四川省成都市树德中学（外国语校区）2025-2026学年高二下学期数学期末综合练习1

**基本信息** 聚焦高二下期核心知识，通过多题型综合考查函数导数、数列、解析几何、立体几何，注重逻辑推理与数学运算，体现数学思维与语言表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数导数|单选1-4,7-8，多选9,11，填空13-14，解答17,19|含单调性、极值、零点、切线问题，涉及分类讨论与构造函数|概念（导数定义）-性质（单调性）-应用（极值、零点）的递进| |数列|单选5，多选10，填空12，解答16|结合等比数列性质、错位相减求和，考查递推关系转化|定义（等比数列）-求和（错位相减）-不等式恒成立的综合应用| |解析几何|单选6，解答18|双曲线离心率、椭圆与直线位置关系，涉及韦达定理|标准方程-几何性质（离心率）-直线与曲线位置关系的逻辑链| |立体几何|解答15|面面垂直证明、二面角计算，运用空间向量法|空间垂直关系-坐标系构建-法向量求夹角的推理过程|

树德中学（外国语校区）高二下期数学数学综合练习题（一） 一、单选题（每小题5分，共40分。） 1．已知函数满足，则在处的导数为（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（     ） A． B． C． D．或 3．过点作的切线，切点为，以为直径的圆与轴交于另一点，则到的距离为（     ） A． B． C． D． 4．已知在上对任意，满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，若，且，则（     ） A． B． C． D．或 6．已知是双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分。） 9．已知函数，则（     ） 　　A．关于对称 　　B．的极小值点为 　　C．有三个零点 　　D．直线是曲线的一条切线 10．数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（     ） 　　A．是数列中的项 　　B．数列是首项为3，公比为3的等比数列 　　C．数列的前项和 　　D．数列的前项和 11．函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是（     ） 　　A．若，，使得成立，则 　　B． 　　C．直线与两个函数图象交点的横坐标之积的范围是 　　D．若直线过两个函数图象的公共点，则直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列 三、填空题（每小题5分，共15分。） 12．已知数满足，，则数列的通项公式            ． 13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则            ． 14．已知函数，，若，，则的最大值为            ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16．设数列的前项和为，已知．数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列． （1）求数列和的通项公式； （2）若，数列的前项和为，且恒成立，求的取值范围． 17．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 18. 已知椭圆的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线，的斜率分别为，。 （i） 求证：为定值； （ii） 求面积的最大值。 19. 已知函数。 （1）若，求的单调区间； （2）若有且仅有个零点，求的值； （3）若存在，使得对任意恒成立，证明：。 综合一参考答案 1．【详解】函数，求导得， 因此，即， 所以.故选：D 2．【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为.故选：B. 3．【详解】由题意知，设切点为，所以切线方程为， 又切线过点， 所以，解得， 所以或，两点关于轴对称，则， 切线为或， 则以为直径的圆为或均交轴于， 所以到的距离.故选：B. 4.【详解】由题意，在上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为.故选：D. 5【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，，，成等比数列，公比为 所以，解得，故选：A 6.【详解】 不妨过点作渐近线，即的垂线垂足为， 由点到直线的距离公式可得， 如图，设的左焦点为，为坐标原点，取的中点，连接，， 因为，所以，，所以， 则.又， 所以， 整理得，得，得。 故选：A 7.【详解】设，， 时，，单调递减，， ，即，又， ．故选：D． 8.【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于 原点对称， 又，所以为奇函数， 又恒成立，所以为减函数， 令，得到，所以，整理得到 ，令，， 因为函数恰有3个零点，则函数与函数的图 象有3个交点， 又，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 又时，，时，，时，， 时，，且恒成立，其图象如图所示， 由图可知，要使函数与函数的图象有3个交点，则， 解得，所以实数的取值范围是． 9.【详解】对于A，，则，所以函数关于对称，故A正确； 对于B，， 所以时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增. 所以，在处取得极小值， 故的极小值点为，故B错误； 对于C，由上分析可知，在处取得极大值，极小值， 所以的图象与轴有三个交点，即有三个零点，故C正确； 对于D，令，解得， 所以斜率为的切线过切点，则切线方程为即，故D正确. 故选：ACD. 10.【详解】解：数列满足，， 可得，即有，即， 由，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确； 令，解得，不为整数，故A错误； ，则， 故C正确； ，，， 两式相减可得， 化为，故D正确． 11．ABD【详解】A：， 令，解得， 所以当，，为增函数；当，，为减函数 所以；同理，，，令，解得， 所以当，，为增函数；当，，为减函数； 所以； 所以，，使得成立，则，故A正确； B：因为，即， ， 因为在当，为减函数；又， 所以，即，故B正确； C：由题可得函数的大致图象，设直线与两个函数图象交点的横坐标为，， 且， 则，，由图象可得， 由选项A可知，在上单调递增， 所以，即，所以， 构造函数，，求导可得，令，可得， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数， 所以，又，当时，， 所以，即，故C错误； D：设公共点为，此时直线与两函数曲线共有三个交点，不妨设， 且，由， 又，，又当，为增函数， 所以，同理，可得， 又，，又当，为减函数， 所以，所以，， 所以， 即由等比中项的性质可得直线与两个函数图象的所有交点横坐标从小到大排列依次构成等比数列，故D正确；故选：ABD. 12.【详解】由可得：，又， ，所以是以为首项，5为公比的等比数列， 所以，所以. 13【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合，所以，解得. 14.【详解】由得：； 由：，； ， 令，， ，在上单调递增， ；令，则， 则当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，即的最大值为. 15.【详解】（1）因为底面为矩形，，所以， 设三棱锥的高为，又三棱锥的体积为， 所以，所以， 又侧面是等边三角形，且， 取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高， 所以平面，又平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面；分 （2）取的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，分 又平面的一个法向量为，分 设平面与平面夹角为 所以，，分 所以平面与平面夹角的余弦值为。分 16.【详解】（1）， 当时，，两式相减化简可得：， 即数列是以3为公比的等比数列，又，，解得，即， 设数列的公差为，，，，成等比数列，， 解得或（舍去），即， 数列和的通项公式为，.分 （2）由（1）得， ， ， 两式相减得： 分 ，即有恒成立 恒成立，可得，即的范围是.分 17.【详解】（1）当时，， 所以，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即.分 （2）由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增.——————9分 （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为 ， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足，所以的取值范围.——————1 18.【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在轴上，且， 所以椭圆的方程为.——————4分 （2）（i）证明：由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为时，显然，所以； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 联立， 则， 设，，则，， 所以， 因为， 所以.综上，为定值.——————10分 （ii）由（i）可得， 所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以面积的最大值为。——————17分 19.【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为。——————4分 （2）因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时，，即，单调递减； 当 时，，即，单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 当时，，时，， 因为有且仅有1个解， 所以。分 （3）因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内函数单调递增， 内函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证.——————17分 学科网（北京）股份有限公司 $