4.4.2对数函数的图像和性质同步练习2-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练以对数函数图像和性质为核心，通过基础巩固、性质应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到逻辑推理的进阶，培养数学抽象、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定点、图像作图等单一概念|如选择3（定点坐标）、解答12（作图），直接巩固新授核心知识| |进阶层|单调性、奇偶性等性质应用|如选择2（单调区间）、填空9（偶函数参数），深化对性质的理解与运算| |提高层|复合函数、大小比较等综合探究|如选择6（复合函数单调性）、解答14（定义域与最值），培养逻辑推理与问题解决能力|

对数函数的图像和性质1 一、选择题 1．【2026·河北衡水高一期末】已知f(x)=log3x，则的大小是(　　) A. B. C. D. 2.【2026·广东·质量检测】函数的单调递增区间是(　　) A. B.C D. 3．【2025-2026·广西柳州高一月考】已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　) A．(0,5) B．(1,4) C．(2,4) D．(2,5) 4．【2026·天津高一期末】已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 5.【2026·天津高一期末】已知a＝log23，b＝log34，c＝log1.54 ，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<a<c B．c<b<a C.a<b<c D．b<c<a 6.【2026·河北衡水高一期末】已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　) A．(0,1)　　　　 B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞) 7．(多选)【2025-2026·广西柳州高一月考】已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若x>1，则f(x)>0 D．若0<x1<x2，则<f 8．(多选)【2026·河北衡水高一期末】下列大小关系正确的是(　　) A.20.3<20.4 B．30.2<40.2 C.log23<log48 D．log23>log32 二、填空题 9.【2026·天津高一期末】若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为　　　　.  10.【2025-2026·广西柳州高一月考】函数恒过定点________． 11．【2026·河北衡水高一期末】已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 三、解答题 12．【2025-2026·广西柳州高一月考】已知f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围． 13.【2026·广东·质量检测】已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x). (1)判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)若f(m－2)<f(m)，求m的取值范围． 14.【2026·广东·质量检测】已知函数f(x)＝loga(2＋x)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)的图象过点(1，2). (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在[0，3]上的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 对数函数的图像和性质2 一、选择题 1．【2026·河北衡水高一期末】已知f(x)=log3x，则的大小是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由函数y=log3x的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x的增大，函数值y也在增大，故． 2.【2026·广东·质量检测】函数的单调递增区间是(　　) A. B.C D. 【答案】D 【解析】由对数函数性质知，函数是一个减函数，当时，函数值小于0，函数的图象可由函数的图象轴下方的部分翻到轴上面，轴上面部分不变而得到，由此知，函数的单调递增区间是，故选D. 点睛：本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值函数与原来的函数图象间的关系，其关系是：与原函数轴上方的部分相同，轴下方的部分关于轴对称，简称为“上不动，下翻上”. 3．【2025-2026·广西柳州高一月考】已知函数f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是(　　) A．(0,5) B．(1,4) C．(2,4) D．(2,5) 【答案】C 【解析】令x－1＝1，即x＝2，则f(x)＝4.即函数图象恒过定点Q(2,4)．故选C. 4．【2026·天津高一期末】已知loga>logb>0，则下列关系正确的是(　　) A．0<b<a<1 B．0<a<b<1 C．1<b<a D．1<a<b 【答案】A 【解析】由loga>0，logb>0，可知a，b∈(0,1)， 又loga>logb，作出图象如图所示， 结合图象易知a>b，∴0<b<a<1. 5.【2026·天津高一期末】已知a＝log23，b＝log34，c＝log1.54 ，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<a<c B．c<b<a C.a<b<c D．b<c<a 【答案】A 【解析】因为a＝log23>log22＝log22＝，且a＝log23<log24＝2，所以<a<2；因为b＝log34<log33＝log33＝，所以b<；因为c＝log1.54>log1.52.25＝2，所以c>2，所以b<a<c. 6.【2026·河北衡水高一期末】已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　) A．(0,1)　　　　 B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞) 【答案】B 【解析】∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数， ∴ 即∴∴1＜a＜2. 7．(多选)【2025-2026·广西柳州高一月考】已知函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)图象经过点(4,2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若x>1，则f(x)>0 D．若0<x1<x2，则<f 【答案】ACD 【解析】由题知2＝loga4，a＝2，故f(x)＝log2x. 函数为增函数，故A正确； f(x)＝log2x不为偶函数，故B错误； 当x>1时，f(x)＝log2x>log21＝0成立，故C正确； 因为f(x)＝log2x往上凸，故若0<x1<x2， 则<f 成立，故D正确． 8．(多选)【2026·河北衡水高一期末】下列大小关系正确的是(　　) A.20.3<20.4 B．30.2<40.2 C.log23<log48 D．log23>log32 【答案】ABD 【解析】A选项：由指数函数y＝2x为增函数，可得20.3<20.4成立，所以A选项正确；B选项：由幂函数y＝x0.2为增函数，可得30.2<40.2成立，所以B选项正确；C选项：由对数函数y＝log4x为增函数，得log23＝log49>log48，所以C选项不正确；D选项：由函数y＝log2x与y＝log3x均为增函数，得log23>log22＝1，log32<log33＝1，所以D选项正确． 二、填空题 9.【2026·天津高一期末】若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为　　　　.  【答案】0 【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数, 所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1), 所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0. 10.【2025-2026·广西柳州高一月考】函数恒过定点________． 【答案】(1,2) 【解析】当时，.所以函数恒过定点(1,2). 11．【2026·河北衡水高一期末】已知函数f(x)＝f(f(－1))＝________；若直线y＝a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________． 【答案】－1　(0,1]　 【解析】∵f(－1)＝3－1＝，∴f(f(－1))＝f ＝log3＝－1. 函数f(x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f(x)的图象有两个不同的交点，则0<a≤1. ] 三、解答题 12．【2025-2026·广西柳州高一月考】已知f(x)＝log3x. (1)作出这个函数的图象； (2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围． 【解析】 (1)作出函数f(x)＝log3x的图象如图所示． (2)令f(x)＝f(2)， 即log3x＝log32，解得x＝2. 由图象知： 当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)． 所以所求a的取值范围为0<a<2. 13.【2026·广东·质量检测】已知函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x). (1)判断函数y＝f(x)的奇偶性； (2)若f(m－2)<f(m)，求m的取值范围． 【解析】 (1)要使函数f(x)有意义，则解得－2<x<2. ∴函数y＝f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，显然定义域关于原点对称， ∵f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝f(x)， ∴函数y＝f(x)为偶函数． (2)函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)＝lg (4－x2)， 由复合函数的单调性可知，当0≤x<2时，函数y＝f(x)为减函数；当－2<x<0时，函数y＝f(x)为增函数，∴不等式f(m－2)<f(m)等价于|m|<|m－2|，解得m<1. 由－2<m－2<2，－2<m<2，解得0<m<2. 综上所述，m的取值范围是(0，1). 14.【2026·广东·质量检测】已知函数f(x)＝loga(2＋x)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)的图象过点(1，2). (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在[0，3]上的最小值． 【解析】 (1)由f(x)的图象过点(1，2)，可得f(1)＝loga(2＋1)＋loga(4－1)＝2loga3＝2，解得a＝3， 则有f(x)＝log3(2＋x)＋log3(4－x)， 则解得－2<x<4， 故f(x)的定义域为(－2，4). (2)因为f(x)＝log3(2＋x)＋log3(4－x)＝log3[(2＋x)(4－x)]＝log3(8＋2x－x2)，令t＝8＋2x－x2＝－(x－1)2＋9，x∈[0，3]，所以t∈[5，9]， 所以f(x)在[0，3]上的最小值为log35. 学科网（北京）股份有限公司 $