四川省叙永第一中学校2025-2026学年高二下学期数学期末模拟试题（五）

**基本信息** 立足高二期末综合考查，通过统计分析、立体几何证明、圆锥曲线探究等解答题，梯度设计基础运算与创新应用，培养数学思维与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|统计（中位数）、立体几何（正方体）、解析几何（直线与圆、双曲线离心率）、概率（文旅主题）等|单选基础巩固，多选综合概率统计（两点分布、正态分布）与数列（Sn与an关系）| |填空题|3题15分|等比数列求和、二项式定理、圆锥内切球|聚焦核心公式应用，如二项展开式常数项| |解答题|5题77分|数列（通项、求和）、统计（频率分布直方图、分布列期望）、立体几何（面面垂直、二面角）、椭圆（方程、定点）、导数（切线、恒成立）|16题结合“滇超知识竞赛”考查数据处理，18题椭圆与圆外切及定点问题体现逻辑推理，19题导数综合培养创新意识|

高2024级2026年春期期末模拟（五） 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 题号 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．120　 ． 13．　8　 ． 14． ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．解：（1）为等比数列，其前项和为，，． ，， 则，两式作商得，即， 得，， 则，． （2）， 当时，， 即是公比为的等比数列，首项， 则． 16． 解：（1）； （2）得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为， 即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为， 所以随机变量满足二项分布， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 ； 17．解：（1）证明：因为底面是正方形， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面． （2）设交于点，过作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又，，， 所以，所以， 所以， 所以， 以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 在△，，所以， 则，，，，，0，，，2，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，由，得， 取，得， 设平面的法向量为， 则，由，得， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 18．（1）解：因为圆与轴的交点为，，圆与轴的交点为，， 所以由题意可得，， 故椭圆的方程是． （2）证明：当轴时，直线的方程是， 由，解得，直线过点． 当不与轴垂直时，设，，，，． ①当时，解得，，则，所以直线过点； 同理，当时，直线也过点． ②当且时，直线的方程为， 由，得， 又，则， 得，，即， 同理可得， 则，， 所以，，三点共线，即直线过点． 综上，直线过定点． 19．（1）解：因为，所以， 所以（1），（1）， 所以函数在，（1）处的切线方程为，即． （2）解：原不等式等价于，即对一切恒成立， 设，则， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 所以（1）， 所以实数的取值范围为，； （3）证明：原问题等价于证明， 由（1）可知，的最小值是，当且仅当时取到， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当且仅当时取到， 所以对一切，都有成立． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级2026年春期期末模拟（五） 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．这一组数据：12，15，9，7，18，20，15的中位数为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 2．正方体中，下列说法错误的是（　　） A． B．面面 C．面面 D．面 3．直线与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 4．已知等比数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 5．用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（　　） A．18 B．24 C．30 D．48 6．已知双曲线的左焦点分别为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（　　） A．4 B． C． D． 7．如果在区间上不单调，那么实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件 “甲体验儒家文化”， “乙体验湖光山色”，则（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9．下列结论正确的有　　 A．若随机变量服从两点分布，，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服正态分布，，则 10．记为数列的前项和．已知，则（　　） A． B．数列为等比数列 C． D． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，．点在椭圆的第一象限部分，且．过点作椭圆的切线，该切线与轴、轴正半轴分别交于，，则下列说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C．△的面积为 D．该切线的斜率为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12．记为等比数列的前项和，若，，则　 　 ． 13．若的二项展开式中，第5项为常数项，则　 　 ． 14．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知为等比数列，其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和． 16．为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动．现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩（满分100分），并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求这组数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求的分布列及数学期望； 17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18．已知椭圆既与圆外切，又与圆外切． （1）求椭圆的方程． （2）已知，是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接，并分别延长交椭圆于，两点，证明：直线过定点． 19．已知，． （1）求函数在，（1）处的切线方程； （2）对一切，恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：对一切，有成立． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $