精品解析：四川省泸州市多校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试题

四川省泸州市多校联考2025—2026学年下学期期末联合考试 高二年级数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页.试卷满分150分，考试时间共120分钟. 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据截距的定义计算可得结果. 【详解】根据题意令，解得； 因此直线在轴上的截距为. 故选：D 2. 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线标准方程为，焦点在x轴正半轴上， 所以，所以它的焦点是. 3. 若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】设的公差为，由，得，所以． 因为，所以．因为，所以，解得则． 4. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和可求得的值，由各项系数和可求得的值，进而由二项定理求得的系数即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 所以二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得， 解得 ， 所以二项式为， 则该二项式展开式的通项为 ，， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 6. 设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 7. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意得，，即， 因为，所以，即， 联立解得，，，则， 所以. 8. 现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】D 【解析】 【分析】依次求出和即可由条件概率公式求解判断A；由全概率公式即可计算求解判断B；依次求出、即可由条件概率公式求解判断C；由贝叶斯公式依次计算、、即可判断D. 【详解】由题可知， ， 所以，A错误； ，， 所以，B错误； ，， 所以，C错误； ，，， 所以， 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小，D正确. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可. 【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得， 则，故A错误； 对于B，由上分析，，故B正确； 对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确； 对于D，若点在双曲线的左支上，由可得， 此时，的周长为； 若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误. 故选：BC. 10. 已知数列满足，数列的前项和为，则 （     ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前2025项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，求得，可判定A正确；由数列为等差数列，可判定B不正确；由等差数列的求和公式，得到，可判定C错误；由，结合裂项法求和，可判定D正确. 【详解】由数列满足， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当时，，满足上式，所以数列的通项公式为， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以数列为等差数列，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 显然，所以，，不能构成等差数列，所以C错误； 对于D中，由，可得， 则数列前2025项和为：，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，则有三个零点 B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点和对称中心，且，其中，则成等比数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】令求出可判断A；利用导数判断出在上的单调性可判断B；计算出可判断C；令可得，，再由、得、，最后、相乘可得答案. 【详解】对于A，当时，，令可得， 解得，或，则有2个零点，故A错误； 对于B，当时，，， 时，，单调递减，且， 可得，所以，故B正确； 对于C，， ，故C正确； 对于D，，令可得， ， 再由得， 由于，化简得， 可得，即 ，因为，所以， 同理可得，所以，即， 又因为，所以，即， 所以， 则成等比数列，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有__________个．（用数字作答） 【答案】54 【解析】 【详解】试题分析：先选后排,题中没有重复数字的三位数共有,答案为54. 考点：排列组合 13. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 14. 已知是边长为6的正三角形的一条中位线，将沿直线翻折至，则当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定当平面平面时，三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定的外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】由题意知，当面面时，三棱锥的体积最大，如图所示， 取的中点，连接，则的外接圆的圆心位于且靠近点的三等分点处， 设的中点为，连接，，则， 所以为四边形的外接圆的圆心， 过作面的垂线，过作面的垂线， 则两垂线的交点即为四棱锥的外接球的球心， 连接，则四边形为矩形，， 连接，在中，则外接球半径为， 所以四棱锥外接球的表面积为； 故答案为： 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且满足，．数列的前n项和是，且． （1）求数列及数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得，利用等差数列的通项公式即可得出an；再由与的关系得出{bn}的通项公式； （2）由（1）得，利用分组求和求和即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，且满足，， 由等差数列的性质可得，，所以公差， 则． 又当时，，所以， ① 当时， ② 由得，即（）， 所以是首项为1，公比为的等比数列，故． 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 16. 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用条件概率求解. （2）明确的可能取值，求出相应的概率，可得的分布列，进而求的数学期望. 【小问1详解】 设“汤姆选择中有200米服务”为事件；“汤姆选择中有1500米服务”为事件， 则，， 所以. 【小问2详解】 的值可能为：0，1，2，3. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点. （1）求证：当点为线段的中点时，平面； （2）当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）当或时，与平面所成角的正弦值为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据，可证平面，再证；（2）设可得，再求平面的一个法向量为，代入线面夹角整理求解． 【小问1详解】 连接，， ∵点为线段的中点，四边形为矩形， ∴，，三点共线，则点为的中点. ∵点，分别为和的中点， ∴. 在直三棱柱中，， ∴平面， 又平面，∴. 又，∴四边形为正方形， ∴. ∵， ∴平面. ∵， ∴平面. 【小问2详解】 以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设， 设，∴， 即，∴. 设平面的一个法向量为， ，. 由，得，令，得， 又. 设与平面所成角为， 由题意得 ， 求得或. 故当或时，与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆过原点的两条弦，且，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）若直线，其中一个斜率不存在， 可得： ， 若直线，斜率均存在， 设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 同理，设直线方程: ，， 联立 ，整理得 ，解得: ， 所以 ，， 由椭圆的对称性知， ，， 所以 ， 综上，为定值，且定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出等式然后进行化简，即可求解； （2）当直线，其中一个斜率不存在时，可得为定值，当直线，斜率均存在时，设直线方程和直线方程，分别与椭圆方程联立求出，，由椭圆的对称性知，，进而得到的表达式即可证明； （3）当直线，其中一个斜率不存在时，可得，当直线，斜率均存在时，由（2）知和，则可得，令，换元后根据均值不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 则，所以 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知若直线，斜率均存在， ，， ， 则， 令，则， 令，， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以，即， 若直线，其中一个斜率不存在，， 综上，的面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论即可； （2）利用导数求得的单调性，进而得出最小值； （3）参数分离得对任意恒成立，令，，利用导数讨论的单调性，求出的最小值即可解决. 【小问1详解】 由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，， ，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增， 又，所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，，，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸州市多校联考2025—2026学年下学期期末联合考试 高二年级数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至4页.试卷满分150分，考试时间共120分钟. 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、班级、准考证号准确填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 3．填空题和解答题的作答：请用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线方程为，则它的焦点是（ ） A. B. C. D. 3. 若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 160 6. 设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 7. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. D. 22 8. 现有编号分别为（）的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个．现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为（）的盒中”，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽一个，则该球来自盒的概率最小 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（ ） A. B. 双曲线的离心率为2 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14 10. 已知数列满足，数列的前项和为，则 （     ） A. B. 数列是等比数列 C. ，，构成等差数列 D. 数列前2025项和为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，则有三个零点 B. 当且时， C. ， D. 若存在极值点和对称中心，且，其中，则成等比数列 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有__________个．（用数字作答） 13. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为______. 14. 已知是边长为6的正三角形的一条中位线，将沿直线翻折至，则当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，且满足，．数列的前n项和是，且． （1）求数列及数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 17. 如图，在直三棱柱中，，，点为棱的中点，点为线段上的一动点. （1）求证：当点为线段的中点时，平面； （2）当点位于线段的什么位置时，与平面所成角的正弦值为，请说明理由. 18. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆过原点的两条弦，且，求证：为定值； （3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的最小值； （3）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $