 解得， 则点E的坐标为（﹣7，12）； ②由题可得： ， ， ， ∴CD2+BC2＝BD2， ∴∠DCB＝90°， 过点C作CF⊥AE， ∴∠CFA＝90°，， ∵∠EAC＝∠CBD， ∴△CFA﹣△DCB， ∴， ∴， ∴CF＝1，AF＝3， ∵OC＝3，OA＝1，∠AOC＝90°， ∴四边形AOCF为矩形， ∴∠OAE＝90°，则点E的横坐标为﹣1， 由①可得直线DE的表达式为：y＝﹣x+5， 当x＝﹣1时，y＝6，则点E（﹣1，6）， 设平移后新抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣h）2+k， 将点E（﹣1，6）代入得y＝﹣（x+1）2+6， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+5． 【点评】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数的平移，一次函数的性质，掌握相关知识是解题关键． 10．（2025秋•长宁区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点C． （1）已知． ①求抛物线的表达式． ②若点B为该抛物线上一点，且△ABC的重心恰好落在x轴上，求点B的坐标． （2）坐标平面内有点M（0，3）、N（2，3），如果抛物线y＝﹣x2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点，求m的值或取值范围． 【分析】（1）①求出A点坐标（﹣1，0），再将A点代入函数解析式求出m的值即可求解； ②设B（t，﹣t2+t+2），再由三角形重心公式得到0，解得t＝﹣2，即可求B点坐标； （2）由题意可知线段MN∥x轴，当抛物线的顶点在MN上时，当x＝2，y＞3时，满足题意． 【解答】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+2与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点C． 解：（1）①当x＝0时，y＝2， ∴C（0，2）， ∴OC＝2， ∵， ∴CO＝2OA＝2， ∴OA＝1， ∵A在x轴的负半轴上， ∴A（﹣1，0）， ∴﹣1﹣m+2＝0， 解得m＝1， ∴y＝﹣x2+x+2； ②设B（t，﹣t2+t+2）， ∵△ABC的重心恰好落在x轴上， ∴0， 解得t＝﹣2， ∴﹣t2+t+2＝﹣2， 解得t， ∴B（，﹣2）或（，﹣2）； （2）∵M（0，3）、N（2，3）， ∴线段MN平行x轴， 当抛物线的顶点在MN上时，3， 解得m＝2或m＝﹣2（舍）， ∴m＝±2时，抛物线y＝﹣x2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点； 当x＝2时，y＝2m﹣2＞3，m， ∴m时，抛物线y＝﹣x2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点； 综上所述：m＝2或m时，抛物线y＝﹣x2+mx+2与线段MN有且只有一个公共点． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形重心公式，线段与抛物线有一个交点时，临界情况的确定是解题的关键． 11．（2025秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax+c（a≠0）交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C，抛物线的顶点为D． （1）直接写出点B的坐标，并用含a的代数式表示顶点D的坐标； （2）将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是B，且与y轴的交点为E，联结AC、AE，如果△ACE的面积为6，求a的值； （3）当点D的坐标为（﹣1，﹣4）时，如果点P在抛物线上，且∠ADP＝45°，求点P的坐标． 【分析】（1）首先根据抛物线的对称轴即可得到点B的坐标，并将点A的坐标代入抛物线得到a与c的关系，再将对称轴代入写出顶点D的坐标即可； （2）首先写出平移后的抛物线的解析式，并表示出点E的坐标，进而得到CE的长度，即可表示出△ACE的面积，结合面积为6即可求解a的值； （3）首先根据点D的坐标为（﹣1，﹣4）得到a的值即可得到抛物线的解析式，分当点P在点A上方和当点P在点A下方进行讨论，根据∠ADP＝45°构造直角三角形，即可求解直线DP上点E和O的坐标，即可求解直线DP的解析式，联立直线DP和抛物线即可得到点P的坐标． 【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+c（a≠0）， ∴对称轴为直线， ∵A（﹣3，0）， ∴B（1，0）； 抛物线交x轴于点A（﹣3，0）， ∴9a﹣6a+c＝0，即c＝﹣3a， 将x＝﹣1和c＝﹣3a代入y＝ax2+2ax+c得D（﹣1，﹣4a）； ∴B（1，0），D（﹣1，﹣4a）； （2）设平移后的抛物线为y＝a（x﹣1）2， ∵新抛物线与y轴的交点为E， ∴E（0，a）， ∵抛物线交y轴于点C， ∴C（0，c），即C（0，﹣3a）， ∴CE＝|a﹣（﹣3a）|＝4|a|， ∵A（﹣3，0）， ∴点A到y轴的距离为3， ∴， ∵△ACE的面积为6， ∴6|a|＝6， 解得：a＝±1， ∵新的抛物线的最高点为点B， ∴新抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∴a＝﹣1； （3）∵D（﹣1，﹣4）， ∴a＝1，即抛物线开口向上， ∴y＝x2+2x﹣3， ∵A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）， ∴， 设P（p，p2+2p﹣3） 如图，当点P在点A上方时，过点A作AE⊥AD交直线DP于点E，作DF⊥x轴于点F，作EG⊥x轴于点G， ∴AF＝2，DF＝4， ∵∠ADP＝45°，AE⊥AD， ∴△AED是等腰直角三角形， ∴， ∵∠DAF+∠EAF＝90°，∠DAF+∠FDA＝90°， ∴∠EAF＝∠FDA， 在△AFD与△EGA中， ， ∴△AFD≌△EGA（AAS）， ∴AF＝EG＝2，DF＝AG＝4， ∴此时点G与点B重合， 设直线DP的解析式为y＝kx+b，代入E（1，2），D（﹣1，﹣4）， 得， 解得：， ∴y＝3x﹣1， 联立， 解得：（与点D重合，舍去）或， ∴P（2，5）； 同理可求：△AMD≌△KNA（AAS）， ∴AM＝KN＝2，DM＝AN＝4， ∴K（﹣7，﹣2）， 设直线DP的解析式为y＝kx+b，代入K（﹣7，﹣2），D（﹣1，﹣4）， 得， 解得：， ∴， 联立， 解得：（与点D重合，舍去）或， ∴； ∴当∠ADP＝45°时，点P的坐标为（2，5）或． 【点评】本题主要考查抛物线的性质、平移变换、分类讨论，根据特殊角度构造辅助线求解坐标是解题的关键． 12．（2025秋•浦东新区期末）新定义：在平面直角坐标系中，抛物线上的点和它的顶点的连线，与这条抛物线的对称轴所夹的角的正切值称为抛物线上这个点的开口程度．规定抛物线顶点的开口程度为0． 根据上述定义，解决以下问题： 如图，在平面直角坐标系xOy中． （1）如果抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点P，求此抛物线上点P的开口程度kP； （2）已知抛物线y＝x2﹣4x+a与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），如果此抛物线上点A的开口程度kA＝1，求a的值； （3）将抛物线C1：y＝mx2﹣2mx+n（m＞0）平移，使平移后的抛物线C2经过抛物线C1的顶点M，记抛物线C2的顶点为N，C2的对称轴交C1于点Q，如果C1上点Q的开口程度与C2上点M的开口程度相等，均为2，且△QMN的面积为8，试求m的值． 【分析】（1）由题意求得抛物线的顶点A（2，1）、P（0，5），过点P作PB⊥y轴于点B，得PB＝2，AB＝4，进而求解即可； （2）由题意求得抛物线的顶点C（2，a﹣4），即DC＝4﹣a，根据新定义得AD＝DC＝4﹣a，进而得A（a﹣2，0），把点A（a﹣2，0）代入y＝x2﹣4x+a求解即可； （3）根据题意得M（1，n﹣m），tan∠MQF＝tan∠MNF＝2，进而可得，由△QMN的面积为8，求得MF＝4，从而求得Q（5，n﹣m+2）、N（5，n﹣m﹣2），即抛物线C2的表达式为y＝m（x﹣5）2+n﹣m﹣2再把点M代入求解即可． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， ∴抛物线的顶点A（2，1）， 把x＝0代入y＝x2﹣4x+5，得y＝5， ∴P（0，5）， 过点P作PB⊥y轴于点B， ∴PB＝2，AB＝4， ∴； （2）y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4， ∴抛物线的顶点C（2，a﹣4）， ∴DC＝4﹣a， ∵此抛物线上点A的开口程度kA＝1， ∴， ∴AD＝DC＝4﹣a， ∴A（a﹣2，0）， 把点A（a﹣2，0）代入y＝x2﹣4x+a得，（a﹣2）2﹣4（a﹣2）+a＝0， 解得a1＝3，a2＝4（此时A、B重合）， ∴a＝3； （3）如图，连接QM，MN，过点Q作QE垂直抛物线C1的对称轴，过点M作MF垂直抛物线C2的对称轴， ∵y＝mx2﹣2mx+n＝m（x﹣1）2+n﹣m， ∴抛物线C1的顶点M（1，n﹣m）， 由题意得，tan∠QME＝tan∠MNF＝2，ME∥NQ， ∴∠QME＝∠MQF， ∴tan∠MQF＝tan∠MNF＝2， ∵，， ∴， ∵△QMN的面积为8， ∴， ∴MF＝4， ∴QF＝FN＝2， ∴Q（5，n﹣m+2）， ∵QN＝4， ∴N（5，n﹣m﹣2）， ∴抛物线C2的表达式为y＝m（x﹣5）2+n﹣m﹣2， 把点M（1，n﹣m）代入y＝m（x﹣5）2+n﹣m﹣2得， m（1﹣5）2+n﹣m﹣2＝n﹣m， 解得． 【点评】本题考查新定义、二次函数的综合、锐角三角比等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 13．（2025秋•宝山区期末）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线C1绕其顶点旋转180°后再适当平移得到抛物线C2，如果抛物线C2经过抛物线C1的顶点，那么称抛物线C2是抛物线C1的“子抛物线”． 已知抛物线与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0），顶点为D． （1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标； （2）如果抛物线C2是C1的“子抛物线”，且C2经过原点，顶点为E． ①求证：抛物线C1也是抛物线C2的“子抛物线”； ②设直线x＝k与抛物线C1、C2分别交于点M、N，是否存在k，使得四边形DMEN是平行四边形？如果存在，试求k的值；如果不存在，试说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①抛物线绕其顶点旋转180度后所得的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标相同，但是开口方向与原抛物线相反，据此可设抛物线C2的表达式为，再根据“子抛物线”的定义和抛物线C2经过原点求出抛物线C2的解析式，进而求出点E的坐标，再求出抛物线C2绕其顶点旋转180度后所得的抛物线解析式，证明点E在抛物线C1，且抛物线C1能由抛物线C2绕其顶点旋转180度后所得的抛物线平移得到即可证明结论； ②根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0）， ∴， 解得， ∴抛物线C1的表达式为， ∴点D的坐标为（﹣1，﹣3）； （2）①证明：将抛物线C1绕其顶点旋转180°后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线C2的表达式为， ∵抛物线C2是C1的“子抛物线”， ∴抛物线C2经过点（﹣1，﹣3）， 又∵抛物线C2经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线C2的表达式为， ∴点E的坐标为， 则抛物线C2绕其顶点旋转180°后得到的抛物线的表达式为， 在中，当x＝4时，， ∴点E在抛物线C1上，即抛物线C2的顶点在抛物线C1上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线C1， ∴抛物线C1也是抛物线C2的“子抛物线”； ②∵四边形DMEN是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得xD+xE＝xM+xN， ∴﹣1+4＝k+k， 解得， 此时M（，），N（，），四边形DMEN是平行四边形，符合题意． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、二次函数的几何变换、二次函数与平行四边形综合等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（2025秋•静安区期末）已知平面直角坐标系xOy（如图所示），抛物线y＝kx2﹣2kx+k+1（k≠0）的顶点为D，与y轴交于点A，直线l：y＝kx﹣k+1（k≠0）． （1）求证：抛物线的顶点D在直线l上． （2）如果抛物线与直线l除点D外，同时还经过另一点C，已知点E（0，1），联结CE、AD交于点G，联结CD． ①试说明：S△AEG＝S△CDG； ②当△ADC为等边三角形时，求k的值及∠ECD的正弦值． 【分析】（1）由抛物线解析式求出点D坐标，代入直线解析式即可判断； （2）①易得A、C、D、E坐标，可发现AC∥DE，则S△ACE＝S△ACD，再减去公共部分即可得解； ②由题易得AC＝AD＝CD＝2，则利用两点距离公式求出k，进而可得sin∠CED＝sin∠ACE，再解△CDE即可． 【解答】（1）证明：由题可知对称轴为直线x＝1， 当x＝1时，y＝k﹣2k+k+1＝1， ∴D（1，1）， 对于直线l：y＝kx﹣k+1，当x＝1时，y＝1， ∴抛物线的顶点D在直线l上； （2）①证明：令kx2﹣2kx+k+1＝kx﹣k+1， ∵k≠0， ∴整理得x2﹣3x+2＝0， 解得x＝1或x＝2， 当x＝2时，y＝k+1， ∴C（2，k+1）， 对于抛物线y＝kx2﹣2kx+k+1（k≠0）， 当x＝0时，则y＝k+1， ∴A（0，k+1）， ∴A、C关于对称轴直线x＝1对称， 如图，连接AC，DE， 则AC∥DE， ∴S△ACE＝S△ACD， ∴S△ACE﹣S△ACG＝S△ACD﹣S△ACG， ∴S△AEG＝S△CDG； ②由①可得A（0，k+1），C（2，k+1）， ∴AC＝2， ∵△ADC为等边三角形， ∴AD＝CD＝AC＝2， ∴AD2， 解得k＝±； ∴AE， 在Rt△AEC中，CE， 则sin∠ACE， ∵AC∥DE， ∴∠CED＝∠ACE，即sin∠CED＝sin∠ACE， 如简图，过D作DH⊥CE于点H， 在Rt△DEH中，sin∠CED， ∴DH， 在Rt△DCH中，sin∠ECD． 综上，k的值为，∠ECD的正弦值为． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式、与坐标轴交点问题、抛物线与直线交点问题、解三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15．（2025秋•浦东新区期末）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3 （1）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （2）求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； （3）若点P（t，t2﹣2t﹣3）在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【分析】（1）分别令y＝0和x＝0即可求出答案； （2）把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）根据P到x轴的距离为2得到∴|t2﹣2t﹣3|＝2，解方程即可求出答案． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）； 当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）； （2）将解析式配方可得y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值﹣4． （3）由条件可知|t2﹣2t﹣3|＝2， 即 t2﹣2t﹣3＝2或 t2﹣2t﹣3＝﹣2， 解得或 ． 【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2025秋•崇明区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． （1）求点A和点B的坐标； （2）若点E与点C关于抛物线的对称轴对称，联结AE，AC，若AC平分∠EAO，求抛物线的表达式； （3）若点P是抛物线第四象限上一动点，联结AD、AC、DP、CP，线段DP与线段AC交于点F，与x轴交于点G，当S△ADF＝S△CFP时，求的值． 【分析】（1）令y＝0得：0＝ax2+2ax﹣3a，即可解得A（﹣3，0），B（1，0）； （2）求出抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1，C（0，﹣3a），可得E（﹣2，﹣3a），EC∥x轴，而AC平分∠EAO，可知AE＝CE，即2，解得a或a，即可得抛物线的表达式为yx2x； （3）求出D（﹣1，﹣4a），直线CD解析式为y＝ax﹣3a，由S△ADF＝S△CFP，可得AP∥CD，即可求出直线AP解析式为y＝ax+3a，解得P（2，5a），故直线DP解析式为y＝3ax﹣a，可得G（，0），再求出DG，GP，从而可得答案． 【解答】解：（1）在y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）中，令y＝0得：0＝ax2+2ax﹣3a， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）如图： ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1， 在y＝ax2+2ax﹣3a中，令x＝0得y＝﹣3a， ∴C（0，﹣3a）， ∵点E与点C关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称， ∴E（﹣2，﹣3a），EC∥x轴， ∴∠ECA＝∠CAO， ∵AC平分∠EAO， ∴∠EAC＝∠CAO， ∴∠ECA＝∠EAC， ∴AE＝CE， ∵A（﹣3，0），C（0，﹣3a），E（﹣2，﹣3a）， ∴2， 解得a或a， ∵a＜0， ∴a， ∴抛物线的表达式为yx2x； （3）如图： ∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴D（﹣1，﹣4a）， ∵C（0，﹣3a）， ∴直线CD解析式为y＝ax﹣3a， ∵S△ADF＝S△CFP， ∴S△ADP＝S△ACP， ∴AP∥CD， 设直线AP解析式为y＝ax+m， 把A（﹣3，0）代入得：0＝﹣3a+m， ∴m＝3a， ∴直线AP解析式为y＝ax+3a， 联立， 解得或， ∴P（2，5a）， 由D（﹣1，﹣4a），P（2，5a）得直线DP解析式为y＝3ax﹣a， 在y＝3ax﹣a中，令y＝0得x， ∴G（，0）， ∵D（﹣1，﹣4a），P（2，5a）， ∴DG，GP， ∴． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，两点间距离公式的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握上述知识． 课后巩固 · 针对性练习 【作业1】（2024秋•奉贤区期末）在直角坐标平面xOy中，直线yx+2向下平移5个单位后，正好经过抛物线y＝ax2+8ax+2的顶点C，抛物线与y轴交于点B． （1）求点C的坐标； （2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当∠MBC＝∠BCO时，求点M的坐标； （3）将原抛物线顶点C平移到直线yx+2上，记作点C1，新抛物线与y轴的交点记作点B1，当∠BB1C1＝45°时，求BB1的长． 【分析】（1）由待定系数法求出抛物线表达式，即可求解； （2）当∠MBC＝∠BCO时，则BH＝CH，即m2+（m﹣2）2＝（m+4）2+（m+2）2，进而求解； （3）∠BB1C1＝45°，则三角形B1C1H为等腰直角三角形，则C1H＝B1H，即|m|m2m+2﹣（m+2）m2，即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（﹣4，﹣16a+2）， 直线yx+2向下平移5个单位得到yx﹣3， 将点C的坐标得到上式得：﹣16a+2（﹣4）﹣3，则a， 则点C（﹣4，﹣2）； （2）由抛物线的表达式知，点B（0，2）， 由点C的坐标得，直线OC的表达式为：yx， 设直线BM交OC于点H，设点H（m，m）， ∵∠MBC＝∠BCO，则BH＝CH，即m2+（m﹣2）2＝（m+4）2+（m+2）2， 解得：m，则点H（，）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝2x+2， 当x＝﹣4时，y＝﹣6， 即点M（﹣4，﹣6）； （3）设点C1（m，m+2）， 由题意得：新抛物线的表达式为：y（x﹣m）2m+2，则点B1（0，m2m+2）， 如图，直线yx+2过点B， 过点C1作C1H⊥y轴于点H， ∵∠BB1C1＝45°，则三角形B1C1H为等腰直角三角形， 则C1H＝B1H，即|m|m2m+2﹣（m+2）m2， 解得：m＝±4， 当m＝4时，BB1m2m+2﹣2＝3， 当m＝﹣4时，同理可得，BB1＝5， 故BB1m2m+2﹣2＝3或5． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【作业2】（2024秋•闵行区期末）已知抛物线C1：y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上． （1）求抛物线C1的解析式及顶点P的坐标； （2）将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位，再向下平移n（n＞0）个单位，得到新抛物线C2，新抛物线C2的顶点为Q，与抛物线C1的交点为点B，如果四边形PABQ是平行四边形，求m、n之间的关系式； （3）在（2）的条件下，抛物线C2的对称轴与直线AP交于点E，与抛物线C1交于点F，且S△PEQ：S△BFQ＝3：1，求此时抛物线C1上落在平行四边形PABQ内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标t的取值范围． 【分析】（1）根据y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上，得出b＝2，c＝3，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）Q（1+m，4﹣n），B（m，3﹣n），根据B（m，3﹣n） 在C1上，得出3﹣n＝﹣m2+2m+3，即n＝m2﹣2m（m＞0）； （3）先求出E，F的坐标，再根据S△PEQ：S△BFQ＝3：1，得出（m2﹣m）m＝6m，求出m的值，得出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），顶点P在直线x＝1上， ∴c＝3，， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3， ∵当x＝1时，y＝4， ∴P（1，4）； （2）由题意得：Q（1+m，4﹣n），B（m，3﹣n）， ∵B（m，3﹣n） 在C1上， ∴3﹣n＝﹣m2+2m+3，即n＝m2﹣2m（m＞0）； （3）设 y＝kx+d，过A（0，3），P（1，4）得：y＝x+3， 当 x＝1+m 时，y＝m+4，即E（m+1，m+4）， 将x＝1+m，代入y＝﹣x2+2x+3，得：y＝4﹣m2，即F（m+1，4﹣m2）， ∴，m， ∵S△PEQ：S△BFQ＝3：1， ∴（m2﹣m）m＝6m， ∴解得：m＝3或m＝﹣2（舍）， ∵直线PQ：y＝﹣x+5与y＝﹣x2+2x+3的交点为（2，3），（1，4）， ∴2＜t＜3． 【点评】本题考查了二次函数的性质，属于二次函数综合题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业3】（2024秋•长宁区期末）如图，在直角坐标平面xOy内，以点C为顶点的抛物线y＝x2+bx+c经过点A（4，3），且与y轴交于点B，对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线x＝t，顶点为点P． ①联结AB，如果点P在x轴上且新抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围； ②设新抛物线与直线x＝2交于点D，如果点P在原抛物线y＝x2+bx+c上，且在直线x＝2的右侧，∠CPD＝2∠CBO，求点P的坐标． 【分析】（1）先由对称轴求出b的值，再把A点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为y＝（x﹣t）2，当y＝（x﹣t）2的图象的对称轴右边图象过B点（0，3）时，有3＝（0﹣t）2，解得：；当y＝（x﹣t）2的图象的对称轴左边图象过A点（4，3）时，有3＝（4﹣t）2，解得：t，从而可知； ②如图1所示，作PE⊥CD，设P（t，t2﹣4t+3），新抛物线可设为y＝（x﹣t）2+t2﹣4t+3，故D（2，2t2﹣8t+7），证明DE＝CE，再利用三线合一性质说明∠DPC＝2∠CPE，当∠CPE＝∠CBO时，即tan∠CPE＝ tan∠CBO时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据tan∠CPE＝ tan∠CBOt﹣2，解出t的值即可得解． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x， ∴b＝﹣4，y＝x2﹣4x+c， 把A（4，3）代入y＝x2﹣4x+c，可得c＝3， ∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x+3． （2）∵抛物线表达式为y＝x2﹣4x+3， 故B（0，3），C（2，﹣1）． ①当点P在x轴上时，新抛物线的解析式可设为y＝（x﹣t）2， 当y＝（x﹣t）2的图象的对称轴右边图象过B点（0，3）时，有3＝（0﹣t）2， 解得：，（舍去）； 当y＝（x﹣t）2的图象的对称轴左边图象过A点（4，3）时，有3＝（4﹣t）2， 解得：，（舍去）． 故t的取值范围为； ②如图1所示，作PE⊥CD， 设P（t，t2﹣4t+3），且点P为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线x＝t， 则新抛物线可设为y＝（x﹣t）2+t2﹣4t+3，又D点横坐标为2， 则yD＝2t2﹣8t+7，故D（2，2t2﹣8t+7）， ∴DE＝yD﹣yP＝2t2﹣8t+7﹣t2+4t﹣3＝t2﹣4t+4＝（t﹣2）2， CE＝yP﹣yC＝（t﹣2）2， ∴DE＝CE，从而知PE为DC中垂线， ∴DP＝CP，由三线合一性质可得：∠DPC＝2∠CPE， ∴当∠CPE＝∠CBO时，即tan∠CPE＝ tan∠CBO时，满足题意． 故tan∠CPE＝ tan∠CBOt﹣2， ∵tan∠CBO， 即，故t， 故P（）． 【点评】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 【作业4】（2024秋•宝山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m、m+1． （1）联结AD、BD，求cot∠ODA﹣cot∠ODB的值（结果用含a的代数式表示）； （2）如果y轴上存在点C，使得AC⊥BC，且AC＝BC， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且△ADE与△ABC相似，求点E的坐标． 【分析】（1）由cot∠ODA﹣cot∠ODB，即可求解； （2）①证明△CMA≌△BNC（AAS），得到MA＝CN，CM＝BN，即可求解； ②证明△BAC为等腰直角三角形，且△ADE与△ABC相似，则△ADE为等腰直角三角形，进而求解． 【解答】解：设点A、B的坐标分别为：（m，am2+4），（m+1，a（m+1）2+4）， （1）由抛物线的表达式知，点D（0，4）， 则cot∠ODA﹣cot∠ODBa； （2）①AC⊥BC，且AC＝BC，则△ABC为等腰直角三角形，设点C（0，y）， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵∠MCA+∠BCN＝90°，∠BCN+∠NCB＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， ∵∠CMA＝∠BNC＝90°， ∴△CMA≌△BNC（AAS）， 则MA＝CN，CM＝BN， 即m＝y﹣[a（m+1）2+4]且m+1＝am2+4﹣y， 整理得：2m+1＝a（2m+1）×（﹣1），则a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4； ②由点A、B的坐标得：（m+1﹣m）2+[﹣（m+1）2+4﹣m2﹣4]2， 解得：m＝1， 则点A、B的坐标分别为：（1，3）、（2，0）， 由m＝y﹣[a（m+1）2+4]得：y＝1，即点C（0，1）； ∵AC⊥BC，且AC＝BC， 则△BAC为等腰直角三角形， ∵△ADE与△ABC相似，则△ADE为等腰直角三角形， 过点A作AM⊥y轴于点M，则点M（0，3）， 则MD＝4﹣3＝1＝AM， 故当点E和点M重合时，即点E（0，3）此时，符合题意； 如图，取ME′＝1，则△ADE′为等腰直角三角形， 即点E′（0，2）符合题意， 综上，E（0，3）或（0，2）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似和解直角三角形等，数据处理是解题的关键． 【作业5】（2024秋•金山区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0），f（x）的图象与x轴的两个交点分别为点P、点Q（其中点P在点Q左侧）． （1）若将f（x）的图象向上平移2个单位，得到的新抛物线g（x）经过点（1，﹣3），求新抛物线g（x）的表达式； （2）若f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，求b的取值范围； （3）在（1）中所求的g（x）的图象与y轴的交点记为点B，与x轴的正半轴交点记为点A，点M在g（x）的图象上．当直线MQ与直线PB垂直，且时，求点M的坐标． 【分析】（1）把点（1，﹣3）代入解析式f（x）中即可解出b的值； （2）先求出抛物线f（x）的对称轴为直线x，开口向上，当x时，y随x的增大而增大，又f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势，从而1，解得：﹣3≤b＜0． （3）先求出B（0，），A（3，0），P（﹣1，0），Q（﹣b，0），则QP＝﹣b+1，QA，根据建立方程﹣b+1＝3，解得b，所以Q（，0），当直线MQ与直线PB垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图1所示，可证明tan∠OQG＝tan∠HBG，即，解得OG，从而可得G（0，），根据待定系数法可求得直线QG的解析式为y，最后联立，可求M点坐标． 【解答】解：（1）由题知，g（x）＝x2+（b+1）x+b+2（b＜0），又过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝1+b+1+b+2，b， 故抛物线g（x）的表达式为g（x）． （2）抛物线f（x）＝x2+（b+1）x+b（b＜0）的对称轴为直线x，开口向上， 当x时，y随x的增大而增大，又f（x）的图象在直线x＝1的右侧呈上升趋势， ∴1，解得：﹣3≤b＜0． （3）由（1）得g（x）（x﹣3）（x）， 则B（0，），A（3，0）， 而f（x）＝x2+（b+1）x+b＝（x+b）（x+1）（b＜0）， 故P（﹣1，0），Q（﹣b，0）， 则QP＝﹣b+1，QA，且， 即﹣b+1＝3，解得b或7（舍去）． ∴Q（，0）， 当直线MQ与直线PB垂直时，垂足为H，交y轴于点G，如图1所示， ∵∠GHB＝∠GOQ＝90°，∠OGQ＝∠HGB， ∴∠OQG＝∠HBG，从而tan∠OQG＝tan∠HBG， 即，即，解得OG， 从而G（0，）， 根据待定系数法可求得直线QG的解析式为y， 联立，整理得：6x2﹣19x﹣7＝0， 解得：，， 故点M的坐标为（，）或（，2）． 【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的图象平移，二次函数的增减性性质，线线垂直问题，线段的倍分关系问题，掌握以上内空并能数形结合分析是解题的关键． 【作业6】（2024秋•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M1：y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）． （1）求抛物线M1的解析式； （2）把抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2，记抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P． ①当点P与点A重合时，求m的值； ②记点B平移后的对应点为B′，如果BD∥B′P，求此时点D的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可； ②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可． 【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，5）分别代入解析式， 得：， 解得：，c＝5， ∴抛物线M1的解析式为：； （2）①由题意，得，抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2， 故抛物线M2的解析式可设为：， ∴，E（0，5﹣m）， 设直线DE的解析式为：y＝kx+5﹣m， ∴， 解得， ∴直线DE的解析式为， ∴P（3m﹣15，0）， 又∵点P与点A（﹣3，0）重合， ∴3m﹣15＝﹣3， ∴m＝4； ②记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么H（1，0），且DH∥BB′∥y轴， ∵， ∴B（5，0）， 当点P在点B左侧时， ∴BH＝5﹣1＝4，，BP＝5﹣（3m﹣15）＝20﹣3m，BB′＝m， ∵DH∥BB′∥y轴， ∴∠DBH＝∠B′PB， ∵∠DHB＝∠B'BP＝90°， ∴△B′PB∽△DBH， ∴， ∴， 解得； 同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立， 有：， 解得：， ∴点D的坐标为． 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【作业7】（2024秋•杨浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+6mx+n（m＜0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，顶点为D． （1）求此抛物线的对称轴及点B的坐标； （2）点P是该抛物线上的一点，设对称轴与x轴交于点E，如果BP恰好平分线段DE，求点P的坐标（用含m的式子表示）； （3）在（2）的条件下，联结PD、AP，当∠DPB＝∠PAB时，求m的值． 【分析】（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x3，根据函数的对称性，由中点坐标公式得：点B（﹣5，0）； （2）设DE的中点为H，则其坐标为（﹣3，﹣2m），如果BP恰好平分线段DE，则点H在BP上，即可求解； （3）在△DHP中，DH＝﹣2m，PD2＝1+m2，tan∠HDN＝﹣m，tan∠DPB＝﹣3m，用解直角三角形的方法即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x3， 根据函数的对称性，由中点坐标公式得：点B（﹣5，0）； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝m（x+1）（x+5）＝m（x2+6x+5）， 则点D（﹣3，﹣4m），设DE的中点为H，则其坐标为（﹣3，﹣2m）， 如果BP恰好平分线段DE，则点H在BP上， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝﹣m（x+5）， 联立上式和抛物线的表达式得：m（x2+6x+5）＝﹣m（x+5）， 解得：x＝﹣5（舍去）或﹣2，即点P（﹣2，﹣3m）； （3）过点D作DN⊥BP于点N，则∠HDN＝∠PBA， 由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝3m（x+1），即tan∠PAB＝﹣3m＝tan∠DPB， 由直线PB的表达式得：tan∠PBA＝﹣m﹣＝tan∠HDN， 由点D、H、P的坐标得，DH＝﹣2m，PD2＝1+m2， 在△DHP中，DH＝﹣2m，PD2＝1+m2，tan∠HDN＝﹣m，tan∠DPB＝﹣3m， 故设DN＝﹣3mx，则PN＝x，HN＝3m2x， 则PD2＝PN2+DN2＝9m2x2+x2＝（1+m2）2，DH2＝DN2+NH2＝9m2x2+9m4x2＝4m2， 联立上述两式得：（9m2+1）：（9m2+9）＝（m2+1）：4， 解得：m或m； 当m时，点P（﹣2，），N（，）， ∴∠DPN＝∠PAB，∠DPN+∠DPB＝180°， ∴∠PAN+∠DPB＝180°，不符合题意，舍去； ∴m； 方法2：延长AP交DQ于点G， ∵P（﹣2，﹣3m），A（﹣1，0）， ∴AP的解析式为y＝3mx+3m， 当3mx+3m＝﹣4m时，解得x， ∴G（，﹣4m）， ∵∠DPB＝∠PAB＝∠PGQ， ∴∠DPG＝∠Q， ∴△DPG∽△DPQ， ∴DP2＝DG•DQ， ∴1+m2， 解得m． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【作业8】（2024秋•黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+4x+c（c＞0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线PC与x轴交于点D． （1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标； （2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点P'落在线段PC的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且P'E⊥PP'． ①求该抛物线两次平移的方向和距离； ②点A在新抛物线上的对应点A'，如果DA'被y轴平分，求原抛物线的表达式． 【分析】（1）化成顶点式，可求得顶点P的坐标为 （2，4+c），利用待定系数法求得直线PC的解析式，据此求解即可； （2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点p的坐标为（2+m，4+c+n），得到新抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2﹣m）2+4+c+n，利用待定系数法求得直线P'P的解析式，推出直线P'P与直线PC重合，得到H＝2，由题意得到∠CP'E＝90°，利用勾股定理列式计算求得据此即可求解； ②根据题意求得点A'的坐标为，根据DA'被y轴平分，得到据此求解即可． 【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c， ∴顶点P的坐标为（2，4+c）， 当x＝0时，y＝c， ∴点C的坐标为（0，c）， 设直线PC的解析式为y＝kx+c， ∴2k+c＝4+c，解得k＝2， ∴直线PC的解析式为y＝2x+c， 当y＝0时，0＝2x+c， 解得， ∴点D的坐标为（，0）； （2）①该抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位，则顶点p的坐标为（2+m，4+c+n）， ∴y＝﹣x2+4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c， ∴新抛物线的解析式为y'＝﹣（x﹣2﹣m）2+4+c+n， 当x＝0时，y'＝﹣m2﹣4m+c+n， ∴点E的坐标为（0，﹣m2﹣4m+c+n）， 设直线P'P的解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得， ∴直线P'P的解析式为， 顶点P'落在线段PC的延长线上， ∴直线P'P与直线PC重合， ∴， ∵P'E⊥P'P， ∴△CP'E是直角三角形，且∠CP'E＝90°， ∴CP2+EP2＝CE2， ∴CP2＝（2+m）2+（4+c+n﹣c）2＝（2+m）2+（4+2m）2， EP2＝（2+m）2+（4+c+n+m2+4m﹣c﹣n）2＝（2+m）2+（m2+4m+4）2， CE2＝（c+m2+4m﹣c﹣n）2＝（m2+4m﹣2m）2＝（m2+2m）2， 即（2+m）2+（4+2m）2+（2+m）2+（m2+4m+4）2＝（m2+2m）2， 解得， ∴n＝﹣5， ∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位； ②当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+4+c， 解得， ∵点A在点B的右侧， ∴点A的坐标为， ∴点A的坐标为， 又∵，且DA'被y轴平分， ∴， ∴， 解得c＝5或﹣3， ∵c＞0， ∴c＝5， ∴原抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5． 【点评】本题考查了根据已知条件确定二次函数的解析式，二次函数平移后解析式的变化情况以及勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【作业9】（2024秋•普陀区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点A的坐标为（1，﹣2），与y轴交于点B．将抛物线沿射线BA方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． （1）求原抛物线的表达式； （2）求m关于n的函数解析式； （3）在抛物线平移过程中，如果∠NBM是锐角，求平移距离的取值范围． 【分析】（1）根据顶点的坐标为 （1，﹣2），列出方程，求解即可； （2）先求出直线AB的表达式为y＝x﹣3，根据题意求出点M的坐标为（m，m﹣3），点N的坐标为（n，﹣n2+2n﹣3），计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【解答】解：（1）∵原抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）顶点的坐标为 （1，﹣2）， ∴， 解得：a＝﹣1，b＝2， ∴原抛物线的表达式是y＝﹣x2+2x﹣3； （2）∵点A的坐标为 （1，﹣2），点B的坐标为（0，﹣3）， ∴直线AB的表达式为y＝x﹣3， ∵抛物线沿射线BA方向平移，可得顶点M始终落在射线BA上， ∴点M的坐标为（m，m﹣3），平移后抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣m）2+m﹣3， ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为（n，﹣n2+2n﹣3）， ∴﹣n2+2n﹣3＝﹣（n﹣m）2+m﹣3， 化简得：m2﹣2mn﹣m+2n＝0，得 （m﹣2n）（m﹣1）＝0， ∵m﹣1≠0， ∴m﹣2n＝0， 解得：m＝2n， ∴m关于n的函数解析式为m＝2n； （3）过点B作BG⊥MB，交原抛物线于点G， ∴∠GBM＝90°， 当点N在AG之间的抛物线上运动时，∠NBM是锐角． 当点N与点G重合时， 过点N作NE⊥y轴，垂足为点E，过点A作AF⊥y轴，垂足为点F， 点N的坐标为（n，﹣n2+2n﹣3），点B的坐标为 （0，﹣3），点A的坐标为 （1，﹣2）， ∴可得 AF＝BF＝1，EN＝n，BE＝n2﹣2n， ∵△ABF∽△BNE， ∴n2﹣2n＝n， ∵n≠0， ∴n＝3， ∵点M的坐标为 （2n，2n﹣3）， ∴， ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当∠NBM是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业10】（2024秋•青浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2（a＜0）经过直线y＝﹣x上的点A，已知． （1）求该抛物线的表达式； （2）将抛物线y＝ax2（a＜0）先向右平移1个单位，再向上平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线与y轴相交于点C，如果， ①求k的值； ②设新抛物线的顶点为点D，新抛物线上的点B是点A的对应点．联结OD、CD，在新抛物线的对称轴上存在点P，使得∠OPB＝∠ODC，求点P的坐标． 【分析】（1）先求出点A（2，﹣2），再将点A（2，﹣2）代入y＝ax2（a＜0），得﹣2＝4a，解得，可得答案； （2）①先求出新抛物线表达式为，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，得出，可求得，OC从而得出C（0，），再将点C（0，）代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点P在线段DE的延长线上时，Ⅱ．当点P在射线DE上时，分别进行求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2（a＜0）经过直线y＝﹣x上的点A， ∴点A在第四象限， 设点A（x，﹣x），由OA得点A（2，﹣2）， 将点A（2，﹣2）代入y＝ax2（a＜0），得﹣2＝4a，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）①∵抛物线先向右平移1个单位，再向上平移k（k＞0）个单位后，所得新抛物线， ∴新抛物线表达式为， 如图，过点A作AH⊥y轴，垂足为H， 在Rt△ACH中，， ∴， ∴， ∴点， 将点代入， 解得k＝3； ②方法一：设直线y＝﹣x与新抛物线的对称轴为直线x＝1交于点E，则点E的坐标为（1，﹣1）， ∵点B的坐标为（3，1）， ∴∠OED＝∠DEB＝45°， ∵直线x＝1平行于y轴， ∴∠COD＝∠ODE， ∵，， ∴， ∴△OCD∽△OED， ∴∠ODC＝∠OED＝45°， ∵∠OPB＝∠ODC＝45°， ∴∠OPE＜45°， 分两种情况： Ⅰ．当点P在线段DE的延长线上时， ∵∠OED＝∠DEB＝45°， ∴∠OEP＝∠PEB＝135°， ∴∠OPE+∠POE＝∠OPE+∠PBE＝45°， ∴∠POE＝∠EPB， ∴△OPE∽△PBE， ∴， ∴， ∴PE＝2， ∴点P的坐标为（1，﹣3）； Ⅱ．当点P在射线DE上时， ∵∠BDE＝45°， ∴∠OPD＜45°， ∴点P在ED的延长线上， 在直线x＝1上取点F（1，1），同理可得△OPF∽△PBD， ∴， ∴PF•PD＝OF•BD， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述：点P的坐标为（1，﹣3）或． 方法二：如图，作CH⊥OD， 由等面积可得，CH， ∵， ∴sin∠CDH， ∴∠ODC＝45°， ∴∠OPB＝45°， ∴点O、P、B三点共圆，圆心为Q， ∴∠OQB＝90°， ①当点P在OB下方时， 易证△OMQ≌△QNB（AAS）， ∴设OM＝NQ＝m，QM＝BN＝n， ∴，解得， ∴Q（2，﹣1）， ∴OQ＝QP， 利用两点距离公式易得P（1，﹣3）； ②当点P在OB上方时， 同理可得Q（1，2）， ∴QP＝OQ， 此时点P（1，2）； 综上所述：点P的坐标为（1，﹣3）或． 【点评】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【作业11】（2024秋•静安区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，其y与x部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 0 2 3 … y … ﹣8 0 2 2 0 … （1）求此抛物线的表达式； （2）设此抛物线的顶点为P，将此抛物线沿着平行于x轴的直线l翻折，翻折后得新抛物线． ①设此抛物线与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧），且△ABP的重心G恰好落在直线l上，求此时新抛物线的表达式； ②如果新抛物线恰好经过原点，求新抛物线在直线l上所截得的线段长． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出顶点P的坐标，再根据重心的性质求出新顶点坐标，进而得解； ②由P点坐标结合对称得到新顶点坐标为，再设出新顶点解析式，代入原点，求出解析式，令y＝1，求出x即可得解． 【解答】解：（1）方法一：由题意得： ， 解得， ∴此抛物线的表达式为yx2+x+2； 方法二：根据题意，设抛物线的表达式为 y＝a（x+1）（x﹣3）， 把 x＝0，y＝2代入，解得， ∴此抛物线的表达式为； （2）①∵， ∴点P的坐标为， 过点P作PH垂直x轴于点H，则， ∵G是△ABP 的重心， ∴， ∵G在直线l上，且新抛物线与原抛物线的图象关于直线l对称， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∴根据题意可知，这两条抛物线的形状不变，开口方向相反， ∴新抛物线的表达式为； ②设直线l与y轴的交点为（0，m）， ∴关于直线l的对称点为， ∴新抛物线的表达式为， ∵它经过原点， ∴， 解得m＝1， 令y＝1，代入， 得，， ∴新抛物线在直线l上所截得的线段长为． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的翻折问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业12】（2024秋•松江区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB． （1）当时，求该二次函数的函数值； （2）定义：对于一个函数y＝f（x），满足f（x）＝x的实数x叫做这个函数的不动点．如果二次函数y＝ax2+bx+2存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； （3）将△AOB绕点B逆时针旋转，点O落在点C处，点A落在点D处，当四边形ABCD是梯形时，点C恰好落在该二次函数图象上，求该二次函数的解析式． 【分析】（1）根据解析式可得B点坐标，进而利用OA＝OB得出b＝2a+1，再将x代入求解即可； （2）令ax2+（2a+1）x+2＝x，由题易得该方程有两个相等的实数根，即可用Δ＝0求解； （3）分类讨论，当BC∥AD或当CD∥AB，画出图形，再利用直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（1）令x＝0，得y＝2， ∴B（0，2）， ∴OA＝OB＝2， ∴A（﹣2，0）， 代入解析式得4a﹣2b+2＝0得，b＝2a+1， ∴y＝ax2+（2a+1）x+2， 当时，， ∴当时，y＝0； （2）由ax2+（2a+1）x+2＝x得， ax2+2ax+2＝0， ∵有唯一的不动点， ∴Δ＝（2a）2﹣4a×2＝0， 解得：a＝0（舍）或a＝2， 当a＝2时，2x2+4x+2＝0得x＝﹣1， ∴这个不动点是x＝﹣1； （3）①当BC∥AD时，如图， BC＝CD＝2，∠C＝∠AOB＝90°， ∴C（2，2）， ∴4a+2（2a+1）+2＝2， 解得， ∴； ②当CD∥AB时，如图， BC＝BO＝2，∠C＝∠AOB＝90°，∠ABO＝∠CBO＝45°， ∴BH＝CH， ∴C（，2）， ∴， 解得， ∴． 综上，二次函数的解析式为或． 【点评】本题主要考查了待定系数法求解析式、根的判别式、等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业13】（2024秋•虹口区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，联结AC，tan∠CAO＝3，抛物线的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于x轴的对称点恰好在直线BC上． ①求点P的坐标； ②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，联结BM，如果∠MBP＝∠ABD，求点M的坐标． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）①设点P（m，﹣m2+2m+3），则点P关于x轴的对称点（m，m2﹣2m﹣3），将点（m，m2﹣2m﹣3）的坐标代入y＝﹣x+3，即可求解； ②在△BDH中，tan∠NDH，∠DBHP＝45°，故设NH＝x＝NB，则DN＝2x，则DHx，则BDBN+DN＝3x，则x，则DHx，则点H（1，），即可求解． 【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点C（0，3），则OC＝3， ∵tan∠CAO＝3，则OA＝1，即点A（﹣1，0）， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3， 则b＝2， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， 则点D（1，4）； （2）①由抛物线的表达式知，点B（3，0）， 由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点P关于x轴的对称点（m，m2﹣2m﹣3）， 将点（m，m2﹣2m﹣3）的坐标代入y＝﹣x+3得：m2﹣2m﹣3＝﹣m+3， 解得：m＝3（舍去）或﹣2， 即点P（﹣2，﹣5）； ②设BM交抛物线对称轴于点H，过点H作HN⊥BD于点N， 由点B、P的坐标得，直线BP的表达式为：y＝（x﹣3），即∠ABP＝45°， 由点B、D的坐标得：tan∠NDH， ∵∠MBP＝∠ABD，即∠DBM+∠MBA＝∠MBA＝∠ABP， ∴∠DBM＝∠ABP＝45°， 在△BDH中，tan∠NDH，∠DBH＝45°， 故设NH＝x＝NB，则DN＝2x，则DHx， 则BDBN+DN＝3x，则x， 则DHx，则点H（1，）； 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y（x﹣3）， 联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3（x﹣3）， 解得：x＝3（舍去）或， 即点M（，）． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【作业14】（2024秋•崇明区期末）已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，﹣4）三点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是抛物线在第一象限内的动点，点P的横坐标为m． ①如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求m的值； ②在y轴正半轴上存在点H，当线段PH绕点H逆时针方向旋转90°时，恰好与抛物线上的点Q重合，此时点Q的横坐标为n（n＞0），求n﹣m的值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①由PC2＝PA2+AC2，即（m+2）2+（m2﹣4）2+20＝m2+m4，即可求解； ②将直线PH平移到点O，则此时，点P′（m，m2﹣4﹣t），将点线段P′O绕点O逆时针方向旋转90°时得到点P″（﹣m2+4+t，m），将点P″向上平移t个单位得到的点为（﹣m2+4+t，m+t），该点即为点Q，即n＝m2﹣4﹣t且n2﹣4＝m+t，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣2）＝a（x2﹣4）， 则﹣4a＝﹣4，则a＝1， 即y＝x2﹣4； （2）①设点P（m，m2﹣4）， 由点P、A、C的坐标得，AP2＝（m+2）2+（m2﹣4）2，AC2＝20，PC2＝m2+m4， 如果△PAC是以PC为斜边的直角三角形，则PC2＝PA2+AC2， 即（m+2）2+（m2﹣4）2+20＝m2+m4， 解得：m＝2.5（不合题意的值已舍去）； ②设点H（0，t），点P（m，m2﹣4），点Q（n，n2﹣4）， 将直线PH平移到点O，则此时，点P′（m，m2﹣4﹣t）， 将点线段P′O绕点O逆时针方向旋转90°时得到点P″（﹣m2+4+t，m），将点P″向上平移t个单位得到的点为（﹣m2+4+t，m+t）， 该点即为点Q，即n＝m2﹣4﹣t且n2﹣4＝m+t， 整理得：n2﹣m2＝m+n， 即n﹣m＝1． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【作业15】（2024秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+1与y轴交于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）． （1）直接写出点A的坐标，并求抛物线的表达式； （2）设点C在x轴上，且∠CAB＝90°，直线AC与抛物线的另一个交点为点D． ①求点C、D的坐标； ②将抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上；点A的对应点为点P．设线段AB与x轴的交点为点Q，如果△ADP与△CBQ相似，求点P的坐标． 【分析】（1）先令x＝0可得y＝1，得点A的坐标，根据抛物线的顶点B（2，﹣1），利用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）①根据点A和B的坐标得∠BAO＝45°，所以∠CAO＝45°，可知△ACO是等腰直角三角形，可得C的坐标，从而得AC的解析式，联立方程组可得直线AC与抛物线的交点D的坐标； ②先证明∠PAD＝∠ADB＝∠BCQ，设P（m，2m+1），根据平移后B的对称点B'在线段BD上可知0≤m≤4，如果△ADP与△CBQ相似，存在两种情况：或，列方程可得结论． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝1， ∴A（0，1）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1， 把A（0，1）代入得：1＝a（0﹣2）2﹣1， ∴a， ∴抛物线的表达式为：y（x﹣2）2﹣1； （2）①如图1， ∵A（0，1），B（2，﹣1）， ∴∠BAO＝45°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAO＝45°， ∴OC＝OA＝1， ∴C（﹣1，0）， 设AC的解析式为：y＝kx+m， 则，解得：， ∴AC的解析式为：y＝x+1， 则，解得：或， ∴D（6，7）； ②∵A（0，1），B（2，﹣1）， 同理得直线AB的解析式为：y＝﹣x+1， ∴Q（1，0）， ∴CQ＝2，BC， ∵D（6，7），A（0，1）， ∴AD6，AB2， 如图2，同理得：直线BD的解析式为：y＝2x﹣5， 由平移得：AP∥BD，则直线AP的解析式为：y＝2x+1， ∴∠PAD＝∠ADB， ∵tan∠BCQtan∠ADB， ∴∠PAD＝∠BCQ， 设抛物线平移后的顶点为B'，P（m，2m+1），则APm，B'（m+2，2m﹣1）， ∵抛物线y＝ax2+bx+1沿着射线BD的方向平移；平移后的抛物线顶点仍在线段BD上， ∴0≤m≤4， 如果△ADP与△CBQ相似，有以下两种情况： i）当时，即， 解得：m＝2.4， ∴P（2.4，5.8）； ii）当时，即， 解得：m＝6（不符合题意，舍去）， 综上，P（2.4，5.8）． 【点评】本题是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，两点的距离公式，相似三角形的性质和判定，平移的性质等知识，解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $