精品解析：广西壮族自治区玉林市第一中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 命题：李梅 审题：陈东艺、黄明 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间：9月1日15:00-17:00，共120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知：，：，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，与轴相切 C. 当时，与相切 D. 当与相交时，两个交点所在直线的方程为 10. 记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前12项和为24 11. 已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（ ） A. E的准线方程为 B. 若与E没有公共点，则 C. 若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D. 若，则面积的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列满足，且，则________． 13. 若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 为研究高中生数学成绩进步与平时积极提问的关系，从某校的学生中随机抽了1000人，得到如下列联表： 是否积极提问组别 积极提问 不积极提问 合计 数学成绩进步 120 280 400 数学成绩不进步 80 520 600 合计 200 800 1000 （1）记该校平时不积极提问的学生其数学成绩进步的概率为．求的估计值． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否积极提问与数学成绩进步有关． 附：． 16. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 18. 在中，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 19. 已知函数． （1）当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 命题：李梅 审题：陈东艺、黄明 注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间：9月1日15:00-17:00，共120分钟. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，所以 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积公式可得，由夹角公式即可得结果. 【详解】， ，故夹角为. 故选：D. 4. 已知椭圆的离心率为，则其长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆的标准形式为，则，即， 离心率，即，解得， ， ，故长轴长为． 5. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正棱台的几何特点，结合已知条件，求得棱台的高，再求棱台体积即可. 【详解】对正四棱台，连接，取中点分别为，连接，如下所示： 因为为正四棱台，则四边形均为正方形，且垂直于上下底面，， 易知//，，故四边形为平行四边形，则//，且， 因为，则，又，且， 由，即，解得； 由面，面，则； 则， 又正方形的面积为，正方形的面积为， 故正四棱台的体积. 故选：B. 6. 把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为  种. 故所有分配方案共有种. 7. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可. 【详解】因为，所以，又， 所以 . 故选：A. 8. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将函数变形，令换元得到是偶函数且在 [0,+∞) 单调递增，再把不等式转化为两个函数值的大小关系，利用偶函数性质及单调性求解. 【详解】，令，则， 因为对任意，，且， 所以是偶函数，且当时，单调递增， 所以，即， 由，两边平方得，整理得， 解得或，即实数的取值范围为， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知：，：，则（ ） A. 点的坐标为 B. 当时，与轴相切 C. 当时，与相切 D. 当与相交时，两个交点所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 10. 记为等差数列的前项和.已知，下列说法正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前12项和为24 【答案】AC 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，根据可求出与，得出A选项，然后写出等差数列的前项和公式分析即可得出选项B、C，直接计算数列的前12项和即可得出选项D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，① ，② 联立①②解得：，故A选项正确； 由， 所以等差数列的前项和为： ， 当时，有最小值，故B选项不正确； 由， 所以，故C选项正确； 数列的前12项和为： ， 故D选项不正确； 故选：AC. 11. 已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（ ） A. E的准线方程为 B. 若与E没有公共点，则 C. 若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D. 若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，依次求出数列各项，判断数列周期，进而求出结果. 【详解】由题意得，，，，，以此类推， 可知数列周期为，即，所以. 故答案为：. 13. 若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 为研究高中生数学成绩进步与平时积极提问的关系，从某校的学生中随机抽了1000人，得到如下列联表： 是否积极提问组别 积极提问 不积极提问 合计 数学成绩进步 120 280 400 数学成绩不进步 80 520 600 合计 200 800 1000 （1）记该校平时不积极提问的学生其数学成绩进步的概率为．求的估计值． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否积极提问与数学成绩进步有关． 附：． 【答案】（1）0.35； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）由列联表数据及古典概型的概率求法求概率； （2）由卡方公式求卡方值，再根据独立检验基本思想即可得结论. 【小问1详解】 由列联表可知，不积极提问的800人中有280人进步，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设：数学成绩进步与平时是否积极提问无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩进步与平时是否积极提问有关，该推断犯错误的概率不超过． 16. 如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 17. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. （1）求C的方程； （2）已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【小问1详解】 由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. 【小问2详解】 设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 18. 在中，已知，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2） 【解析】 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 19. 已知函数． （1）当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2）当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）1 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足求的值. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，探究函数的单调性. （3）设，结合二次求导，求出函数的最小值为，问题转化为，求的最小值，再设，分析函数单调性，解不等式即可得的最小值. 【小问1详解】 当时，，. 由解得，. 由， 所以，解得：. 【小问2详解】 由，所以. 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若，由解得；由解得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，可得，即. 设，，则，. 设，，则恒成立，所以在上单调递增. 又，， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以. 由，可得：. 设，，则. 由解得；由解得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 所以存在，使得. 所以不等式的解集为. 所以实数的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $