4.4.2对数函数的图像和性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦对数函数图像与性质，分层设计从基础概念到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度巩固知识，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义域、值域、单调性等单一概念|直接应用定义，如单选题1-5求解定义域、填空题12-14求值域，夯实运算能力| |进阶层|性质综合应用（比较大小、参数范围）|结合函数性质判断，如多选题10-11比较大小、填空题15-16求参数，发展推理意识| |综合层|实际情境与综合探究|联系现实问题，如单选题9地震能量计算、解答题18-21奇偶性与单调区间分析，体现模型应用|

4.4.2 对数函数的图像和性质（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 8．已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为：．年月日，我国汶川发生了里氏级大地震，它所释放出来的能量约是年月日我国泸定发生的里氏级地震释放能量的（    ）倍．（参考数据：，，） A． B． C． D． 二、多选题 10．已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 11．下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的值域是_____. 13．已知函数，则的定义域是_________. 14．函数的定义域为______． 15．已知函数的最大值为3，则______． 16．若函数的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为______. 17．已知函数（a，c为常数，其中，且）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是______．（填序号） ①，；②，；③，；④，． 四、解答题 18．已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 19．已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 20．已知函数，且． (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并证明； (3)若，求的取值范围． 21．已知函数，. (1)求函数的定义域； (2)如果试判断函数的奇偶性，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.4.2 对数函数的图像和性质（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C B D A D A B ABD 题号 11 答案 ABC 1．A 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 2．D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 3．C 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 4．B 【知识点】求对数型复合函数的值域 【详解】依题意可知函数定义域为， 所以函数， 即的值域为. 5．D 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】利用具体函数定义域的求法可得答案. 【详解】要使有意义， 需：，解得：. 所以函数的定义域为, 故选：D 6．A 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的值域求参数值或范围、根据幂函数值域求参数或范围 【分析】根据指对幂函数的性质判断参数的范围，即可得大小关系. 【详解】由，则. 故选：A 7．D 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据已知函数的性质逐项分析. 【详解】对于A，因为在上单调递减，A错误； 对于B，因为在上单调递减，B错误； 对于C，因为在上单调递减，C错误； 对于D，因为时，在单调递增，D正确. 8．A 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】令，得到，根据恒成立，得到，即可求解. 【详解】令，可得函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 9．B 【知识点】指数式与对数式的互化、利用对数函数的性质综合解题 【分析】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、，利用对数的运算性质可求得的值. 【详解】设里氏级、里氏级地震释放的能量分别为、， 则，即， 所以，. 故选：B. 10．ABD 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 11．ABC 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】利用对数，指数运算法则进行计算. 【详解】对于A，由对数恒等式知，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，， 故D错误． 故选：ABC 12． 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 13． 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意可知，即， 则的定义域是. 14． 【知识点】求对数型复合函数的定义域 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 15．2 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据对数函数的最值求参数或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式及对数函数的单调性即可求解. 【详解】，令， ， 当且仅当，即时等号成立， 又单调递增，，即，解得． 故答案为：2. 16． 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由题意，根据对数函数的图象可知，利用对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】由对数函数的性质，得，解得， 则函数的定义域为，又函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，即，化简得， 则，解得. 故答案为： 17．④ 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、对数函数图象的应用 【分析】根据对数函数的图象确定单调性，得，再由对应函数值符号得，即可得. 【详解】由图知，函数在定义域内为减函数，所以， 当时，，所以． 故答案为：④ 18．(1)9 (2) 【知识点】解分段函数不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、求分段函数值 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据对数函数和指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 19．(1) (2) 函数为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数. (3)单调递减区间为，无单调递增区间 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据对数可得，解不等式即可得函数定义域； （2）根据题意结合奇函数的定义分析判断即可； （3）根据对数函数单调性结合复合函数单调性分析判断. 【详解】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为. （2）略 （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 20．(1). (2) 为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由对数的真数为正数求解即可； （2）由奇偶性的定义证明即可； （3）由，利用对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）， 所以由，得， 所以的定义域为. （2）略 （3）因为的定义域为，， 令， 由于对数函数单调递减，所以，解得. 所以的取值范围为. 21．(1) (2)函数为偶函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域 【分析】（1）根据对数函数定义域列式求解即可； （2）根据题意结合偶函数的定义分析判断. 【详解】（1）由题意可得， 根据对数函数性质可知，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数为偶函数，理由如下： 由（1）可知，函数的定义域为关于原点对称， 又因为， 所以函数为偶函数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $