精品解析：甘肃嘉峪关市酒钢三中2026-2027学年高一上学期开学考试数学试题

嘉峪关市酒钢三中高一年级开学考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 某市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 2. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 3. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列计算：①；②；③；④；⑤．其中运算结果正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. ，， B. 梯形的对角线不相等 C. 自然数集N中最小的数是0 D. 空集是任何集合的真子集 10. (多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（ ） A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若ab＝0，则a＝0 11. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 12. 因式分解：________． 13. 设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 14. 已知集合，，则________． 15. 如下图，在边长为4的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交于点，，，若为上任意一点，则的最小值为______． 四、解答题 16. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了____名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数； （4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率． 18. （1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 19. 如图，抛物线与轴交于点，点（点在点左侧），与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点． （1）直接写出点和点的坐标； （2）设的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉峪关市酒钢三中高一年级开学考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 某市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，这天的最高气温比最低气温高． 2. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 3. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行得，结合四边形内角和为即可求解. 【详解】设交于点，由题意得， 由得，所以， 则. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为：，. 故选：B. 6. 下列计算：①；②；③；④；⑤．其中运算结果正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】依次根据算术平方根、立方根的定义以及整式的运算法则逐一判断各运算的正误，统计正确的个数即可得到答案. 【详解】对于①项，算术平方根的运算结果为非负数，因此，故①运算错误； 对于② 项，与所含字母相同但相同字母的指数不同，不属于同类项，无法合并，故②运算错误； 对于③项，根据积的乘方、幂的乘方运算法则：，故③运算错误； 对于④项，根据同底数幂的除法运算法则：，故④运算错误； 对于⑤项，根据立方根的定义，负数的立方根为负数，因此，故⑤运算正确. 综上，运算结果正确的仅有⑤，共1个. 7. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果. 【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立； 当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立； 故选：A. 8. 已知二次函数，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且当时，的最大值为2，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出的关系，再利用二次函数图象性质按分类求解. 【详解】由二次函数的图象向右平移3个单位长度，得的图象， 依题意，的图象过原点，则，解得， 因此二次函数为， 该函数图象对称轴为，而当时，的最大值为2， 则当时，，，解得，符合题意； 当时，，，解得，符合题意， 所以的值为或. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. ，， B. 梯形的对角线不相等 C. 自然数集N中最小的数是0 D. 空集是任何集合的真子集 【答案】AC 【解析】 【分析】配方得到A正确；举反例得到B错误；由自然数的概念得到C正确；由空集的概念判断D错误； 【详解】对于A，，所以时等号成立，故A正确； 对于B，等腰梯形的对角线相等，故B错误； 对于C，由自然数的概念可知自然数集N中最小的数是0，故C正确； 对于D，空集是任何非空集合的真子集，故D错误； 故选：AC. 10. (多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（ ） A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B. 若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D. 若ab＝0，则a＝0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意； B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意； C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意； D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意， 故选：BCD 11. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为10米/秒；④当甲、乙相距50米时，甲出发了55秒或65秒．其中正确的结论有（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BD 【解析】 【分析】通过图象上的关键转折点依次求出两人的速度和与各自的实际速度，再以此为基础运用路程公式推导并验证剩余的时间与距离关系. 【详解】因为当秒时，两人相距600米，所以两地距离为600米， 在秒时，两人相遇，所以两人速度之和为米/秒， 因为甲的速度大于乙的速度，图象在处发生转折， 说明此时速度较快的一方(甲)已经到达了地， 所以米/秒，进而米/秒，故③错误， 对于①，表示在时，甲乙两人之间的距离， 两人在60秒相遇，随后背向而行，到第100秒时，两人共同远离的时间为秒， 此时甲乙两人间的距离米，故①错误， 对于②，表示乙到达目的地的时间，此时两人距离为600米， 所以乙骑行600米所需的时间为秒，故②正确， 对于④，设甲出发了秒，由题意得两人距离50米的情况有两种， 相遇前距离50米: 此时有，解得秒， 相遇后距离50米， 此时有，解得秒，故④正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共20分） 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式对剩余多项式分解即可. 【详解】. 13. 设，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由根的判别式和韦达定理，结合题目条件进行求解 【详解】由题意得，解得， 由韦达定理得，， ， 故，即， 即，解得或4（舍去）， 故的值为 14. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】集合、均为平面点集，求交集等价于联立两个对应的方程，求解公共解构成的集合. 【详解】集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合， 因此为两个图象公共点构成的集合， 联立方程如下：，整理得， 解得，， 将代入，得；将代入，得， 经检验，两组解均满足原方程组， 因此直线和反比例函数图象的公共点为和， 故. 15. 如下图，在边长为4的正方形中，是边上一点，且，过点作分别交于点，，，若为上任意一点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接，设，进而求得，再结合三角形全等证明直线是线段的垂直平分线，将问题转化为求的最小值即可求得答案. 【详解】 如图，在上取一点，使得，连接， 设，又，即， 所以，即， 所以， 又， 所以，所以， 所以 又中，，， 所以，即， 因为正方形，， 所以， 即， 所以，又， 所以， 在和中：， 所以， 所以，， 又，所以直线是线段的垂直平分线， 连接，所以，所以， 连接，所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 在中，，，， 所以的最小值为. 四、解答题 16. 已知集合，. （1）当时，求，；；； （2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），，或， （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，，结合， 则，，或，； 【小问2详解】 因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以 且，即 ； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 17. 某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次一共抽样调查了____名学生； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数； （4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用组人数及所占比求出样本中总人数. （2）由（1）求出组人数，进而完善条形统计图. （3）求出样本中组人数所占比，进而求出该校八年级学生选择“文艺表演”的人数. （4）根据给定条件，列出表格或画出树状图，进而求出概率. 【小问1详解】 由条形统计图和扇形统计图知，组人数为12，占总人数的， 所以本次一共抽样调查的学生人数为：. 【小问2详解】 由条形统计图得组人数为：， 因此条形统计图为： 【小问3详解】 样本中选择“文艺表演”，即组人数为5，占比， 所以该校八年级学生选择“文艺表演”的人数约为. 【小问4详解】 “绘画展示”为，“书法展示”为，“文艺表演”为，“即兴演讲”为， 列表如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果， 其中恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果有：，共2种， 所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率为. 18. （1）已知集合，集合，是否存在实数使得，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）若（1）中的条件不变，是否存在实数使得，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）若（1）中的条件“”改为“且”，其他条件不变，求实数的取值范围． （4）若（1）中条件不变，命题“，使得”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在实数使得， 因为集合，集合， 所以，解得，显然无解， 所以不存在实数使得 （2）存在，；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）假设存在实数使得，再根据集合关系求解范围即可判定； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）分和两种情况讨论求解即可； （4）转化为，再根据集合关系求解即可. 【详解】解：（1）略. （2）假设存在实数使得， 则当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （3）因为，，， 所以，当时，，解得； 当时，由得：，解得，即， 综上，实数的取值范围为. （4）因为命题“，使得”为真命题，所以， 所以且，即，解得，即. 所以，实数的取值范围为. 19. 如图，抛物线与轴交于点，点（点在点左侧），与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点． （1）直接写出点和点的坐标； （2）设的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2），最大值为4 （3）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】（1）令，解方程即可求得点和点的坐标； （2）由，再利用二次函数的单调性即可求得最大值； （3）当四边形是菱形时，，进而列出方程即可求解． 【小问1详解】 令，解得：或4， 故点，点； 【小问2详解】 由已知点的坐标为 设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：，解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点，， 则， 由于，故有最大值， 因此当时，的最大值为4； 【小问3详解】 存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的对称轴为直线， 设点，而点， 由于四边形是菱形，则， 即，解得：， 因此点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $