精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2027届高三上学期第一次月考数学试卷

高2027届高三（上）第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1. 下列表示集合和关系的图中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 2. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】①当时，点在第四象限，， 由三角函数定义：，． ②当时，点在第二象限，， 由三角函数定义：，． 综上，． 3. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则或或， 所以，是的既不充分也不必要条件，故A不符合题意； 对于B，，则， 所以，是的充要条件，故B不符合题意； 对于C，，则， 所以，是的一个充分不必要条件，故C符合题意； 对于D，当时，符合， 所以是的既不充分也不必要条件，故D不符合题意． 4. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，故. ∵ ，且当时，， ∴ 代入得. 根据对数恒等式，可得. 又∵ ， ∴ ，即. 故选:C. 5. 若二项式（）的展开式中存在常数项，则的最小值为：（ ） A. 14 B. 10 C. 7 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】二项式（）的展开式通项公式为： ， 若上式中存在常数项，则有解，那么的最小值为7. 6. 小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.65 C. 0.77 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【详解】设输入的问题表达清晰为事件，回答被采纳为事件, 则， 根据全概率公式. 7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，易知；对于B，令，再利用导数可得，然后结合题意判断即可；对于C，易知，则有解即可判断；对于D，分、即可判断恒成立． 【详解】对于A，，则函数单调递增，不存在单调递减区间，故A不符合题意； 对于B，令，， 则时，，单调递减，时，，单调递增， ，即， 则函数单调递增，不存在单调递减区间，故B不符合题意； 对于C，，则有解， 则函数存在单调递减区间，故C符合题意； 对于D，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，恒成立， 则函数单调递增，不存在单调递减区间，故D不符合题意． 8. 已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】采用换元法由外向内逐层求解，先计算出外层函数的值，再结合分段函数的定义域分别解出内层变量并验证即可. 【详解】令，则原方程转化为， 若， 则，，即，矛盾，因此该情况舍去， 若， 则， 则有，即，解得， 或，即，解得， 因此或， 当时， 若，则有，即，解得，因此该情况舍去， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 当时， 若，则有，即，解得， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 综上，可能的取值为共个 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 若将的图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，通过计算图象中最高点到相邻零点的横坐标之差得出四分之一周期，进而求得，选项B，将已知点的横坐标代入函数解析式，通过检验其函数值是否为零来判断该点是否为对称中心，选项 C，写出平移后的函数表达式，利用奇函数的相位为的整数倍解出平移量的最小正值，选项D，计算出变量在给定区间内的整体相位范围，结合正弦函数在该范围内的单调性和极值，数形结合找出只有一个交点时的参数取值范围. 【详解】对于A，由图象知该函数的最大值为，最小值为，故， 且，即，解得， 代入得， 所以，解得， 仅取时，满足，所以，故A正确， 对于B，代入得， 故图象不关于点对称，故B错误， 对于C，， 若为奇函数，则有，即， 因为，依次取的值，当时，，此时为最小值，故C正确， 对于D，设，因为，所以， 原问题转化为在上仅有个解，如下图， 根据图象，当或时与仅有个交点， 此时，故D错误. 10. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对AB选项可通过作差比较法及不等式性质判断可得，对C选项可通过作商比较法及指数函数的性质判断可得，对D选项则通过特殊值法判断可得. 【详解】选项A：对两式作差得， 由，得，，所以，即，A正确； 选项B：对两式作差得， 由，得，又， 所以，即，B正确； 选项C：因为，所以， 对两式作商得， 由得，由得，因为函数在上单调递增， 所以，即，C正确； 选项D：取特殊值，左边，右边， 此时，不满足大于关系，D错误. 11. 已知定义域为的函数，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是周期函数 C. 是奇函数 D. 点是的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据函数递推式推导的周期性，再结合的对称性、与 的关系逐一判断选项． 【详解】对于选项A：由，令 得，已知，代入得，所以A正确； 对于选项B：已知，将替换为得，两式联立消去得， 再将替换为得，即， 故是周期为6的周期函数，所以B正确； 对于选项C：由得关于直线对称， 又由条件， 令，则， 由关于直线对称得，因为， 所以，即， 令，则，所以是偶函数，不是奇函数．所以C错误； 对于选项D：要判断是否为对称中心，即需验证对任意，， 因为， 所以， 所以 因此只需证明， 由，令，得：， 即， 将替换为得 又因是偶函数，有，所以 所以因此是的对称中心，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为______cm. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形ABC的半径为，弧长为，根据扇形ABC的面积得到，纸叠扇的周长，利用基本不等式求解即可. 【详解】设扇形ABC的半径为，弧长为，则扇形面积. 由题意得，所以. 所以纸叠扇的周长， 当且仅当即，时，等号成立， 所以此时的长度为. 故答案为： 13. 若 ，，则 ____. 【答案】## 【解析】 【详解】，. . 14. 对甲、乙等6名运动员进行分组训练，要求至少分成两组，每组至少一人，且甲、乙两人被分在同一组，则不同的分组方案有_____种． 【答案】51 【解析】 【分析】对甲、乙等6名运动员分为2组，3组，4组，5组，分别计算种数，最后再由分类加法原理计算. 【详解】依题意，可分为2组，3组，4组，5组， 当分为2组时，考虑剩下的4名运动员选取的人数与甲乙合组，所以种数是； 当分为3组时，甲乙为1组，则种数是; 甲乙加1名运动员为1组，则种数是; 甲乙加2名运动员为1组，则种数是;共有种； 当分为4组时，甲乙为1组，则种数是;甲乙加1名运动员为1组，则种数是;共有种； 当分为5组时，甲乙为1组，剩余4人各为1组,只有1种情况； 综上所述，则不同的分组方案有种. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求； （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2） 的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）先将代入，结合的取值范围求解即可； （2）由（1）得，再代入化简 为正弦型函数，利用正弦函数的性质求解值域和单调区间. 【小问1详解】 已知，，则，且，故. 【小问2详解】 由（1）得，因此， 所以， 利用和差化积公式， 由正弦函数的值域可知，所以的值域为； 令，则， 得的单调递增区间为； 令，则， 得的单调递减区间为. 16. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求处的切线斜率，结合两直线垂直的斜率关系求解； （2）通过导数判断函数在上的单调性，比较极小值和端点值的大小得到值域. 【小问1详解】 函数的定义域为，对求导得， 则在处的切线斜率， 直线变形为，斜率为， 由两直线垂直时斜率乘积为，得，解得. 【小问2详解】 由（1）得，求导并整理得， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当 时，，单调递增， 因此在处取得区间内的最小值， 计算端点值，， 比较和的大小：， 由于，故，即区间内最大值为， 综上所述，在上的值域为. 17. 记内角、、的对边分别为、、，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1）因为，即， 由正弦定理可得， 又因为， 则， 且，则，可得，即， 又因为，则，所以为钝角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，即可得，即可证得结果； （2）利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，即可求得三角形面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 u，又， 由正弦定理可得， 则，，可得，即， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 18. 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． （1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． （2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 【答案】（1）①；②至少要进行轮游戏，，． （2） 【解析】 【分析】（1）①利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率； ②利用导数求出学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为的最大值，可知学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由可求得的值，即可得解； （2）设选出的是第个箱子，计算出在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为，进而可求得所求概率为，结合数列的求和公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：①记“学生甲第一轮活动获得一个奖品”为事件．则； ②学生甲在每一轮活动中获得一个奖品的概率为， 令，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 即当时，． 学生甲在轮活动中获得奖品的个数，由，知． 故理论上至少要进行轮游戏，此时，． 【小问2详解】 解：设选出的是第个箱子，连续三次取出题目的方法数为． 设数学题为，物理题为，第三次取出的是物理题有如下四种情形： 取法数为， 取法数为， 取法数为， 取法数为， 从而，第三次取出的是物理题的种数为 ． 则在第个箱子中第三次取出的是物理题的概率为． 而选到第个箱子的概率为， 故所求的概率为． 【点睛】关键点点睛：本题考查概率与数列的综合应用，在求解第三问时，关键要求出在第个箱子中第三次取出物理题的概率，那么就应该对前三次取出的题目所属科目进行列举，进而求解. 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为； （2）； （3）证明：由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于是，即， 又，则，即，从而， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调递区间. （2）等价变形给定不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可. （3）由（2）的结论可得，利用不等式的性质及已知得，再利用导数及零点存在性定理，结合不等式性质证得即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 不等式， 设函数，求导得， 设，求导得， 函数在上单调递增，且， 则当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高三（上）第一次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求的． 1. 下列表示集合和关系的图中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若二项式（）的展开式中存在常数项，则的最小值为：（ ） A. 14 B. 10 C. 7 D. 5 6. 小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3．若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为（ ） A. 0.56 B. 0.65 C. 0.77 D. 0.8 7. 已知函数存在单调递减区间，则其导函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 若将的图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为 10. 已知实数，，满足，则下列不等式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为的函数，，满足，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是周期函数 C. 是奇函数 D. 点是的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为______cm. 13. 若 ，，则 ____. 14. 对甲、乙等6名运动员进行分组训练，要求至少分成两组，每组至少一人，且甲、乙两人被分在同一组，则不同的分组方案有_____种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求； （2）设函数，求的值域和单调区间． 16. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数的值； （2）求在区间上的值域． 17. 记内角、、的对边分别为、、，． （1）证明：为钝角三角形； （2）若，且，求的面积． 18. 某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了个相同的箱子，其中第个箱子中有个数学题，个物理题．每一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目（每次取出不放回），并全部作答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品． （1）已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了个数学题，个物理题，且甲答对每一个数学题的概率为，答对每一个物理题的概率为． ①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率； ②已知，学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时、的值． （2）若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率． 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若，求的取值范围； （3）若，设，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $